蜜蜂理论 – 基础 – 技术说明 IV

数值模拟：
两个铅球之间的蜂论力（卡文迪什设置）

两个直径为 5 厘米的铅球–受卡文迪什实验启发的典型几何形状–为 “蜜蜂理论”（BeeTheory）引力提供了一个宏观测试案例。BeeTheory 将每个球体视为其中心的单个等效粒子，振幅与原子总数成比例，再现了牛顿万有引力定律的反比例缩放。

1.公式、参数和主要结果

两个宏观球体之间的蜂论力

$$F_{\text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{text{BT}}{R^2}$$

其中 $N_A、N_B$ 是每个球中的原子数，而
$K_{text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_\text{atom}\,a_\text{atom})$ 是 “蜜蜂理论 “的原子耦合。

每个球体都被视为一个等效粒子，定位在其几何中心。其集合波函数的振幅是组成球体的 N 个原子的振幅之和，与原子总数成正比，因此也与总质量成正比。两个等效粒子之间的作用力直接来自前注的双原子结果，N_A 乘以 N_B$ 的振幅反映了每个球体的集合波场。

物理参数

参数	符号	价值
还原普朗克常数	$\hbar$	1.0546 *times 10^{-34}$ J-s
原子质量（铅）	$m_\text{atom}$	$3.441 \times 10^{-25}$ kg (= 207.2 u)
原子半径（铅，共价原子）	$a_\text{atom}$	175 美元乘以 10^{-12}$ m = 175 pm
蜜蜂理论原子耦合	$K_{text{BT}}$	$2.771 \times 10^{-34}$ J-m
铅密度	$rho_{text{Pb}}$	$11,340$ kg/m³

模拟的几何形状

数量	价值
每个球体的直径	5.0 厘米
每个球体的半径	2.5 厘米
每个球体的质量	742.2 g
每个球体的原子数 $N$	2.157 *times 10^{24}$
参考中心到中心的距离 $R$	6.0 厘米

主要成果

在宏观尺度上证实了反平方定律

蜜蜂理论预言了两个宏观铅球之间的作用力，其尺度正好为 1/R^2$–这就是万有引力的反平方定律。与牛顿的预言 $F_N = G\,M^2/R^2$ 的比率是恒定的：

$$\frac{F_{\text{BT}}}{F_N}\;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{G\,m_\text{atom}^2}\3.5乘以10^{25}$$

对于这个点等效模型来说，与 $R$ 无关。牛顿定律的函数形式被完全恢复；绝对振幅仍然大于牛顿值，其常数由原子参数 $(\hbar, m_\text{atom}, a_\text{atom})$ 设定。

2.方法：每个球体为一个等效粒子

上一篇技术论文指出，在两个基本粒子之间，”蜜蜂理论 “波机制产生的吸引力遵循牛顿的 1/R^2$ 结构。为了将这一结果推广到宏观物体上，我们使用了最简单的方法：每个球体都表示为一个等效粒子，定位在其中心，其波函数振幅按所含原子总数的比例增大。

放大系数

$$N \;=\; \frac{M_text{sphere}}{m_text{atom}}$$

对于直径为 5 厘米的铅球，得出 $N = 0.742\\text{kg} / 3.441 （乘以 10^{-25},\text{kg} ）。/ 3. 441乘以10^{-25},（text{kg}）\约为 2.16 times 10^{24}$.每个球体的集体波幅比单个铅原子的集体波幅大这么多倍。两个球体之间的 “蜜蜂理论 “力就是由这两个振幅组合而成的：

两个等效粒子之间的力

$$F_{text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{text{BT}}{R^2}=; \frac{M_A \cdot M_B}{m_\text{atom}^2}\cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2}$$

这个公式具有牛顿定律的结构：与质量的乘积成正比，与距离的平方成反比。比例常数是蜂论耦合$K_{\text{BT}}/m_\text{atom}^2$，它在这个简化公式中扮演了有效引力常数的角色：

蜂论有效引力常数

$$G_{text{BT}}\;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{m_\text{atom}^2}\;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_\text{atom}^3\,a_\text{atom}}$$

3.不同距离的数值结果

下表列出了两个铅球之间的比理论力和相应的牛顿力，这些力是在从厘米（典型的卡文迪什天平）到十米（典型的卡文迪什天平）的距离范围内进行评估的：

R$（厘米）	$F_{text{BT}}$ (N)	$f_n = g m^2/r^2$ (n)	$F_{text{BT}}/F_N$	缩放定律
6	10^{17}$ 的 3.58 倍	10^{-8}$ 的 1.02 倍	10^{25}$ 的 3.51 倍	$1/R^2$
10	10^{17}$ 的 1.29 倍	3.68 美元乘以 10^{-9}$	10^{25}$ 的 3.51 倍	$1/R^2$
20	10^{16}$ 的 3.22 倍	$9.19 \times 10^{-10}$	10^{25}$ 的 3.51 倍	$1/R^2$
50	10^{15}$ 的 5.16 倍	1.47 美元乘以 10^{-10}$	10^{25}$ 的 3.51 倍	$1/R^2$
100	1.29 美元乘以 10^{15}$	3.68 美元乘以 10^{-11}$	10^{25}$ 的 3.51 倍	$1/R^2$
1 000	1.29 美元乘以 10^{13}$	3.68 美元乘以 10^{-13}$	10^{25}$ 的 3.51 倍	$1/R^2$

在测试的所有距离中，$F_{\text{BT}}/F_N$ 的比率都是严格不变的。这证明这两个表达式具有相同的$1/R^2$函数形式。在这个简化的等效粒子模型中，BeeTheory完全再现了牛顿的反平方缩放；二者的区别在于原子尺度参数设置的一个总体乘法常数。

4.R = 6$ 厘米处的详细计算

为了使模拟完全透明，下面是在参考卡文迪什配置下的分步计算：

步骤 1 – 原子耦合

$$K_{text{BT}}=; （frac{3次）{2,m_text{atom}（a_text{atom}）\3乘以 (1.054 乘以 10^{-34})^2}{2 乘以 3.441 乘以 10^{-25}\1.75 次 10^{-10}}$$

$$K_{text{BT}}=\; 2.771 \times 10^{-34}\;\text{J-m}$$

步骤 2 – 每个球体的原子数

$$N \;=\; \frac{M_\text{sphere}}{m_\text{atom}}=；（frac{0.742\；text{kg}}{3.441乘以10^{-25}\；text{kg}}}$$$

$$N \;=\; 2.157 倍 10^{24}\;\text{atoms}$$

步骤 3 – R = 6 cm 处的蜂论力

$$F_{\text{BT}}= N^2 ÷cdot ÷frac{K_{\text{BT}}{R^2}\(2.157 times 10^{24})^2 \cdot \frac{2.771 times 10^{-34}}{(0.06)^2}$$

$$F_{text{BT}}=\;3.58乘以10^{17}\;\text{N}$

步骤 4 – R = 6 cm 处的牛顿参考

$$F_N \;=\;\frac{G\,M^2}{R^2}=; （frac{6.674乘以10^{-11}）\times (0.742)^2}{(0.06)^2}$$

$$F_N =; 1.02 times 10^{-8}\;\text{N}\10^{-8}乘以10^{-8}{text{n}$$F_N

牛顿定律的数值约为 10 nN，与亚千克铅球之间在厘米级距离上的引力大小相符。在这个简化的等效粒子模型中，蜜蜂理论的数值要大得多，但其距离依赖性是相同的：两种力的比例都是 1/R^2$。

5.这一结果所确定的

牛顿反平方结构再现

对于被视为等效点粒子的两个宏观球体，BeeTheory 产生的力的尺度恰好为 1/R^2$，并且与质量 $M_A cdot M_B$ 的乘积严格成正比。这是牛顿万有引力定律的两个决定性结构特征，而这两个特征都是在这个简化模型中直接从蜂巢理论波机制中产生的。

原子尺度参数驱动振幅

蜜蜂理论振幅 $K_{text{BT}} = 3\hbar^2/(2 m_\text{atom} a_\text{atom})$ 完全取决于组成原子的量子特性：普朗克常数、原子质量和原子半径。本次模拟选择的铅提供了特定的数值，但预测的结构是通用的。任何材料都会产生相同的 1/R^2$ 缩放，振幅按其原子参数缩放。

实验常数 G 的作用

牛顿引力常量 $G$ 是一个测量到的宏观常数。蜜蜂理论从波形式主义中推导出引力相互作用的结构；要匹配 $G$ 的精确数值，需要在微观波参数和宏观观测之间架起经验桥梁。上面发现的比值 $F_{\text{BT}}/F_N （约为 10^{25}$ 的 3.5 倍）量化了这个铅球等效粒子模型中的振幅差距。

6.总结

1.两个直径各为 5 厘米、重量各为 742 克的铅球被视为等效的点粒子，它们会产生形式为 $F_{\text{BT}}(R) = N^2 \cdot K_{\text{BT}}/R^2$ 的蜂论力。

2.这种力与牛顿定律 $F_N = G\,M^2/R^2$ 具有相同的函数关系，无论是在 1/R^2$ 的比例上，还是在 $M_A \cdot M_B$ 的比例上。

3.在该模型中，铅的比值 $F_{\text{BT}}/F_N$ 是恒定的，等于 $K_{\text{BT}}/(G m_\text{atom}^2) （约 3.5 倍 10^{25}$），与距离无关。

4.因此，蜜蜂理论再现了与卡文迪什型引力设置相关的宏观反平方结构，同时将绝对归一化与经验常数 $G$ 联系起来。

下一篇文章将探讨同样的波机制如何应用于星系和星团等物质的扩展分布，从而自然产生历史上归因于暗物质的额外引力效应–而不需要调用任何新粒子。

参考文献。Dutertre, X. –Bee Theory™：Wave-BasedModeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023)。基础推导。- H. 卡文迪什 –确定地球密度的实验，《皇家学会哲学论文集》第 88 卷第 469 页（1798 年）。铅球间引力的原始测量。- 牛顿（Newton, I. ）–《自然哲学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica），皇家学会（1687 年）。万有引力定律。

数值模拟：两个铅球之间的蜂论力（卡文迪什设置）