Ringkasan Matematis (jumlah gelombang e-αr)
1) Ansatz (dua partikel A dan B)
Modelkan setiap partikel sebagai sumber isotropik monokromatik, terlokalisasi, dan isotropik dari medan skalar yang kompleks (“gelombang materi”):
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A\,e^{-\alpha|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta|\mathbf r-\mathbf r_B|}\,e^{-i\omega_2 t} \]
dan superposisi:
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
Beralih ke koordinat bola di sekitar B: tulis \(\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\) dengan \(r=|\mathbf s|\ll R\), dan tentukan:
\[ R = \\mathbf r_B-\mathbf r_A|,\quad |\mathbf r-\mathbf r_B|=r,\quad |\mathbf r-\mathbf r_A|=|\mathbf R-\mathbf s| \]
Untuk \(r\ll R\):
\[ |\mathbf R-\mathbf s|\pendekatan R- r\cos\theta + O(r^2/R) \]
begitu dekat dengan B:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-\alpha R}\,e^{+\alpha r\cos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta r}\,e^{-i\omega_2 t} \]
Pada titik \(B_0\) (yaitu \(r=0\)), kontribusi dari A adalah:
\[ \psi_A(B_0,t)=A\,e^{-\alpha R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) Persamaan gelombang mana yang digunakan?
Persamaan Schrödinger bebas yang benar adalah:
\[ i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2\Psi \]
Keadaan stasionernya adalah gelombang bidang/bola yang berosilasi; sebuah amplop \(e^{-\alpha r}\) saja bukanlah solusi Schrödinger bebas yang eksak.
Untuk mendapatkan profil eksponensial, gunakan persamaan Helmholtz atau Poisson:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\,\phi(\mathbf r,t)= -4\pi\,S(\mathbf r)\,e^{-i\omega t} \;\;\Panah kanan\;\; G_\mu(r)=\frac{e^{-\mu r}}{4\pi r} \]
Untuk sumber titik:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}}{|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t} \]
Dalam batas kuasi-statis \(\mu\hingga 0\):
\[ G_0 (r) = \frac{1}{4\pi r} \]
3) Potensi efektif dan hukum 1/R
Jika B berpasangan dengan medan A dengan kopling \(g_B\), maka energi interaksinya adalah:
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu R}}{R}\cos(\omega_1 t+\varphi) \]
Setelah rata-rata waktu (atau jika \(\omega_1\simeq\omega_2\)):
\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]
Gaya yang sesuai adalah:
\[ \mathbf F(R)=-\frac{g_A g_B}{4\pi}\,e^{-\mu R}\kiri(\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}\kanan)\hat{\mathbf R} \]
Pada batas jarak jauh \(\mu R\ll 1\), ini mereproduksi hukum gravitasi seperti 1/R².
4) Identitas yang berguna (validasi cepat)
Laplacian dari eksponensial radial:
\[ \nabla^2(e^{-\alpha r})= e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right) \]
Identitas fungsi Green:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
Singularitas 1/r (dan hukum 1/r medan jauh) berasal dari struktur fungsi Green \(G(r)\sim 1/r\), bukan dari \(e^{-\alpha r}\) tanpa faktor \(1/r\).
Dalam dua baris
- Mengandaikan gelombang yang terlokalisasi: \(\Psi=\psi_A+\psi_B\) dengan amplop \(e^{-\alpha r}\).
- Untuk mendapatkan potensi \(\sim 1/R\) (dan gaya \(\sim 1/R^2\)), mediator harus mematuhi Poisson/Helmholtz: \(G(r)\sim e^{-\mu r}/r\). Kemudian \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/R\), dan untuk \(\mu\to 0\): \(V\propto 1/R\).
