Matematisk sammenfatning (summen af e-αr-bølger)
1) Ansatz (to partikler A og B)
Modellér hver partikel som en monokromatisk, lokaliseret, isotropisk kilde til et komplekst skalarfelt (“stofbølgen”):
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A\,e^{-\alpha|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta|\mathbf r-\mathbf r_B|}\,e^{-i\omega_2 t} \]
og overlejre:
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
Skift til sfæriske koordinater omkring B: skriv \(\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\) med \(r=|\mathbf s|\ll R\), og definer:
\[ R=|\mathbf r_B-\mathbf r_A|,\quad |\mathbf r-\mathbf r_B|=r,\quad |\mathbf r-\mathbf r_A|=|\mathbf R-\mathbf s| \]
For \(r\ll R\):
\[ |\mathbf R-\mathbf s|\approx R- r\cos\theta + O(r^2/R) \]
så tæt på B:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-\alpha R}\,e^{+\alpha r\cos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta r}\,e^{-i\omega_2 t} \]
I punktet \(B_0\) (dvs. \(r=0\)) er bidraget fra A:
\[ \psi_A(B_0,t)=A\,e^{-\alpha R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) Hvilken bølgelignelse skal jeg bruge?
Den korrekte frie Schrödinger-ligning er:
\[ i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2\Psi \]
Dens stationære tilstande er svingende plane/sfæriske bølger; en indhylling \(e^{-\alpha r}\) alene er ikke en eksakt fri-Schrödinger-løsning.
For at få eksponentielle profiler skal du bruge Helmholtz- eller Poisson-ligningen:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\,\phi(\mathbf r,t)= -4\pi\,S(\mathbf r)\,e^{-i\omega t} \;\;\Rightarrow\;\; G_\mu(r)=\frac{e^{-\mu r}}{4\pi r} \]
For en punktkilde:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}}{|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t} \]
I den kvasistatiske grænse \(\mu\til 0\):
\[ G_0(r)=\frac{1}{4\pi r} \]
3) Effektivt potentiale og 1/R-loven
Hvis B kobler sig til A’s felt med koblingen \(g_B\), er interaktionsenergien:
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu R}}{R}\cos(\omega_1 t+\varphi) \]
Efter tidsgennemsnit (eller hvis \(\omega_1\simeq\omega_2\)):
\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]
Den tilsvarende kraft er:
\[ \mathbf F(R)=-\frac{g_A g_B}{4\pi}\,e^{-\mu R}\left(\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}\right)\hat{\mathbf R} \]
I langdistancegrænsen \(\mu R\ll 1\) gengiver dette en 1/R²-tyngdekraftslignende lov.
4) Nyttige identiteter (hurtig validering)
Laplacian af radiale eksponentialer:
\[ \nabla^2(e^{-\alpha r})= e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right) \]
Greens funktionsidentitet:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
Singulariteten 1/r (og fjernfeltets 1/R-lov) kommer fra strukturen i Green’s funktion \(G(r)\sim 1/r\), ikke fra en ren \(e^{-\alpha r}\) uden \(1/r\)-faktoren.
I to linjer
- Overlejre lokaliserede bølger: \(\Psi=\psi_A+\psi_B\) med indhyllinger \(e^{-\alpha r}\).
- For at opnå et potentiale \(\sim 1/R\) (og en kraft \(\sim 1/R^2\)) skal mediatoren adlyde Poisson/Helmholtz: \(G(r)\sim e^{-\mu r}/r\). Så \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/R\), og for \(\mu\to 0\): \(V\propto 1/R\).
