Matematiksel Özet (e-αr dalgalarının toplamı)
1) Ansatz (iki parçacık A ve B)
Her bir parçacığı, karmaşık bir skaler alanın (“madde dalgası”) tek renkli, yerelleştirilmiş, izotropik bir kaynağı olarak modelleyin:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A\,e^{-\alpha|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta|\mathbf r-\mathbf r_B|}\,e^{-i\omega_2 t} \]
ve üst üste bindirin:
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
B etrafında küresel koordinatlara geçin: yazın \(\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\) ile \(r=|\mathbf s|\ll R\) ve tanımlayın:
\[ R=|\mathbf r_B-\mathbf r_A|,\quad |\mathbf r-\mathbf r_B|=r,\quad |\mathbf r-\mathbf r_A|=|\mathbf R-\mathbf s| \]
\(r\ll R\) için:
\[ |\mathbf R-\mathbf s|\approx R- r\cos\theta + O(r^2/R) \]
B’ye çok yakın:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-\alpha R}\,e^{+\alpha r\cos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta r}\,e^{-i\omega_2 t} \]
\(B_0\) noktasında (yani \(r=0\)), A’dan gelen katkı şudur:
\[ \psi_A(B_0,t)=A\,e^{-\alpha R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) Hangi dalga denklemi kullanılmalı?
Doğru serbest Schrödinger denklemi şudur:
\[ i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2\Psi \]
Durağan durumları salınımlı düzlemsel/küresel dalgalardır; bir zarf \(e^{-\alpha r}\) tek başına tam bir serbest-Schrödinger çözümü değildir.
Üstel profiller elde etmek için Helmholtz veya Poisson denklemini kullanın:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\,\phi(\mathbf r,t)= -4\pi\,S(\mathbf r)\,e^{-i\omega t} \;\;\Rightarrow\;\; G_\mu(r)=\frac{e^{-\mu r}}{4\pi r} \]
Noktasal bir kaynak için:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}{|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t} \]
Yarı statik limitte \(\mu\to 0\):
\[ G_0(r)=\frac{1}{4\pi r} \]
3) Etkin potansiyel ve 1/R yasası
Eğer B, A’nın alanına \(g_B\) bağlaşımı ile bağlanırsa, etkileşim enerjisi
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu R}}{R}\cos(\omega_1 t+\varphi) \]
Zaman ortalamasından sonra (veya \(\omega_1\simeq\omega_2\) ise):
\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]
Karşılık gelen kuvvet:
\[ \mathbf F(R)=-\frac{g_A g_B}{4\pi}\,e^{-\mu R}\left(\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}\right)\hat{\mathbf R} \]
Uzun menzilli sınırda \(\mu R\ll 1\), bu 1/R² yerçekimi benzeri bir yasayı yeniden üretir.
4) Faydalı kimlikler (hızlı doğrulama)
Radyal üstellerin Laplacian’ı:
\[ \nabla^2(e^{-\alpha r})= e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right) \]
Green’in fonksiyon kimliği:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
1/r tekilliği (ve uzak alan 1/R yasası) Green fonksiyonunun \(G(r)\sim 1/r\) yapısından kaynaklanır, \(1/r\) faktörü olmayan çıplak \(e^{-\alpha r}\)’den değil.
İki satır halinde
- Lokalize dalgaları üst üste bindirin: \(\Psi=\psi_A+\psi_B\) zarflar \(e^{-\alpha r}\) ile.
- Bir potansiyel \(\sim 1/R\) (ve kuvvet \(\sim 1/R^2\)) elde etmek için, aracı Poisson/Helmholtz’a uymalıdır: \(G(r)\sim e^{-\mu r}/r\). O zaman \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/R\) ve \(\mu\to 0\) için: \(V\propto 1/R\).
