蜜蜂理论 – 基础 – 技术说明 X
剖析残差：
磁盘大小的线性趋势
注释 IX 中的 94 个星系盲测表明，随着星盘大小的增大，会出现系统性的残差趋势。本注释定量地描述了这一趋势，分离出每一侧的最大偏差，并确定了分散的结构来源。
1.第一项结果
一个线性残差，两个相反的种群
预测误差与星盘尺度长度成线性比例：$text{error}\, (\%) \approx -31.7 + 12.8\,R_d$, 皮尔逊相关性为 $r = +0.75$。回归线在 $R_d = 2.48$ kpc 时与零点相交，这基本上是校准所依据的银河系圆盘大小。回归线的两个极端对应于两个物理上截然不同的异常群：一端是大质量螺旋体（预测过高），另一端是紧凑矮星（预测过低）。
2.残差与 $R_d$ 呈线性关系
将预测误差与 $R_d$ 的关系绘制成图，每个点都按哈勃类型着色，这样就能立刻看出趋势的线性关系。红线是所有 94 个盲星系的误差与 $R_d$ 的线性回归。
误差是磁盘大小的函数
$$text{error}\,(\%) \;\approx\; -31.7 \;+\; 12.8 \times R_d \,[\text{kpc}]$$
对 94 个盲星系进行线性拟合，Pearson $r = +0.75$，残差 RMSE $= 18.4\%$.
函数形式的比较
对几种备选参数进行了比较。线性形式与对数和平方根形式在统计上没有区别：
| 模型 | 皮尔逊 $r$ | 均方根误差 | 评论 |
|---|---|---|---|
| $text{err} = a + b\,R_d$ （线性） | $+0.749$ | $18.4\%$ | 最简洁的分析形式 |
| $text{err} = a + b\,\log_{10}R_d$ | $+0.748$ | $18.4\%$ | 统计当量 |
| $text{err} = a + b\,\sqrt{R_d}$ | $+0.768$ | $17.7\%$ | 略有改善，没有实际收益 |
| $text{err} = a + b\,R_d + c\,R_d^2$ | – | $17.8\%$ | 二次项非常小 ($c大约 -1.1$) |
因此，采用线性形式是对数据最简单忠实的描述。
哈勃类型沿线分布
| 哈勃级 | $N$ | 中位数 $R_d$（kpc） | 中位误差 | 职位 |
|---|---|---|---|---|
| S0-Sa（早期型） | 4 | 2.9 | $+0.0\%$ | 中心，靠近零点交叉点 |
| 锑-钴（中间体） | 23 | 3.2 | $+3.9\%$ | 居中偏右；尾部位于预测过高区域 |
| Sc-Scd（后期螺旋） | 27 | 2.5 | $+7.7\%$ | 遍布图表 |
| Sd-Im（矮/不规则） | 40 | 1.6 | $-3.2\%$ | 左侧；尾部位于预测不足的区域 |
图中的颜色模式并不是线性趋势的独立特征，而是通过形态轴看到的相同特征。盘状星系的哈勃序列与盘状星系的大小相关：晚期矮星系主要是紧凑型，中期螺旋星系主要是大型。因此，每种颜色都位于回归线的不同位置，Sd-Im 在左边，Sc-Scd 在中间，Sb-Sbc 在右边。
结构性残差，而非随机噪声
与单个物理参数线性相关的散度，在校准点处越过零，是模型关系中一个缺失的加常数，而不是随机观测散度。这种偏差是可以纠正的：它可以被相干长度定律中的一个额外自由度所吸收。
3.十个被过度预测的星系
这些星系是BeeTheory 预测其平面旋转速度高于观测值的星系。按残差大小排序：
| 银河系 | 哈勃类型 | R_d$ (kpc) | $M_\star/10^{10}$ | $f_\text{gas}$ | $\Sigma_d$ | V_f$ | $V_\text{tot}$ | 错误 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| UGC00128 | Sd-Im | 7.50 | 1.06 | 0.39 | 60 | 135 | 243 | +80.0% |
| NGC0801 | Sb-Sbc | 5.80 | 2.01 | 0.32 | 190 | 208 | 326 | +56.6% |
| NGC2955 | Sb-Sbc | 5.50 | 3.99 | 0.23 | 420 | 266 | 406 | +52.7% |
| UGC02885 | Sc-Scd | 8.50 | 3.40 | 0.41 | 150 | 290 | 441 | +52.0% |
| NGC0925 | Sc-Scd | 3.10 | 0.22 | 0.75 | 72 | 105 | 155 | +48.0% |
| NGC6195 | Sb-Sbc | 5.20 | 3.40 | 0.26 | 400 | 260 | 380 | +46.3% |
| NGC6674 | Sb-Sbc | 5.50 | 3.33 | 0.29 | 350 | 260 | 380 | +46.2% |
| NGC5033 | Sb-Sbc | 4.50 | 1.27 | 0.46 | 200 | 195 | 280 | +43.7% |
| UGC02487 | S0-Sa | 7.50 | 5.30 | 0.23 | 300 | 330 | 465 | +40.8% |
| NGC6503 | Sc-Scd | 2.40 | 0.38 | 0.55 | 210 | 121 | 168 | +38.9% |
| 财产 | 中位值 | 范围 | 比较 |
|---|---|---|---|
| $R_d$ | 4.5 千兆位点 | 2.4 – 8.5 | 比中位数大 2 美元/次 |
| $M_\star$ | 1.3美元乘以10^{10}\,M_\odot$ | 2.2 \times 10^{9}$ – 5.3 \times 10^{10}$ | 8 美元/次，更大规模 |
| $f_\text{gas}$ | $0.41$ | $0.23$ – $0.87$ | 低于中位数 (0.64) |
| 哈勃 $T$ | 5 美元（Sbc） | $1$ – $8$ | 集中在中间螺旋 |
| V_f$ | 195 美元 km/s | $69$ – $330$ | 样品中最快的旋转器 |
超预测组的轮廓
大质量中型螺旋星系。这些星系位于回归线的右侧，远远高于零交叉点。模型的相干长度定律 $\ell = c_text\{disk}\,R_d$产生的$\ell$值在这一范围内超过了20 kpc，产生的波场质量超过了观测到的旋转所需的质量。
4.预测最不充分的十个星系
这些是BeeTheory预测的平旋转速度低于观测值的星系。按残差大小排序：
| 银河系 | 哈勃类型 | R_d$ (kpc) | $M_\star/10^{10}$ | $f_\text{gas}$ | $\Sigma_d$ | V_f$ | $V_\text{tot}$ | 错误 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| NGC6789 | Sd-Im | 0.30 | 0.01 | 0.53 | 250 | 60 | 22 | -63.0% |
| UGC05764 | Sd-Im | 0.40 | 0.00 | 0.86 | 80 | 57 | 31 | -45.6% |
| UGCA442 | Sd-Im | 1.00 | 0.00 | 0.85 | 15 | 57 | 32 | -44.2% |
| NGC4138 | S0-Sa | 1.30 | 0.13 | 0.33 | 250 | 150 | 85 | -43.6% |
| NGC4389 | Sb-Sbc | 1.20 | 0.07 | 0.37 | 150 | 110 | 62 | -43.4% |
| NGC4085 | Sb-Sbc | 1.20 | 0.09 | 0.42 | 200 | 135 | 79 | -41.1% |
| NGC2915 | Sd-Im | 0.50 | 0.01 | 0.84 | 160 | 85 | 53 | -38.2% |
| NGC2976 | Sb-Sbc | 0.75 | 0.04 | 0.29 | 220 | 80 | 50 | -37.4% |
| NGC4183 | Sc-Scd | 1.60 | 0.03 | 0.81 | 40 | 110 | 70 | -36.3% |
| UGCA281 | Sd-Im | 0.50 | 0.01 | 0.63 | 80 | 40 | 26 | -36.1% |
| 财产 | 中位值 | 范围 | 比较 |
|---|---|---|---|
| $R_d$ | 1.1 千兆位点 | 0.30 – 1.80 | 2美元/次$ 小于中位数 |
| $M_\star$ | 2.7 *times 10^{8}\,M_\odot$ | $4 times 10^{7}$ – $1.3 times 10^{9}$ | 6 美元/次，规模较小 |
| $f_\text{gas}$ | $0.58$ | $0.29$ – $0.86$ | 低于中位数 (0.64) |
| 哈勃 $T$ | 8$ (Sd) | $1$ – $10$ | 集中于晚型矮星 |
| V_f$ | 82$ 千米/秒 | $40$ – $150$ | 慢速旋转器 |
预测不足的星团的轮廓
紧凑的低质量矮星系和小螺旋星系。这些星系位于回归线的左侧，远远低于零交叉点。相干长度定律 $\ell = c_\text{disk}\,R_d$ 在这种情况下产生的 $\ell$ 数量级为 1$$-$$3 kpc，可能太短了，不足以收集波场的全部范围。
5.三个组别的并排比较
| 物业（中位数） | 预测过高 (err > +30%, $N = 15$) |
预测良好 (|err| ≤ 30%, $N = 67$) |
预测不足 (err < -30%, $N = 12$) |
|---|---|---|---|
| R_d$ (kpc) | 4.5 | 2.4 | 1.1 |
| $M_\star / 10^{10}$ | 1.27 | 0.15 | 0.027 |
| $M_\text{gas}/ 10^{10}$ | 0.93 | 0.27 | 0.04 |
| $f_\text{gas}$ | 0.41 | 0.64 | 0.58 |
| $\Sigma_d$ | 200 | 140 | 115 |
| 哈勃 $T$ | 5 (Sbc) | 6 (Sc) | 8 (Sd) |
| V_f$ （千米/秒） | 195 | 113 | 82 |
从左到右，每个属性都是单调变化的。预测过高的星团体积更大、质量更大、恒星更多，旋转速度更快；预测过低的星团体积更小、质量更轻、气体更多，旋转速度更慢；预测良好的大多数星团则介于两者之间。银河系（$R_d = 2.6$ kpc，$V_f 约 230$ km/s）自然属于校准锚定的良好预测范围。
6.口译
该模型有一个耦合参数$\lambda$和三个通用几何常数$(c_\text{disk}, c_\text{sph}, c_\text{arm})$。这些常数是在一个中等大小的星系（银河系，$R_d = 2.6$ kpc）上确定的，并在22个大小范围相似的星系上得到了验证。注释 IX 的盲测结果表明，它们的通用性相当好，但残差随圆盘大小呈线性漂移。
仿射修正就足够了
在 $R_d$ 中的残差线性–在 $R_d = 2.48$ kpc 处有一条直线过零–是相干长度关系中缺失的加法偏移的特征。当前的定律$\ell = c_\text{disk}\,R_d$严格地将波相干长度与磁盘尺度成比例地联系在一起。用仿射关系$ell = c_\text{disk}(R_d – R_0)$来代替它，其中$R_0$是一个约为2.5$ kpc的小偏移量，将产生一个在校准点消失并在两侧线性增长的残差–这正是观测到的模式。
预测良好的大多数具有广泛代表性
三分之二的样本属于预测良好的范围。这 67 个星系涵盖了所有的哈勃类型，恒星质量的系数为 100 美元。模型的有效范围并不狭窄：它涵盖了 SPARC 星群的大部分，偏差集中在星盘大小的两个极端，这与线性残差 $R_d$ 的结果完全一致。
7.摘要
1.94个星系盲测的预测误差在磁盘尺度长度上呈明显的线性趋势：$\text{error}(\%) \approx -31.7 + 12.8\,R_d$, Pearson $r = +0.75$，残差的RMSE $= 18.4\%$.
2.线性回归线在 $R_d = 2.48$ kpc 处交叉为零，这基本上是校准所依据的银河系圆盘大小。线的两端对应两个物理上截然不同的离群点。
3.15个高估超过+30%$的星系都是大质量的中间型螺旋星系：中位数$R_d = 4.5$ kpc，$M_star （约10^{10}\,M_\odot$），$V_f （约200$ km/s）。
4.这12个低估了30%以上的星系都是紧凑的低质量矮星系：中位数$R_d = 1.1$ kpc，$M_star （约为10^{8}的3倍），$M_odot （约为80$ km/s）。
5.这种偏差可以通过对相干长度定律进行仿射修正来吸收，即 $\ell = c_text\{disk}(R_d – R_0)$ ，其中 $R_0 \approx 2.5$ kpc – 引入一个新常数。
参考文献Lelli, F., McGaugh, S. S., Schombert, J. M. –SPARC:Mass Models for 175 DiskGalaxies with Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves, AJ 152, 157 (2016).- de Vaucouleurs, G. et al. –Third Reference Catalogue of Bright Galaxies, Springer (1991).- McGaugh, S. S. –The third law of galactic rotation, Galaxies 2, 601 (2014).- Dutertre, X. –Bee Theory™：基于波的引力建模，v2，BeeTheory.com（2023 年）。
BeeTheory.com – 波基量子引力 – SPARC残差 – © Technoplane S.A.S. 2026