BeeTheory – Fondasi – Catatan Teknis IV
Simulasi Numerik:
Gaya Teori Lebah di Antara Dua Bola Utama (Pengaturan Cavendish)
Dua bola timah berdiameter 5 cm – geometri kanonik yang terinspirasi oleh eksperimen Cavendish – memberikan kasus uji makroskopis untuk gaya gravitasi BeeTheory. Memperlakukan setiap bola sebagai satu partikel ekuivalen di pusatnya, dengan amplitudo yang disesuaikan dengan jumlah atom, BeeTheory mereproduksi penskalaan kuadrat terbalik dari hukum gravitasi Newton.
1. Rumus, parameter, dan hasil utama
Gaya Teori Lebah antara dua bola makroskopik
$$F_{\text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2}$$
di mana $ N_A, N_B $ adalah jumlah atom di setiap bola, dan
$K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_\text{atom}\,a_\text{atom})$ adalah kopling atom Teori Lebah.
Setiap bola diperlakukan sebagai satu partikel yang setara, terlokalisasi di pusat geometrisnya. Amplitudo fungsi gelombang kolektifnya adalah jumlah amplitudo dari $N$ atom yang menyusun bola – sebanding dengan jumlah total atom dan oleh karena itu dengan massa total. Gaya antara dua partikel yang setara mengikuti secara langsung dari hasil dua atom dari catatan sebelumnya, dengan amplifikasi $N_A kali N_B $ yang mencerminkan medan gelombang kolektif masing-masing bola.
Parameter fisik
| Parameter | Simbol | Nilai |
|---|---|---|
| Konstanta Planck yang berkurang | $\hbar$ | $ 1,0546 \ kali 10^{-34}$ J-s |
| Massa atom (timbal) | $m_\text{atom}$ | $3,441 \kali 10^{-25}$ kg (= 207,2 u) |
| Jari-jari atom (timbal, kovalen) | $a_\text{atom}$ | $175 \kali 10^{-12}$ m = 175 pm |
| Kopling atom BeeTheory | $K_{\text{BT}}$ | $ 2,771 \kali 10^{-34}$ J-m |
| Kepadatan timbal | $\rho_{\text{Pb}}$ | $ 11\,340 $ kg / m³ |
Geometri simulasi
| Kuantitas | Nilai |
|---|---|
| Diameter setiap bola | 5,0 cm |
| Jari-jari setiap bola | 2,5 cm |
| Massa setiap bola | 742.2 g |
| Jumlah atom per bola $N$ | $ 2,157 \kali 10^{24}$ |
| Referensi jarak pusat-ke-pusat $R$ | 6,0 cm |
Hasil utama
Hukum kuadrat terbalik dikonfirmasi pada skala makroskopik
BeeTheory memprediksi gaya antara dua bola timah makroskopik yang berskala persis seperti $ 1 / R ^ 2 $ – hukum kuadrat terbalik gravitasi. Perbandingannya dengan prediksi Newton $F_N = G\,M^2/R^2$ adalah konstan:
$$\frac{F_{\text{BT}}}{F_N} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{G\,m_\text{atom}^2} \;\approx\; 3.5 \kali 10^{25}$$
tidak bergantung pada $R$ untuk model ekuivalen titik ini. Bentuk fungsional dari hukum Newton dipulihkan secara identik; amplitudo absolut tetap lebih besar daripada nilai Newton dengan faktor konstan yang ditentukan oleh parameter atom $(\hbar, m_\text{atom}, a_\text{atom})$.
2. Metode: setiap bola sebagai satu partikel yang setara
Catatan teknis sebelumnya menetapkan bahwa, di antara dua partikel elementer, mekanisme gelombang BeeTheory menghasilkan gaya tarik-menarik yang mengikuti struktur $ 1/R^2$ Newton. Untuk memperluas hasil ini ke objek makroskopik, kami menggunakan resep paling sederhana: setiap bola direpresentasikan sebagai satu partikel ekuivalen yang terlokalisasi di pusatnya, dengan amplitudo fungsi gelombang yang diperbesar secara proporsional dengan jumlah atom yang dikandungnya.
Faktor amplifikasi
$$N \;=\; \frac{M_\text{sphere}}{m_\text{atom}}$$
Untuk bola timah berdiameter 5 cm, ini menghasilkan $N = 0,742\,\text{kg} / 3,441 \kali 10^{-25}\,\text{kg} \kira-kira 2,16 \kali 10^{24}$. Amplitudo gelombang kolektif setiap bola adalah berkali-kali lipat lebih besar daripada amplitudo gelombang satu atom timah. Gaya Teori Lebah antara dua bola kemudian diperoleh dengan menggabungkan dua amplitudo:
Gaya antara dua partikel yang setara
$$F_{\text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2} \;=\; \frac{M_A \cdot M_B}{m_\text{atom}^2} \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2}$$
Rumus ini memiliki struktur hukum Newton: sebanding dengan hasil kali massa dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak. Konstanta proporsionalitas adalah kopling Teori Lebah $K_{\text{BT}}/m_\text{atom}^2$, yang berperan sebagai konstanta gravitasi efektif dalam perumusan yang disederhanakan ini:
Konstanta gravitasi efektif Teori Lebah
$$G_{\text{BT}} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{m_\text{atom}^2} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_\text{atom}^3\,a_\text{atom}}$$
3. Hasil numerik lintas jarak
Tabel di bawah ini menunjukkan gaya BeeTheory dan gaya Newtonian yang sesuai antara dua bola timah, dievaluasi pada jarak mulai dari sentimeter, tipikal keseimbangan Cavendish, hingga sepuluh meter:
| $ R $ (cm) | $F_{\text{BT}}$ (N) | $F_N = G M^2/R^2$ (N) | $F_{\text{BT}}/F_N$ | Hukum penskalaan |
|---|---|---|---|---|
| 6 | $ 3,58 \kali 10^{17}$ | $ 1,02 \kali 10^{-8}$ | $ 3,51 \kali 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 10 | $ 1,29 \kali 10^{17}$ | $ 3,68 \kali 10^{-9}$ | $ 3,51 \kali 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 20 | $ 3,22 \kali 10^{16}$ | $ 9,19 \ kali 10^{-10}$ | $ 3,51 \kali 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 50 | $ 5,16 \kali 10^{15}$ | $ 1,47 \kali 10^{-10}$ | $ 3,51 \kali 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 100 | $ 1,29 \kali 10^{15}$ | $ 3,68 \kali 10^{-11}$ | $ 3,51 \kali 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 1 000 | $ 1,29 \kali 10^{13}$ | $ 3,68 \kali 10^{-13}$ | $ 3,51 \kali 10^{25}$ | $1/R^2$ |
Rasio $F_{\text{BT}}/F_N$ benar-benar konstan di semua jarak yang diuji. Hal ini menegaskan bahwa kedua ekspresi tersebut memiliki bentuk fungsional $ 1/R^2$ yang sama. Dalam model partikel ekuivalen yang disederhanakan ini, BeeTheory mereproduksi penskalaan kuadrat terbalik Newton dengan tepat; keduanya berbeda dengan konstanta perkalian keseluruhan yang ditetapkan oleh parameter skala atom.
4. Perhitungan terperinci pada $R = 6$ cm
Untuk membuat simulasi sepenuhnya transparan, berikut ini adalah perhitungan langkah demi langkah pada referensi konfigurasi mirip Cavendish:
Langkah 1 – Penggabungan atom
$$K_{\text{BT}} \;=\; \frac{3 \hbar^2}{2\,m_\text{atom}\,a_\text{atom}} \;=\; \frac{3 \times (1.054 \times 10^{-34})^2}{2 \times 3.441 \times 10^{-25} \kali 1,75 \kali 10^{-10}}$$
$$K_{\text{BT}} \;=\; 2.771 \times 10^{-34}\;\text{J-m}$$
Langkah 2 – Jumlah atom per bola
$$N \;=\; \frac{M_\text{sphere}}{m_\text{atom}} \;=\; \frac{0.742\;\text{kg}}{3.441 \kali 10^{-25}\;\text{kg}}$$
$$N \;=\; 2.157 \times 10^{24}\;\text{atom}$$
Langkah 3 – Gaya Teori Lebah pada R = 6 cm
$$F_{\text{BT}} \;=\; N^2 \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2} \;=\; (2.157 \times 10^{24})^2 \cdot \frac{2.771 \times 10^{-34}}{(0.06)^2}$$
$$F_{\text{BT}} \;=\; 3.58 \times 10^{17}\;\text{N}$$
Langkah 4 – Referensi Newton pada R = 6 cm
$$F_N \;=\; \frac{G\,M^2}{R^2} \;=\; \frac{6.674 \kali 10^{-11} \kali (0,742)^2}{(0,06)^2}$$
$$F_N \;=\; 1.02 \kali 10^{-8}\;\text{N} \;\approx\; 10\;\text{nN}$$
Nilai Newtonian sekitar 10 nN berada dalam urutan besaran yang diharapkan untuk tarikan gravitasi antara bola timbal sub-kilogram pada pemisahan skala sentimeter. Nilai Teori Lebah dalam model partikel ekuivalen yang disederhanakan ini jauh lebih besar, tetapi ketergantungan jaraknya identik: kedua gaya berskala $1/R^2$.
5. Apa yang ditetapkan oleh hasil ini
Struktur bujur sangkar terbalik Newton direproduksi
Untuk dua bola makroskopik yang diperlakukan sebagai partikel titik yang setara, Teori Lebah menghasilkan gaya yang berskala persis seperti $ 1 / R ^ 2 $ dan secara ketat proporsional dengan hasil kali massa $ M_A cdot M_B $. Ini adalah dua fitur struktural yang menentukan dari hukum gravitasi universal Newton, dan keduanya muncul secara langsung dari mekanisme gelombang BeeTheory dalam model yang disederhanakan ini.
Parameter berskala atom menggerakkan amplitudo
Amplitudo Teori Lebah $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2 m_\text{atom} a_\text{atom})$ hanya bergantung pada sifat kuantum atom penyusunnya: Konstanta Planck, massa atom, dan jari-jari atom. Pilihan timbal dalam simulasi ini memberikan nilai numerik yang spesifik, tetapi struktur prediksinya bersifat umum. Bahan apa pun akan menghasilkan penskalaan $1/R^2$ yang sama, dengan amplitudo yang diskalakan oleh parameter atomnya sendiri.
Peran konstanta eksperimental G
Konstanta gravitasi Newton, $G$, adalah konstanta makroskopik yang terukur. Teori Lebah memperoleh struktur interaksi gravitasi dari formalisme gelombang; mencocokkan nilai numerik yang tepat dari $G$ membutuhkan jembatan empiris antara parameter gelombang mikroskopis dan pengamatan makroskopis. Rasio $F_{\text{BT}}/F_N \approx 3.5 \times 10^{25}$ yang ditemukan di atas mengkuantifikasi kesenjangan amplitudo dalam model partikel ekuivalen bola timbal ini.
6. Ringkasan
1. Dua bola timah berdiameter 5 cm dan berat masing-masing 742 g, yang diperlakukan sebagai partikel titik ekuivalen, menghasilkan gaya Teori Lebah dalam bentuk $F_{\text{BT}}(R) = N^2 \cdot K_{\text{BT}}/R^2$.
2. Gaya ini memiliki ketergantungan fungsional yang sama dengan hukum Newton $F_N = G\,M^2/R^2$, baik dalam penskalaan $1/R^2$ maupun proporsionalitas $M_A \cdot M_B$.
3. Rasio $F_{\text{BT}}/F_N$ adalah konstan untuk timbal dalam model ini, sama dengan $K_{\text{BT}}/(G m_\text{atom}^2) \kira-kira 3,5 \kali 10^{25}$, tidak bergantung pada jarak.
4. Dengan demikian, BeeTheory mereproduksi struktur bujur sangkar terbalik makroskopik yang terkait dengan pengaturan gravitasi tipe Cavendish, sambil membiarkan normalisasi absolut terhubung ke konstanta empiris $G$.
Catatan berikutnya meneliti bagaimana mekanisme gelombang yang sama, yang diterapkan pada distribusi materi yang diperluas seperti galaksi dan gugus bintang, secara alami menghasilkan efek gravitasi tambahan yang secara historis dikaitkan dengan materi gelap – tanpa melibatkan partikel baru.
Referensi. Dutertre, X. – Teori Lebah ™: Pemodelan Gravitasi Berbasis Gelombang, v2, BeeTheory.com (2023). Penurunan dasar. – Cavendish, H. – Eksperimen untuk Menentukan Massa Jenis Bumi, Philosophical Transactions of the Royal Society 88, 469 (1798). Pengukuran asli tarikan gravitasi antara bola timah. – Newton, I. – Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Royal Society (1687). Hukum gravitasi universal.
BeeTheory.com – Gravitasi kuantum berbasis gelombang – Uji makroskopis – © Technoplane S.A.S. 2026