Matematisk sammanfattning (summan av e-αr-vågor)
1) Ansatz (två partiklar A och B)
Modellera varje partikel som en monokromatisk, lokaliserad, isotropisk källa till ett komplext skalärt fält (”materievågen”):
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A\,e^{-\alpha|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta|\mathbf r-\mathbf r_B|}\,e^{-i\omega_2 t} \]
och superponera:
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
Byt till sfäriska koordinater runt B: skriv \(\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\) med \(r=|\mathbf s|\ll R\), och definiera:
\[ R=|\mathbf r_B-\mathbf r_A|,\quad |\r-mathbf r-\mathbf r_B|=r,\quad |\r-mathbf r-\mathbf r_A|=|\mathbf R-\mathbf s| \]
För \(r\ll R\):
\[ |\mathbf R-\mathbf s|\approx R- r\cos\theta + O(r^2/R) \]
så nära B:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-\alpha R}\,e^{+\alpha r\cos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta r}\,e^{-i\omega_2 t} \]
Vid punkten \(B_0\) (dvs. \(r=0\)) är bidraget från A:
\[ \psi_A(B_0,t)=A\,e^{-\alpha R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) Vilken vågekvation ska användas?
Den korrekta fria Schrödinger-ekvationen är:
\[ i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2\Psi \]
Dess stationära tillstånd är oscillerande plana/sfäriska vågor; ett kuvert \(e^{-\alpha r}\) är inte ensamt en exakt fri Schrödinger-lösning.
För att få exponentiella profiler används Helmholtz- eller Poisson-ekvationen:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\,\phi(\mathbf r,t)= -4\pi\,S(\mathbf r)\,e^{-i\omega t} \;\;\Högerpil\;\; G_\mu(r)=\frac{e^{-\mu r}}{4\pi r} \]
För en punktkälla:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}}{|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t} \]
I den kvasistatiska gränsen \(\mu\to 0\):
\[ G_0(r)=\frac{1}{4\pi r} \]
3) Effektiv potential och 1/R-lagen
Om B kopplar till A:s fält med kopplingen \(g_B\), är interaktionsenergin:
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu R}}{R}\cos(\omega_1 t+\varphi) \]
Efter tidsgenomsnitt (eller om \(\omega_1\simeq\omega_2\)):
\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]
Motsvarande kraft är:
\[ \mathbf F(R)=-\frac{g_A g_B}{4\pi}\,e^{-\mu R}\left(\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}\right)\hat{\mathbf R} \]
I långdistansgränsen \(\mu R\ll 1\) återger detta en gravitationsliknande lag på 1/R².
4) Användbara identiteter (snabb validering)
Laplacian för radiella exponentialer:
\[ \nabla^2(e^{-\alpha r})= e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right) \]
Green’s funktion identitet:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
Singulariteten 1/r (och fjärrfältets lag 1/R) kommer från strukturen hos Green’s funktion \(G(r)\sim 1/r\), inte från en ren \(e^{-\alpha r}\) utan faktorn \(1/r\).
I två rader
- Överlagra lokaliserade vågor: \(\Psi=\psi_A+\psi_B\) med höljen \(e^{-\alpha r}\).
- För att få en potential \(\sim 1/R\) (och kraft \(\sim 1/R^2\)) måste mediatorn lyda Poisson/Helmholtz: \(G(r)\sim e^{-\mu r}/r\). Då \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/R\), och för \(\mu\to 0\): \(V\propto 1/R\).
