نظرية النحلة – الأسس – المذكرة الفنية الرابعة
المحاكاة العددية:
قوة نظرية النحل بين كرتين رصاصيتين (إعداد كافنديش)
توفر كرتان رصاصيتان قطرهما 5 سم – وهي هندسة قانونية مستوحاة من تجربة كافنديش – حالة اختبار عيانية لقوة الجاذبية في نظرية النحلة. وبمعاملة كل كرة على أنها جسيم مكافئ واحد في مركزها، مع قياس السعة إلى إجمالي عدد الذرات، تعيد نظرية النحلة إنتاج القياس المقلوب المربع لقانون نيوتن للجاذبية.
1. الصيغة والمعلمات والنتيجة الرئيسية
قوة نظرية النحلة بين كرتين عيانيتين
$$$$F_{{{{نص{{BT}}(R) \؛ = ؛ =\؛ N_A \cdot N_B \cdot \frac{{K_{{{نص{BT}}}{R^2}$$$$$
حيث $N_A وN_B$ هما عدد الذرات في كل مجال، و
$$K_{\{\نص{BT}} = 3\bar^2/(2\، م_نص{ذرة}\، أ_نص{ذرة})$ هو اقتران ذرة نظرية النحل.
تُعامَل كل كرة باعتبارها جسيمًا مكافئًا واحدًا متمركزًا عند مركزها الهندسي. وسعة دالة موجتها الجماعية تساوي مجموع سعات الذرات $N$ التي تكوِّن الكرة – وهي تتناسب مع العدد الكلي للذرات وبالتالي مع الكتلة الكلية. وتتبع القوة بين الجسيمين المتكافئين مباشرة من نتيجة الذرتين الواردة في الملاحظة السابقة، حيث تعكس سعة $N_A في N_B$ سعة الدالة الموجية الجماعية لكل كرة.
المعلمات الفيزيائية
| المعلمة | الرمز | القيمة |
|---|---|---|
| ثابت بلانك المخفض | دولار أمريكي | 1.0546 دولارًا أمريكيًا في 10^^{-34}$ J-s |
| الكتلة الذرية (الرصاص) | $_م_نص/{ذرة}$$ | 3.441 \times 3.441 \times 10^{25}$ كجم (= 207.2 u) |
| نصف القطر الذري (الرصاص، التساهمي) | $_دولار_نص/{ذرة}$ | 175 دولارًا أمريكيًا × 10^^{-12}$ م = 175 دولارًا أمريكيًا |
| الاقتران الذري لنظرية النحلة | $_K_{{{{{نص{BT}}}$ | 2.771 \times 10^{-34}$ J-m دولار أمريكي |
| كثافة الرصاص | $\rho_{{{النص{Pb}}$$$ | 11 دولارًا أمريكيًا/ 340$ كجم/م³ |
هندسة المحاكاة
| الكمية | القيمة |
|---|---|
| قطر كل كرة | 5.0 سم |
| نصف قطر كل كرة | 2.5 سم |
| كتلة كل كرة | 742.2 g |
| عدد الذرات في كل كرة $N$$ | 2.157 دولارًا أمريكيًا في 10^{24}$ دولارًا أمريكيًا |
| المسافة المرجعية من المركز إلى المركز $ R$ | 6.0 سم |
النتيجة الرئيسية
تأكيد قانون المربع العكسي على النطاق العياني
تتنبأ نظرية النحلة بوجود قوة بين كرتين رصاصيتين ماكروسكوبية تتدرج بمقياس 1$/ر^2^$ بالضبط – قانون المربع العكسي للجاذبية. النسبة مع التنبؤ النيوتوني $$F_N = G\,M^2^^^2/R^2$ ثابتة:
$$\frac{F_{\text{BT}}}{F_N} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{G\,m_\text{atom}^2} \؛ \approx\؛ 3.5 \times 10^{25}}$$$
مستقلة عن $R$$ لهذا النموذج المكافئ للنقطة. يتم استرداد الشكل الوظيفي لقانون نيوتن بشكل متطابق؛ وتظل السعة المطلقة أكبر من القيمة النيوتونية بعامل ثابت تحدده المعلمات الذرية $$ (\البار، m_\text{atom}، a_\text{atom})$$.
2. الطريقة: كل كرة بمثابة جسيم مكافئ واحد
أثبتت الملاحظة الفنية السابقة أنه بين جسيمين أوليين، تُنتِج آلية موجات نظرية النحلة قوة جذب تتبع بنية نيوتن 1/R^2$. ولتوسيع نطاق هذه النتيجة لتشمل الأجسام العيانية الكبيرة، نستخدم أبسط وصفة: كل كرة تُمثَّل على أنها جسيم مكافئ واحد متمركز عند مركزها، مع زيادة سعة دالتها الموجية بما يتناسب مع إجمالي عدد الذرات التي تحتويها.
عامل التضخيم
$$$$N \\;=\\؛ \frac{M_نص{م_نص{كرة}}{m_نص{ذرة}}$$$$
بالنسبة إلى كرة رصاصية قطرها 5 سم، فإن هذا يعطي $N = 0.742\\، \ نص{كجم} / 3.441 \times 10^{-25}\، \times 10^{25}\، \ttext{kg} \ ما يقرب من 2.16 \ مرة 10^{24}$. إن سعة الموجة الجماعية لكل كرة أكبر بهذه المرات من سعة موجة ذرة الرصاص الواحدة. ثم يتم الحصول على قوة نظرية النحلة بين الكرتين من خلال الجمع بين السعتيْن:
القوة بين جسيمين متكافئين
$$$$F_{{\\نص{{BT}}(R) \\؛ =\\؛ N_A \cdot N_B \cdot \frac{{K_{{{{{نص{BT}}}{R^2}} \\؛ =\\؛ \frac{M_A \cdot M_B}{m_\\text_{atom}^2} \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2}$$
هذه الصيغة لها بنية قانون نيوتن: التناسب مع حاصل ضرب الكتلتين والتناسب العكسي مع مربع المسافة. وثابت التناسب هو اقتران نظرية النحلة $K_{\\text{BT}}/m_\text{atom}^2$، والذي يلعب دور ثابت الجاذبية الفعال في هذه الصيغة المبسطة:
نظرية النحلة ثابت الجاذبية الفعال
$$$$G_{\\نص{{BT}} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{m_\text{atom}^2} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_\text{atom}^3\,a_\text{atom}}$$
3. النتائج العددية عبر المسافات
يوضِّح الجدول أدناه قوة نظرية النحل والقوة النيوتونية المناظرة لها بين الكرتين الرصاصيتين، مُقَيَّمة عند مسافات تتراوح بين سنتيمترات، وهي المسافة النموذجية لميزان كافنديش، وعشرة أمتار:
| ريال برازيلي (سم) | $F_{{{\text{{BT}}$ (N) | $ f_n = g m^2/r^2$ (n) | $_F_{{\text{BT}}/F_N$ | قانون التحجيم |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 3.58 دولارًا أمريكيًا في 10^^{17}$ دولارًا أمريكيًا | 1.02 دولار في 10^^{-8}$ دولار | 3.51 دولارًا أمريكيًا في 10^^{25}$ دولارًا أمريكيًا | $1/R^2$ |
| 10 | 1.29 دولار في 10^^{17}$ دولار | 3.68 \3.68 دولارًا أمريكيًا في 10^^{9}$ | 3.51 دولارًا أمريكيًا في 10^^{25}$ دولارًا أمريكيًا | $1/R^2$ |
| 20 | 3.22 دولار في 10^^{16}$ دولار | 9.19 دولارًا أمريكيًا في 10^^{10}$ دولار أمريكي | 3.51 دولارًا أمريكيًا في 10^^{25}$ دولارًا أمريكيًا | $1/R^2$ |
| 50 | 5.16 دولار في 10^^{15}$ دولار | 1.47 دولار في 10^^{10}$ دولار | 3.51 دولارًا أمريكيًا في 10^^{25}$ دولارًا أمريكيًا | $1/R^2$ |
| 100 | 1.29 دولار في 10^^{15}$ دولار | 3.68 \3.68 دولارًا أمريكيًا في 10^^{-11}$ | 3.51 دولارًا أمريكيًا في 10^^{25}$ دولارًا أمريكيًا | $1/R^2$ |
| 1 000 | 1.29 دولار في 10^^{13}$ دولار | 3.68 \3.68 دولارًا أمريكيًا في 10^^{-13}$ | 3.51 دولارًا أمريكيًا في 10^^{25}$ دولارًا أمريكيًا | $1/R^2$ |
تكون النسبة $F_{\\text{BT}}/F_N$ ثابتة تمامًا عبر جميع المسافات التي تم اختبارها. وهذا يؤكد أن التعبيرين يشتركان في نفس الشكل الوظيفي 1/R^2$. في هذا النموذج الجزيئي المكافئ المبسط، تستنسخ نظرية بي ثوري نموذج نيوتن العكسي التربيعي بالضبط؛ ويختلف الاثنان بثابت تضاعفي كلي تحدده معاملات المقياس الذري.
4. الحساب التفصيلي عند R = 6$ سم
لجعل المحاكاة شفافة تمامًا، إليك الحساب خطوة بخطوة في التكوين المرجعي الشبيه بكافنديش:
الخطوة 1 – الاقتران الذري
$$$$$K_{\{نص{{BT}} \;=\؛ \؛ \frac{3 \hbar ^2}{2\، م_نص_نص_{ذرة}}، أ_نص_نص_{ذرة}} \;=\؛ \\؛ \frac{3 \times (1.054 \times 10^{-34})^2}{2 \times 3.441 \times 10^{-25} \times 1.75 \times 10^{-10}}$$$$
$$$$$$K_{\{\نص{{BT}} \؛ = \\؛ 2.771 \times 10^{-34}\؛ \text{J-m}$$$$
الخطوة 2 – عدد الذرات في كل كرة
$$$N \\؛ = \\؛ \frac{M_\\text{sphere}}{m_text{atom}} \\؛ =\؛ \frac{0.742\؛ \ نص{كجم}}{3.441 \times 10^{25}\؛ \text{كجم}}$$$$$
$$$$N \\;=\\؛ 2.157 \times 10^{24}\\\؛ \نص{ذرات}$$$
الخطوة 3 – قوة نظرية النحل عند R = 6 سم
$$$$F_{\{النص{{BT}} \\;=\\؛ N^2 \n^2 \cdot \frac{K_{{{{{النص{{BT}}}{R^2}} \;= \\؛ (2.157 \times 10^{24}) ^2 \cdot \frac{2.771 \times 10^{-34}}{(0.06)^2}$$$$$
$$$$$$F_{\{نص{{BT}} \؛ = \\؛ 3.58 \times 10^{17}\؛ \text{N}$$$$
الخطوة 4 – المرجع النيوتوني عند R = 6 سم
$$$$F_N \\; = \\; \frac{G\، M^2}{R^2} \;=\\؛ \frac{6.674 \times 10^{-11} \times (0.742)^2}{{(0.06)^2}$$$$$$
$$$$$F_N \؛ = \؛ 1.02 \times 10^{-8}\؛ \نص{ن} \؛ \\approx\؛ 10\؛ \\\نص{ن}$$$$$$
والقيمة النيوتونية التي تبلغ حوالي 10 نيوتن هي في الترتيب المتوقع من حيث الحجم لقوة الجاذبية بين كرات رصاصية دون الكيلوجرام عند مسافة بمقياس سنتيمتر واحد. أما قيمة نظرية النحل في نموذج الجسيمات المتكافئة المبسَّط هذا فهي أكبر بكثير، لكن اعتمادها على المسافة متطابق: كلا القوتين تتقاربان بمقياس 1^^2$.
5. ما تؤسسه هذه النتيجة
يتم استنساخ بنية نيوتن المربعة العكسية
بالنسبة للكرتين العيانيتين اللتين يتم التعامل معهما كجسيمات نقطية متكافئة، تنتج نظرية النحلة قوة تتناسب تمامًا مع 1/R^2$ وتتناسب تمامًا مع حاصل ضرب الكتلتين $M_A cdot M_B$. وهاتان هما السمتان البنيويتان المحددتان لقانون نيوتن للجاذبية العامة، وكلاهما ينبثق مباشرةً من آلية موجة BeeTheory في هذا النموذج المبسط.
معلمات المقياس الذري تقود السعة
تعتمد سعة نظرية النحلة $K_{\\text{{BT}} = 3\hbar ^2/(2 m_\text{atom} a_\\text{atom})$ فقط على الخصائص الكمومية للذرات المكونة: ثابت بلانك والكتلة الذرية ونصف القطر الذري. يوفر اختيار الرصاص في هذه المحاكاة قيمًا عددية محددة، لكن بنية التنبؤ عامة. أي مادة من شأنها أن تنتج نفس مقياس 1/R^2$، مع سعة تقاس بمعاييرها الذرية الخاصة بها.
دور الثابت التجريبي G
ثابت الجاذبية لنيوتن $G$ هو ثابت عياني مقيس. تستمد نظرية بي ثوري بنية تفاعل الجاذبية من شكلية الموجات؛ وتتطلب مطابقة القيمة العددية الدقيقة لـ $G$ الجسر التجريبي بين معاملات الموجات المجهرية والملاحظة العيانية. إن النسبة $F_{\\text{{BT}}/F_N \nتقريبًا 3.5 \times 10^{25}$ التي تم العثور عليها أعلاه تحدد فجوة السعة في نموذج الجسيم المكافئ للكرة الرصاصية.
6. ملخص
1. تُولِّد كرتان رصاصيتان قطر كل منهما 5 سم و742 جم، تُعامَلان كجسيمات نقطية مكافئة، قوة نظرية نحوية على الصورة $F_{\\text{BT}(R)= N^2 \cdot K_{\text{BT}}/R2$.
2. هذه القوة لها نفس الاعتماد الدلالي لقانون نيوتن $F_N = G\، M^2/R^2^2$، سواء في قياسها 1/R^2$ أو تناسبها $M_A \cdot M_B$.
3. والنسبة $F_{{\\text{{BT}}/F_N$ ثابتة للرصاص في هذا النموذج، وتساوي $K_{\text{BT}}/(G m_text{{atom}^2) \تقريباً 3.5 \times 10^{25}$، بغض النظر عن المسافة.
4. وبذلك تستنسخ نظرية النحلة البنية المربعة العكسية العيانية المرتبطة بإعداد الجاذبية من نوع كافنديش، مع ترك التطبيع المطلق مرتبطًا بالثابت التجريبي $G$.
تدرس الملاحظة التالية كيف أن آلية الموجات نفسها، المطبقة على التوزيعات الممتدة للمادة مثل المجرات والعناقيد النجمية، تنتج بشكل طبيعي تأثيرات جاذبية إضافية تُعزى تاريخياً إلى المادة المظلمة – دون استدعاء أي جسيم جديد.
المراجع. دوتيرتر، إكس. – نظرية النحل™: النمذجة المستندة إلى الموجة للجاذبية، الإصدار 2، BeeTheory.com (2023). الاشتقاق التأسيسي. – كافنديش، ه. – تجارب لتحديد كثافة الأرض، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية 88، 469 (1798). القياس الأصلي لقياس الجاذبية بين كرات الرصاص. – نيوتن، I. – Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica، الجمعية الملكية (1687). القانون العام للجاذبية.
موقع BeeTheory.com – الجاذبية الكمية القائمة على الموجات – اختبار ماكروسكوبي – © Technoplane S.A.S 2026