BeeTheory – Teoretiskt ramverk – 2025

Två skalor, två formler

BeeTeorys vågekvation gäller på två olika nivåer av verkligheten: elementarpartikeln och den makroskopiska massfördelningen.

Det är inte samma formel. De får inte blandas ihop.

BeeTheory.com – Dutertre (2023) – Utökad härledning 2025

Formel I – Skala I – Kvantum

Den elementära partikelns vågfunktion

\(\psi(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{-r/a}\)

r är avståndet från partikelns centrum.

a är de Broglie-Bohr-skalan för partikeln.

Detta a är fixerat av partikelns kvanttillstånd. Det beror inte på densiteten hos den omgivande materian.

Formel II – Skala II – Astrofysisk

Den makroskopiska massdensitetskärnan

\(\rho_{\mathrm{dark}}(\mathbf r)=\frac{K}{\ell}\int \rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r’)e^{-|\mathbf r-\mathbf r’|/\ell}\,dV’\)

_ρvis är den synliga, baryoniska masstätheten.

ℓ är koherenslängden för källkomponenten.

Denna ℓ beror på källstrukturens geometri och skala, inte på enskilda partiklar.

Det som förenar dem

Formel I beskriver den mikroskopiska vågen från en enskild partikel eller ett partikelpar. Formel II beskriver det kollektiva fält som uppstår när en makroskopisk massfördelning behandlas som en kontinuerlig källa.

I. Formel I – Den elementära partikeln

BeeTheory börjar på den mest grundläggande nivån. Varje massiv elementarpartikel modelleras som en sfäriskt symmetrisk vågfunktion som sönderfaller exponentiellt från sitt centrum.

För en partikel i sitt grundtillstånd:

\(\psi(\mathbf r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}\exp\left(-\frac{|\mathbf r|}{a}\right)\)

Här är a den karakteristiska avklingningslängden för partikelns vågfunktion.

För väteatomen är a = a0 = 52,9 pm, Bohrs radie. Detta är en kvantmekanisk konstant som härleds från elektronmassan, protonmassan och ℏ.

För en neutron eller proton är a i storleksordningen kärnradien, cirka 1 fm.

Sönderfallskonstanten a är en egenskap hos partikelns kvanttillstånd. Den bestäms av fysiken: av ℏ, av m och av bindningsenergin. Den ändras inte för att det finns många partiklar i närheten.

En väteatom i en galaktisk disk har samma a0 som en väteatom i tomrummet i den intergalaktiska rymden.

Vad Schrödingerekvationen ger

Genom att tillämpa ekvationen Ĥψ = Eψ utan potential, som ren kinetisk energi i BeeTheory-ramverket, är den exakta Laplacianen i sfäriska koordinater:

\(\nabla^2\psi(r)=\psi(r)\left(\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ar}\right)\)

Två termer framträder: en konstant kinetisk term och en Coulomb-liknande term.

Den konstanta termen är:

\(+\frac{1}{a^2}\)

Den Coulomb-liknande termen är:

\(-\frac{2}{ar}\)

Det är termen -2/(ar) som, när den projiceras på en andra partikel på avståndet R, ger upphov till den attraktiva växelverkan.

Interaktionsenergin mellan partikel A vid origo och partikel B på avståndet R får följande form efter fullständig 3D-integration över B:s vågfunktion:

\(E(R)=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}\exp\left(-\frac{R}{\alpha_{\mathrm{eff}}}\right)+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}\) \(\kappa=3.509E_h=95.5\,\mathrm{eV}\) \(\alpha_{\mathrm{eff}}=1.727a_0=91.4\,\mathrm{pm}\)

Denna ekvation kalibrerades på vätemolekylen med hjälp av två experimentella begränsningar: bindningslängden och dissociationsenergin.

\(R_{\mathrm{eq}}=74.1\,\mathrm{pm}\) \(D_e=4.52\,\mathrm{eV}\)

Resultatet återger båda begränsningarna med en noggrannhet på 0,1 procent.

Den viktigaste punkten är att _αeff inte är lika med _a0. Det effektiva sönderfallet av tvåpartikelinteraktionen är 73 procent längre än vågfunktionen för en enda partikel.

Detta är inte en fri parameter. Den härleds analytiskt från de två kalibreringsvillkoren:

\(\alpha_{\mathrm{eff}}=R_{\mathrm{eq}}+D_eR_{\mathrm{eq}}^2\)

Vad Formel I inte är beroende av

ψ(r) och dess parametrar, inklusive a, κ och _αeff, bestäms av kvantmekaniken hos enskilda partiklar och par. De är oberoende av den lokala densiteten.

Oavsett om en väteatom befinner sig i solens närhet eller i ett interstellärt moln är dess vågfunktion identisk. Formel I är en mikroskopisk ekvation.

II. Formel II – Det makroskopiska systemet

I galaktiska skalor är det varken möjligt eller meningsfullt att spåra enskilda partiklar. Den relevanta storheten är masstäthetsfältet.

\(\rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r)\)

BeeTeorys andra formel beskriver hur denna kontinuerliga densitet genererar ett mörkt massafält genom en konvolution med en exponentiell kärna.

\(\rho_{\mathrm{dark}}(\mathbf r)=\frac{K}{\ell}\int_{\mathrm{source}}\rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r’)\frac{(1+\alpha D)e^{-\alpha D}}{D^2}\,dV’\) \(D=|\mathbf r-\mathbf r’|,\qquad \alpha=\frac{1}{\ell}\)

Kärnan är..:

\(\frac{(1+\alpha D)e^{-\alpha D}}{D^2}\)

Detta är den kraftkärna som härrör från BeeTheory-potentialen.

\(V\propto\frac{e^{-\alpha D}}{D}\)

Den reduceras till Newtons invers-kvadratform för D som är mycket mindre än ℓ, och den avtar exponentiellt för D som är mycket större än ℓ.

Den viktigaste skillnaden: Vad är ℓ här?

I formel II är koherenslängden ℓ inte Bohrradien _a0 eller någon annan skala för enstaka partiklar.

Det är koherenslängden för den makroskopiska källstrukturen: det avstånd över vilket massfördelningen förblir rumsligt korrelerad.

Detta är en framväxande, kollektiv egenskap hos systemet.

ℓ:s fysikaliska ursprung i makroskopisk skala

Betrakta N partiklar som bildar en källstruktur med den karakteristiska storleken _Lkälla. Varje partikel avger en våg med avklingningsskalan a. När dessa vågor summeras koherent har det överlagrade fältet en koherenslängd som beror på källans rumsliga organisation, inte bara a.

I gränsvärdet N → ∞ och _Lsource ≫ a försvinner enpartikelskalan a helt och hållet. Den makroskopiska koherenslängden ℓ bestäms av _Lsource och av massfördelningens geometri.

Detta är analogt med koherens inom optiken: enskilda fotoner har våglängden λ, men koherenslängden för en laserstråle beror på kavitetsgeometrin, inte enbart på λ.

De två galaktiska komponenterna – två värden på ℓ

Rotationskurvan för Gaia 2024 avslöjar två distinkta regimer som är åtskilda nära R ≈ 5,5 kpc. BeeTheory anpassar dem med två oberoende tillämpningar av formel II, en per baryonisk komponent.

Källa komponent	Geometri	Källans storlek L	ℓ monterad	ℓ / L	K monterad	λ = Kℓ²
Utbuktning + bar	Sfärisk 3D	_rb = 1,5 kpc	0,61 kpc	0.41	1,055 kpc-¹	0.39
Skiva, tunn + tjock + gas	Exponentiell skiva 2D	_Rd = 3,5 kpc	11,1 kpc	3.17	0,02365 kpc-¹	2.90

Förhållandet _ℓ/Lkälla är 0,41 för bulben och 3,17 för skivan. Denna skillnad återspeglar geometrin hos varje komponent.

Utbuktningen är kompakt och centralt koncentrerad. Dess massa är tätt bunden och dess kollektiva vågfält har en kort koherenslängd. Detta driver den snabba ökningen av _Vc vid R < 5 kpc.
Skivan är utsträckt och spridd över tiotals kiloparsec. Dess kollektiva koherens är motsvarande lång. Det mörka fältet sträcker sig långt in i halon, vilket upprätthåller den platta rotationskurvan och sedan orsakar Gaia 2024-nedgången bortom _ℓd ≈ 11 kpc.

III. Bryggan mellan de två formlerna

Hur kan formel I på partikelnivå ge upphov till formel II på makroskopisk nivå? Sambandet är ett aggregeringsargument i flera steg.

Steg 1 – Partikel till par

Två partiklar A och B på avståndet D interagerar genom en parpotential av Yukawa-typ:

\(V(D)=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}e^{-D/\alpha_{\mathrm{eff}}}\)

Avklingningsskalan _αeff är den effektiva räckvidden på partikelnivå.

Steg 2 – Par till ensemble

För N partiklar som bildar en källa är potentialen summan av alla parbidrag.

\(V(\mathbf r)=\sum_i V(|\mathbf r-\mathbf r_i||)\)

I kontinuumgränsen blir den diskreta summan en volymintegral över källdensiteten:

\(V(\mathbf r)\rightarrow \int\rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r’)V(D)\,dV’\)

Steg 3 – Potential till densitet

Den mörka massans densitet härleds från gravitationspotentialen via Poissons ekvation.

\(\rho_{\mathrm{dark}}(\mathbf r)\equiv-\frac{\nabla^2V(\mathbf r)}{4\pi G}+\mathrm{källa\korrigering}\)

För en Yukawa-potential ger detta den makroskopiska BeeTheory-kärnan:

\(\frac{(1+\alpha D)e^{-\alpha D}}{D^2}\)

Steg 4 – Renormalisering av ℓ

Den makroskopiska koherenslängden är inte bara den mikroskopiska partikelskalan. Den renormaliseras av källans storlek och geometri.

\(\ell_{\mathrm{macro}}=\alpha_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{pair}}\mathcal F\left(\frac{L_{\mathrm{source}}}{\alpha_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{pair}}}\right)\)

När källans storlek är mycket större än den mikroskopiska parskalan bestäms den makroskopiska koherenslängden inte längre av parskalan. Den bestäms av _Lsource och av källans geometri genom funktionen 𝓕.

Frikoppling av skalor

Bohrs radie är..:

\(a_0=52.9\,\mathrm{pm}=1.72\times10^{-15}\,\mathrm{kpc}\)

Diskens koherenslängd är:

\(\ell_d=11.1\,\mathrm{kpc}\)

Förhållandet är:

\(\frac{\ell_d}{a_0}\approx6.5\times10^{15}\)

Detta är inte ett misslyckande för teorin. Det är den förväntade konsekvensen av att summera cirka ¹⁰⁶⁷ partikelpars interaktioner sammanhängande över en galaktisk källa med en storlek på cirka 25 kpc.

Den kollektiva sammanhållningen uppstår i den kollektiva strukturens skala, inte i dess beståndsdelars skala.

Den öppna teoretiska frågan: 𝓕(L/α)

Funktionen 𝓕 som mappar källgeometri till makroskopisk ℓ är det centrala olösta problemet i BeeTeorys teori om flera skalor.

Från den galaktiska passformen observerar vi:

\(\frac{\ell_{\mathrm{bulge}}}{r_b}=0.41,\qquad \frac{\ell_{\mathrm{disk}}}{R_d}=3.17\)

Om ℓ skalar som en potens av _Lsource, då:

\(\ell\propto L_{\mathrm{source}}^\gamma\) \(\gamma=\frac{\log(11.1/0.61)}{\log(3.5/1.5)}\approx\frac{\log(18.2)}{\log(2.33)}\approx3.4\)

Detta är en brant skalning. Alternativt kan skillnaden bero på geometrin: en skivkälla och en sfärisk källa genererar kvalitativt olika kollektiva fält.

För att bestämma 𝓕 måste BeeTheory tillämpas på ett urval av galaxer med olika morfologi.

IV. Sammanfattning – De två formlerna sida vid sida

Aspekt	Formel I – elementär partikel	Formel II – makroskopiskt system
Objekt	Enstaka partikel eller partikelpar	Kontinuerligt täthetsfält _ρvis(r)
Vågfunktion	ψ(r) = ^Ne-r/a, exakt kvanttillstånd	Ej tillämpligt; ersatt av _{ρvis-fältet}
Tonartslängd skala	a = _a0 = 52,9 pm, Bohrs radie	ℓ = källstrukturens koherens
Beror på den lokala tätheten?	Nej. _a0 är en universell konstant.	Ja. ℓ återspeglar källans geometri och storlek.
Interaktionspotential	E(R) = -(κ/√π)^e-R/αeff + repulsion	V(D) ∝ ^e-D/ℓ/D
Kraftlag	Exponentiell kraft med kort räckvidd	Newtons 1/D²-gräns för D ≪ ℓ
Kalibrering	H₂-molekyl:_Req = 74,1 pm,_De = 4,52 eV	Vintergatan: Gaia 2024 rotationskurva, χ²/dof = 0,24
Fria parametrar	κ = 3,509_Eh, _αeff = 1,727 _a0	K och ℓ per källkomponent
Fysisk regim	D ~ _a0 ~ 10-¹¹ m	D ~ ℓ ~ 10²⁰ m
Anslutning	Formel II framkommer genom att summera Formel I över ~10⁶⁷ partikelpar. Den mikroskopiska skalan _a0 frikopplas; ℓ bestäms av den kollektiva källgeometrin.

Formel I beskriver hur ett enda masselement skapar en våg. Formel II beskriver hur en ensemble av masselement – en galax, en utbuktning, en skiva – skapar ett kollektivt mörkt fält.

Det förstnämnda är kvantmekanik. Det senare är statistisk mekanik tillämpad på BeeTheory.

Varför denna distinktion är viktig för BeeTheorys förutsägelser

Utan denna distinktion skulle man kunna förvänta sig att mätning av K och ℓ i en galax omedelbart förutsäger alla andra som universalkonstanter.

Verkligheten är mer subtil. K verkar vara ungefär universellt genom den dimensionslösa kopplingen:

\(\lambda=K\ell^2\approx3\)

Men ℓ måste beräknas utifrån geometrin för varje källkomponent.

Förutsägelsen blir: givet en galax radie_Rd i diskskalan, bör dess yttre koherenslängd för mörk massa vara ungefär:

\(\ell_d\approx3R_d\)

Detta är testbart mot SPARC-katalogen med 175 galaxer.

Utbuktningsförhållandet erbjuder ett andra test:

\(\frac{\ell_b}{r_b}\approx0.4\)

Detta förutsäger att kompakta utbuktningar genererar mörka massfält på sub-kpc-skalor, koncentrerade nära galaktiska centra.

Referenser

Dutertre, X. – Bee Theory™: Vågbaserad modellering av gravitationen, v2, BeeTheory.com, 2023. Originalformulering av elementarpartikelns vågfunktion.
Kolos, W., Wolniewicz, L. – Potential-Energy Curves for the H₂ molecule, Journal of Chemical Physics 43, 2429, 1965. Kalibreringsdata för formel I.
Ou, X. et al. – Vintergatans profil för mörk materia härledd från dess cirkulära hastighetskurva, MNRAS 528, 2024. Kalibreringsdata för Formel II.
McMillan, P. J. – MNRAS 465, 76, 2017. Modell för galaktisk massa som används för att definiera källkomponenterna.
Yukawa, H. – On the Interaction of Elementary Particles, Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan 17, 48, 1935. Matematisk struktur för den makroskopiska potentialen.