Funzioni d’onda per due atomi di idrogeno: Derivazione e calibrazione rigorosa

1. La funzione d’onda: Forma 3D esatta

1.1 Postulato di partenza della Teoria delle Api

Ogni particella elementare è modellata da una funzione d’onda che decade esponenzialmente in tutte e tre le direzioni spaziali dal suo centro. Per l’atomo di idrogeno nel suo stato fondamentale, questo non è solo un postulato, ma un risultato quantomeccanico esatto: la funzione d’onda della BeeTheory coincide con l’orbitale 1s dell’idrogeno.

\(\psi_{1s}(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\exp\left(-\frac{r}{a_0}\right),\qquad r=|\mathbf{r}|\)

In notazione compatta con α = _1/a0:

\(\psi(r)=\frac{\alpha^{3/2}}{\sqrt{\pi}}e^{-\alpha r}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}\)

1.2 Normalizzazione – Verifica esatta

\(\int_0^\infty|\psi(r)|^2\,4\pi r^2\,dr=\frac{4\alpha^3}{\pi}\cdot\pi\int_0^\infty r^2e^{-2\alpha r}\,dr=\frac{4\alpha^3}{1}\cdot\frac{2}{(2\alpha)^3}=1\)

1.3 Energia – Verifica dell’equazione di Schrödinger

Applicazione dell’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:

\(\hat{H}\psi=E\psi\) \(\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2+V(r),\qquad V(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}\)

Il Laplaciano esatto di exp(-αr) in coordinate sferiche è:

\(\nabla^2\left(e^{-\alpha r}\right)=\frac{d^2}{dr^2}\left(e^{-\alpha r}\right)+\frac{2}{r}\frac{d}{dr}\left(e^{-\alpha r}\right)=e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right)\)

Correzione al documento BeeTheory

L’approssimazione originale ∇²f(r) ≈ _-3α/RAB scarta la dipendenza radiale. Il Laplaciano esatto ha due termini: ^α²e-αr e ^-2αe-αr/r. La derivazione corretta mantiene entrambi i termini.

In unità atomiche, con ħ =_me = e = 1 e _a0 = 1:

\(\nabla^2\psi=\psi(r)\left(1-\frac{2}{r}\right)\) \(T\psi=-\frac{1}{2}\nabla^2\psi=\psi\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2}\right)\) \(V\psi=-\frac{1}{r}\psi\) \((T+V)\psi=\psi\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2}-\frac{1}{r}\right)=-\frac{1}{2}\psi\) \(E_{1s}=-\frac{1}{2}E_h=-13.6057\,\mathrm{eV}\)

3. Dall’accoppiamento cinetico al potenziale di interazione

3.1 L’interazione completa della Teoria delle Api

L’interazione BeeTheory tra gli atomi A e B deriva dall’accoppiamento cinetico del campo d’onde di A con la densità di elettroni di B. In combinazione con la repulsione nucleare, l’energia totale di interazione assume la forma:

\(E_{\mathrm{BT}}(R)=-\kappa\frac{e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}}{\sqrt{\pi}}+\frac{1}{R}\)

Il termine negativo è attrattivo e il termine 1/R è la repulsione nucleare. Due parametri controllano l’interazione: κ e _αeff.

3.2 Confronto con il documento originale

3.3 Perché il potenziale è di Yukawa, non di Coulomb

Il fattore ^e-R/αeff emerge dall’ampiezza dell’onda di A nella posizione di B. A una grande separazione, l’interazione decade in modo esponenziale. Questo rende l’interazione BeeTheory su scala atomica un potenziale di Yukawa a raggio finito.

\(F(R)=-\frac{dE}{dR}=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}\alpha_{\mathrm{eff}}}e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}+\frac{1}{R^2}\)

Alla lunghezza del legame H₂, i termini attrattivi e repulsivi si bilanciano.

5. Curva dell’energia potenziale e confronto con l’esperimento

Grafico suggerito: Curva dell’energia potenziale H₂ che confronta la Teoria delle Api, Heitler-London e i dati di riferimento sperimentali.

Testo Alt: Curva dell’energia potenziale H₂ con la distanza R in angstrom sull’asse orizzontale e l’energia in elettronvolt sull’asse verticale. La curva BeeTheory raggiunge il suo minimo vicino a R = 0,74 Å a -4,52 eV, corrispondendo alla distanza di legame H₂ sperimentale e all’energia di dissociazione.

R (a0)	R (pm)	Ewave	Enuc	EBT	EBT (eV)	Stato
0.50	26.5	-1.482	+2.000	+0.518	+14.09	repellente
0.80	42.3	-1.246	+1.250	+0.004	+0.11	vicino allo zero
1.00	52.9	-1.110	+1.000	-0.110	-2.98	attraente
1.20	63.5	-0.988	+0.833	-0.155	-4.22	attraente
1.401	74.1	-0.880	+0.714	-0.166	-4.517	minimo
1.60	84.7	-0.784	+0.625	-0.159	-4.33	pozzo poco profondo
2.00	105.8	-0.622	+0.500	-0.122	-3.32	in aumento
3.00	158.8	-0.349	+0.333	-0.015	-0.42	vicino allo zero
5.00	264.6	-0.110	+0.200	+0.090	+2.46	coda repulsiva

Teoria delle api:_Req = 74,2 pm e_De = 4,52 eV per costruzione calibrata.

Heitler-London: prevede una maggiore lunghezza del legame e una minore energia di dissociazione.

Esperimento:_Req = 74,14 pm e_De = 4,520 eV.

7. Domande aperte e prossime derivazioni

Da H₂ alla gravità – il problema di scala della Teoria delle Api

Su scala atomica, BeeTheory riproduce la chimica H₂ con κ = 3,509 Eh e αeff = 1,727 a0. Su scala galattica, BeeTheory utilizza lunghezze di coerenza misurate in kiloparsec. La questione aperta è come la lunghezza di coerenza scala dai sistemi atomici ai sistemi astrofisici.

Prossima derivazione: elio e atomi a più elettroni

Per l’elio, la funzione d’onda può essere approssimata come:

\(\psi_{\mathrm{He}}(r)=Ne^{-\alpha_{\mathrm{He}}r}\)

Testare la BeeTheory con le interazioni di He₂ van der Waals è un passo successivo naturale.

Estensione: atomi non identici

Per gli atomi A e B con costanti di decadimento diverse, l’interazione generale BeeTheory può essere scritta come:

\(E(R)=-\kappa_{AB}\frac{e^{-R/\alpha_{AB}}}{\sqrt{\pi}}+\frac{Z_AZ_B}{R}\)

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