Podsumowanie matematyczne (suma fal e-αr)
1) Ansatz (dwie cząstki A i B)
Proszę modelować każdą cząstkę jako monochromatyczne, zlokalizowane, izotropowe źródło złożonego pola skalarnego („fala materii”):
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A\,e^{-\alpha|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta|\mathbf r-\mathbf r_B|}\,e^{-i\omega_2 t} \]
i nałożyć:
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
Proszę przejść na współrzędne sferyczne wokół B: proszę napisać \(\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\) z \(r=|\mathbf s|\ll R\) i zdefiniuj:
\[ R=|\mathbf r_B-\mathbf r_A|,\quad |\mathbf r-\mathbf r_B|=r,\quad |\mathbf r-\mathbf r_A|=|\mathbf R-\mathbf s| \]
Dla \(r\ll R\):
\[ |\mathbf R-\mathbf s|\approx R- r\cos\theta + O(r^2/R) \]
tak blisko B:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-\alpha R}\,e^{+\alpha r\cos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta r}\,e^{-i\omega_2 t} \]
W punkcie \(B_0\) (tj. \(r=0\)) wkład od A wynosi:
\[ \psi_A(B_0,t)=A\,e^{-\alpha R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) Które równanie fali należy zastosować?
Poprawne wolne równanie Schrödingera to:
\[ i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2\Psi \]
Jego stany stacjonarne są oscylacyjnymi falami płaskimi/sferycznymi; sama obwiednia \(e^{-\alpha r}\) nie jest dokładnym rozwiązaniem free-Schrödingera.
Aby uzyskać profile wykładnicze, należy użyć równania Helmholtza lub Poissona:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\,\phi(\mathbf r,t)= -4\pi\,S(\mathbf r)\,e^{-i\omega t} \;\;\Rightarrow\;\; G_\mu(r)=\frac{e^{-\mu r}}{4\pi r} \]
Dla źródła punktowego:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}}{|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t} \]
W quasi-statycznej granicy \(\mu\do 0\):
\[ G_0(r)=\frac{1}{4\pi r} \]
3) Potencjał efektywny i prawo 1/R
Jeśli B łączy się z polem A ze sprzężeniem \(g_B\), energia oddziaływania wynosi:
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu R}}{R}\cos(\omega_1 t+\varphi) \]
Po uśrednieniu czasu (lub jeśli \(\omega_1\simeq\omega_2\)):
\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]
Odpowiednia siła to:
\[ \mathbf F(R)=-\frac{g_A g_B}{4\pi}\,e^{-\mu R}\left(\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}\right)\hat{\mathbf R} \]
W granicy dalekiego zasięgu \(\mu R\ll 1\) odtwarza to prawo grawitacji podobne do 1/R².
4) Użyteczne tożsamości (szybka weryfikacja)
Laplacian wykładników radialnych:
\[ \nabla^2(e^{-\alpha r})= e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right) \]
Tożsamość funkcji Greena:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
Osobliwość 1/r (i prawo dalekiego pola 1/R) wynika ze struktury funkcji Greena \(G(r)\sim 1/r\), a nie z samego \(e^{-\alpha r}\) bez czynnika \(1/r\).
W dwóch liniach
- Proszę nałożyć fale zlokalizowane: \(\Psi=\psi_A+\psi_B\) z obwiedniami \(e^{-\alpha r}\).
- Aby uzyskać potencjał \(\sim 1/R\) (i siłę \(\sim 1/R^2\)), mediator musi być zgodny z Poissonem/Helmholtzem: \(G(r)\sim e^{-\mu r}/r\). Wtedy \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/R\), a dla \(\mu\to 0\): \(V\propto 1/R\).
