BeeTheory – Fondazioni – Nota tecnica IV
Simulazione numerica:
Forza apicale tra due sfere di piombo (configurazione Cavendish)
Due sfere di piombo di 5 cm di diametro – una geometria canonica ispirata all’esperimento Cavendish – forniscono un banco di prova macroscopico per la forza gravitazionale BeeTheory. Trattando ogni sfera come una singola particella equivalente al suo centro, con ampiezza scalata al numero totale di atomi, BeeTheory riproduce la scala inversa al quadrato della legge di gravitazione di Newton.
1. Formula, parametri e risultato chiave
La forza della teoria delle api tra due sfere macroscopiche
$$F_{\text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{\text{BT}}{R^2}$$
dove $N_A, N_B$ sono il numero di atomi in ogni sfera e
$K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_{text{atom}\,a_{text{atom})$ è l’accoppiamento atomico BeeTheory.
Ogni sfera viene trattata come una particella equivalente, localizzata al suo centro geometrico. L’ampiezza della sua funzione d’onda collettiva è la somma delle ampiezze degli $N$ atomi che compongono la sfera – proporzionale al numero totale di atomi e quindi alla massa totale. La forza tra le due particelle equivalenti segue direttamente il risultato a due atomi della nota precedente, con l’amplificazione $N_A per N_B$ che riflette il campo d’onda collettivo di ciascuna sfera.
Parametri fisici
| Parametro | Simbolo | Valore |
|---|---|---|
| Costante di Planck ridotta | $\hbar$ | $1,0546 \i di 10^{-34}$ J-s |
| Massa atomica (piombo) | $m_testo{atom}$ | $3,441 \times 10^{-25}$ kg (= 207,2 u) |
| Raggio atomico (piombo, covalente) | $a_testo{atom}$ | $175 \iemme 10^{-12}$ m = 175 pm |
| Teoria delle api accoppiamento atomico | $K_{\text{BT}}$ | 2,771 volte 10^{-34}$ J-m |
| Densità di piombo | $\rho_{{testo{Pb}}$ | $11,340$ kg/m³ |
Geometria della simulazione
| Quantità | Valore |
|---|---|
| Diametro di ogni sfera | 5,0 cm |
| Raggio di ogni sfera | 2,5 cm |
| Massa di ogni sfera | 742.2 g |
| Numero di atomi per sfera $N$ | $2,157 \code(0144)/millesimi di 10^{24}$ |
| Distanza centro-centro di riferimento $R$ | 6,0 cm |
Risultato chiave
Legge dell’inverso-quadrato confermata su scala macroscopica
La Teoria delle Api prevede una forza tra due sfere di piombo macroscopiche che scala esattamente come $1/R^2$ – la legge inversa-quadrata della gravitazione. Il rapporto con la previsione newtoniana $F_N = G\,M^2/R^2$ è costante:
$$\frac{F_{\text{BT}}}{F_N} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{G\,m_\text{atom}^2} \;\approssimativamente; 3,5 \times 10^{25}$$
indipendente da $R$ per questo modello punto-equivalente. La forma funzionale della legge di Newton viene recuperata in modo identico; l’ampiezza assoluta rimane più grande del valore newtoniano di un fattore costante stabilito dai parametri atomici $(\hbar, m_testo{atom}, a_testo{atom})$.
2. Metodo: ogni sfera è una particella equivalente.
La nota tecnica precedente ha stabilito che, tra due particelle elementari, il meccanismo d’onda della Teoria delle Api produce una forza attrattiva secondo la struttura di Newton $1/R^2$. Per estendere questo risultato agli oggetti macroscopici, utilizziamo la prescrizione più semplice: ogni sfera è rappresentata come una particella equivalente localizzata al suo centro, con l’ampiezza della sua funzione d’onda aumentata in proporzione al numero totale di atomi che contiene.
Fattore di amplificazione
$$N \;=\; \frac{M_testo{sfera}}{m_testo{atomo}}$$
Per una sfera di piombo di 5 cm di diametro, questo dà $N = 0,742\\code(0144),\text{kg} / 3,441 ´times 10^{-25}\, ´testo{kg} \circa 2,16 ´times 10^{24}$. L’ampiezza d’onda collettiva di ogni sfera è molte volte più grande di quella di un singolo atomo di piombo. La forza BeeTheory tra le due sfere si ottiene quindi combinando le due ampiezze:
Forza tra due particelle equivalenti
$$F_{\text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{\text{BT}}{R^2} \;=\; \frac{M_A \cdot M_B}{m_{text{atom}^2} \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2}$$
Questa formula ha la struttura della legge di Newton: proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza. La costante di proporzionalità è l’accoppiamento BeeTheory $K_{\text{BT}}/m_\text{atom}^2$, che svolge il ruolo di una costante gravitazionale effettiva in questa formulazione semplificata:
Costante gravitazionale effettiva della Teoria delle Api
$$G_{\text{BT}} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{m_\text{atom}^2} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_\text{atom}^3\,a_\text{atom}}$$
3. Risultati numerici sulle distanze
La tabella seguente mostra la forza BeeTheory e la corrispondente forza newtoniana tra le due sfere di piombo, valutate a separazioni che vanno dai centimetri, tipici di una bilancia Cavendish, a dieci metri:
| $R$ (cm) | $F_{\text{BT}}$ (N) | $F_N = G M^2/R^2$ (N) | $F_{{testo{BT}}/F_N$ | Legge di scala |
|---|---|---|---|---|
| 6 | $3,58 \code(01)/mesi 10^{17}$ | $1,02 \code(01)/mesi 10^{-8}$ | $3,51 \code(01)/mesi 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 10 | 1,29 volte 10^{17}$ | $3,68 \code(0144)/mesi 10^{-9}$ | $3,51 \code(01)/mesi 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 20 | $3,22 \code(0144)/mesi 10^{16}$ | $9,19 \code(0144)/mesi 10^{-10}$ | $3,51 \code(01)/mesi 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 50 | $5,16 \code(0144)/mille 10^{15}$ | $1,47 \code(0144)/mesi 10^{-10}$ | $3,51 \code(01)/mesi 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 100 | 1,29 volte 10^{15}$ | $3,68 \code(01)/mesi 10^{-11}$ | $3,51 \code(01)/mesi 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 1 000 | 1,29 volte 10^{13}$ | $3,68 \code(01)/millesimi di 10^{-13}$ | $3,51 \code(01)/mesi 10^{25}$ | $1/R^2$ |
Il rapporto $F_{{text{BT}}/F_N$ è strettamente costante su tutte le distanze testate. Questo conferma che le due espressioni condividono la stessa forma funzionale $1/R^2$. In questo modello semplificato di particelle equivalenti, BeeTheory riproduce esattamente la scala inversa al quadrato di Newton; le due espressioni differiscono per una costante moltiplicativa complessiva stabilita da parametri di scala atomica.
4. Calcolo dettagliato a $R = 6$ cm
Per rendere la simulazione completamente trasparente, ecco il calcolo passo-passo nella configurazione di riferimento simile a quella di Cavendish:
Passo 1 – Accoppiamento atomico
$$K_{\text{BT}} \;=\; \frac{3 \hbar^2}{2\,m_testo{atomo}\,a_testo{atomo}} \;=\; \frac{3 \times (1,054 \times 10^{-34})^2}{2 \times 3,441 \times 10^{-25} \1,75 ´times 10^{-10}}$$.
$$K_{\text{BT}} \;=\; 2,771 \times 10^{-34}\;\text{J-m}$$.
Passo 2 – Numero di atomi per sfera
$$N \;=\; \frac{M_testo{sfera}}{m_testo{atom}} \;=\; \frac{0,742\;\text{kg}}{3,441 \times 10^{-25}};\text{kg}$$
$$N \;=\; 2,157 \times 10^{24}\;\text{atoms}$$.
Passo 3 – Forza della teoria delle api a R = 6 cm
$$F_{\text{BT}} \code(0144)=\; N^2 \cdot \frac{K_{\text{BT}}{R^2} \;=\; (2,157 ´times 10^{24})^2 \cdot \frac{2,771 \times 10^{-34}}{(0,06)^2}$$
$$F_{\text{BT}} \;=\; 3,58 \times 10^{17}\;\text{N}$$.
Passo 4 – Riferimento newtoniano a R = 6 cm
$$F_N \;=\; \frac{G\,M^2}{R^2} \;=\; \frac{6,674 \times 10^{-11} \(0,742)^2}{(0,06)^2}$$
$$F_N \;=\; 1,02 \times 10^{-8}\;\text{N} \;\approx\; 10\;\text{nN}$$.
Il valore newtoniano di circa 10 nN è nell’ordine di grandezza previsto per l’attrazione gravitazionale tra sfere di piombo di meno di un chilogrammo a una separazione centimetrica. Il valore di BeeTheory in questo modello semplificato di particelle equivalenti è molto più grande, ma la sua dipendenza dalla distanza è identica: entrambe le forze scalano come $1/R^2$.
5. Cosa stabilisce questo risultato
Viene riprodotta la struttura quadratica inversa di Newton
Per due sfere macroscopiche trattate come particelle puntiformi equivalenti, la BeeTheory produce una forza che scala esattamente come $1/R^2$ ed è strettamente proporzionale al prodotto delle masse $M_A cdot M_B$. Queste sono le due caratteristiche strutturali che definiscono la legge di Newton sulla gravitazione universale ed entrambe emergono direttamente dal meccanismo d’onda della BeeTheory in questo modello semplificato.
I parametri su scala atomica guidano l’ampiezza
L’ampiezza della Teoria delle Api $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2 m_testo{atom} a_testo{atom})$ dipende esclusivamente dalle proprietà quantistiche degli atomi costituenti: La costante di Planck, la massa atomica e il raggio atomico. La scelta del piombo in questa simulazione fornisce valori numerici specifici, ma la struttura della previsione è generale. Qualsiasi materiale produrrebbe la stessa scala $1/R^2$, con un’ampiezza scalata dai propri parametri atomici.
Il ruolo della costante sperimentale G
La costante gravitazionale di Newton $G$ è una costante macroscopica misurata. La Teoria delle api deriva la struttura dell’interazione gravitazionale dal formalismo ondulatorio; la corrispondenza del valore numerico preciso di $G$ richiede il ponte empirico tra i parametri microscopici delle onde e l’osservazione macroscopica. Il rapporto $F_{{text{BT}}/F_N \ circa 3,5 \times 10^{25}$ trovato sopra quantifica il divario di ampiezza in questo modello di particelle equivalenti a sfera di piombo.
6. Riepilogo
1. Due sfere di piombo di 5 cm di diametro e 742 g ciascuna, trattate come particelle puntiformi equivalenti, generano una forza di BeeTheory della forma $F_{\text{BT}}(R) = N^2 \cdot K_{\text{BT}}/R^2$.
2. Questa forza ha la stessa dipendenza funzionale della legge di Newton $F_N = G\,M^2/R^2$, sia nella scala $1/R^2$ che nella proporzionalità $M_A \cdot M_B$.
3. Il rapporto $F_{{text{BT}}/F_N$ è costante per il piombo in questo modello, pari a $K_{{\text{BT}}/(G m_{\text{atom}^2) ´circa 3,5 ´times 10^{25}$, indipendente dalla distanza.
4. La BeeTheory riproduce quindi la struttura macroscopica inversa-quadrata associata a un assetto gravitazionale di tipo Cavendish, lasciando che la normalizzazione assoluta sia collegata alla costante empirica $G$.
La prossima nota esamina come lo stesso meccanismo ondulatorio, applicato a distribuzioni estese di materia come le galassie e gli ammassi stellari, produca naturalmente ulteriori effetti gravitazionali storicamente attribuiti alla materia oscura – senza invocare alcuna nuova particella.
Riferimenti. Dutertre, X. – Bee Theory™: Modellazione della gravità basata sulle onde, v2, BeeTheory.com (2023). Derivazione fondamentale. – Cavendish, H. – Esperimenti per determinare la densità della Terra, Philosophical Transactions of the Royal Society 88, 469 (1798). Misurazione originale dell’attrazione gravitazionale tra sfere di piombo. – Newton, I. – Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Royal Society (1687). Legge universale della gravitazione.
BeeTheory.com – Gravità quantistica basata sulle onde – Test macroscopico – © Technoplane S.A.S. 2026