蜜蜂理论的正规化波函数

这个公式具有三个特性，使蜜蜂理论在从亚原子到银河系的每一个尺度上都是一个完整的、定义明确的理论：

财产	$r = 0$ 时的值	$r \gg a$ 的行为
波函数 $\psi(r)$	e^{-1} 接近 0.368$ (有限)	$to e^{-r/a}$ （与最初的蜜蜂理论公设相吻合）
拉普拉奇 $\nabla^2\psi$	$-3\,e^{-1}/a^2$ （有限）	$to e^{-r/a}/a^2$ （渐近相同）
免费参数	一个（只有 $a$）	无附加长度标尺

2.正则化原理

原理非常简单：用指数内的 $\sqrt{r^2 + a^2}$ 替换 $r$。这种替换是一种经典的正则化技术，在整个理论物理学中都有应用–特别是粒子物理学中的软化尤卡娃势和量子化学中的伪势。它没有引入新的物理尺度：正则化长度就是粒子自身的特征长度 $a$。

物理解释是自然的，并且与蜜蜂理论将粒子视为扩展波结构的基本观点相一致：特征尺寸为 $a$ 的粒子不可能有比 $a$ 本身更小的特征。粒子核心的波场在其自身相干长度的尺度上是平滑的。这是对原假设的加强，而不是背离。

两个极限的行为

靠近原点（$r \ll a$）：使用 $\sqrt{r^2 + a^2}\接近 a + r^2/(2a)$，我们得到

波函数在中心附近平滑过渡到高斯，在 $r = 0$ 时具有有限值 $e^{-1}$。整个粒子内部的概率密度定义明确。

远离原点（$r \gg a$）：使用 $\sqrt{r^2 + a^2} = r\sqrt{1 + (a/r)^2}\接近 r + a^2/(2r)$，我们得到

我们完全恢复了原始蜜蜂理论假设的指数衰减。蜜蜂理论在大于粒子自身尺度的距离上的每一个预言–包括该理论在原子、行星和天体物理学上的每一个应用–都不加修改地保留了下来。

4.解析拉普拉斯

推导是直接的。设 $s(r) = \sqrt{r^2 + a^2}$，$\psi(r) = N^{-1}\,e^{-s/a}$，则径向导数为：

对于一个径向对称函数，应用链式法则和球面坐标中的拉普拉斯函数 $\nabla^2 = \partial_r^2 + (2/r)\partial_r$ ，我们可以得到紧凑的闭合形式：

这个表达式在任何地方都是有限的，包括在 $r = 0$ 时。在两个自然极限处求值：

限制	$s(r)$	$nabla^2 \psi(r)$
$r \to 0$	$s\to a$	$\psi(0) \cdot (-3/a^2) = -3\,e^{-1}/a^2$
$r \to \infty$	$s \to r$	$\psi(r) \cdot (1/a^2 – 3/(r\,a))$

在大距离下，拉普拉斯函数恢复了原始蜂论表达式 $\psi \cdot (1/a^2 – 2/(r\,a))$ 的形式，直到 1/r$ 的修正迅速消失。当 $r$ 大于 5a$ 时，这个差异就可以忽略不计了–远远超出了与引力或天体物理应用相关的任何物理机制。

6.三行小结

1.蜜蜂理论的波函数是 $\psi(r) = N^{-1}\,\exp\!\left(-\sqrt{r^2+a^2}/a\right)$.

2.它的拉普拉奇在任何地方都是有限的，在原点取值为 $-3\,e^{-1}/a^2$。

3.超过 $r \approx 5a$，它在数值上与原来的 $e^{-r/a}$ 没有区别。