银河质量与银河中心距离的函数关系
可见盘质量 – 质量缺失 – 环形方程 – 银河半径
银河系星盘的可见质量可以通过将其主要星盘组成部分（薄星盘、厚星盘、原子氢气体 HI 和分子氢气体 H₂）的质量相加来模拟。
可见磁盘质量记为
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)最简单、最有用的部分是恒星盘质量：
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)- r是与银河系中心的距离，单位为千帕斯卡（kpc）。
- M是太阳质量，即 M⊙。
然后，通过比较可见质量和动力学质量，就能得到缺失的质量：
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)以实用天文单位表示：
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5\,v_c^2(r)\,r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)vc(r) 单位为 km/s，r 单位为 kpc，质量单位为 M⊙。
最终可见光盘质量方程
可见的银河盘由恒星和气体组成。我们写道
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)恒星的两个主要组成部分是薄恒星盘和厚恒星盘。
两种气体成分是原子氢（HI）和分子氢（H₂）。
最简洁的方程是恒星盘方程：
\(M_{/mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{mathrm{thin}}(<r)+M_{/mathrm{thick}}(<r)\)完全写好了：
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)这就是银河系可见恒星盘质量的主要方程。
为什么银河系盘要用环来建模
银河圆盘并不是一个实心球体。它更接近于一个扁平的大圆盘。
为了计算它的质量，我们把它分成许多细圆环。
半径为 r 的环有周长：
[2\pi r[/latex]如果圆环的宽度 dr 较小，则其面积为：
\(dA=2\pi r\,dr\).如果表面质量密度为 Σ(r)，那么圆环的质量为：
\(dM=\Sigma(r)\,2\pi r\,dr\)这就是关键所在。
半径 r 内的总质量由银河系中心至 r 的所有星环相加得出：
M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma(R)\,R\,dR[/latex]。因此，圆盘的质量不是由球形外壳构成的。它是由圆环构成的。
指数盘
星系盘中恒星的表面密度通常被模拟为指数函数：
\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)- Σ0是中心表面质量密度。
- Rd是磁盘刻度长度。
- r是与银河中心的距离。
这意味着圆盘中心附近的密度最大，随着 r 的增大密度变小。
将指数表面密度代入环形方程，得出
\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)求解积分得到
\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)这就是基本的磁盘质量公式。
组成部分 1 – 薄星盘
薄盘是银河系中明亮、平坦、恒星形成的部分。它包含年轻恒星、许多类太阳恒星、旋臂、气体、尘埃和活跃的恒星形成区。
对于薄磁盘，我们使用
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)因为
\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)我们转换：
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)半径 r 内的薄圆盘质量为
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)因此
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)半径非常大：
\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)组成部分 2 – 厚恒星盘
厚圆盘更古老，垂直延伸更长。它包含更老的恒星，在银河系平面上下移动得更远。
对于厚磁盘，我们使用
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)转换表面密度：
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)半径 r 内的厚圆盘质量为
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)因此
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)半径非常大：
\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)恒星盘总质量
添加薄片和厚片：
\(M_{/mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{mathrm{thin}}(<r)+M_{/mathrm{thick}}(<r)\)那么
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)恒星盘的总质量为
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)因此，可见的银河系恒星盘包含大约 457 亿个太阳质量。
添加气体盘
银河系圆盘也包含可见气体。两种主要气体成分是原子氢（HI）和分子氢（H₂）。
由于气体有一个中心凹陷，因此不能用简单的指数盘来模拟。一种有用的形式是
\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)- Rm是中心孔刻度。
- Rd是径向尺度长度。
半径 r 内的质量为
\(M_{\mathrm{gas}}(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{R}-\frac{R}{R_d}\right)R\,dR\)原子氢气： HI
原子氢
\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)标准化方程为
\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}M_\odot\)这就得出了半径 r 内所含的 HI 气体质量占 HI 气体总质量的比例。
分子氢气： H₂
分子氢：
\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)归一化质量方程为
\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}M_\odot\)完整的可见光盘方程
完整的可见光圆盘方程为
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)写满了：
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}+1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\)- r 和 R 单位为千帕。
- M 在 M⊙ 中。
旋转产生的动力质量
观测到的银河旋转速度告诉我们，在引力作用下需要多少质量。
圆周运动
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)- vc(r)是半径 r 处的圆周速度。
- G是引力常数。
在实际单位中：
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)如果旋转速度大致持平：
[v_c(r)\approx233\,\mathrm{km/s}[/latex].那么
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq2.325\times10^5(233)^2r\,M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq1.26\times10^{10}r\,M_\odot\)r 单位为 kpc。
这意味着，如果旋转曲线几乎保持平直，那么动力质量几乎会随半径线性增长。
缺失的质量方程
缺失质量是动态质量与可见质量之间的差值：
\(M_{/mathrm{missing}}(<r)=M_{/mathrm{dyn}}(<r)-M_{/mathrm{visible}}(<r)\)利用旋转方程
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)在实际单位中：
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)- vc(r) 单位为千米/秒。
- r 单位为千帕。
- M 在 M⊙ 中。
如果我们只关注可见磁盘：
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)\simeq2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\).这是连接观测到的银河自转和银河盘可见质量的核心方程。
基于波的缺失质量扩展
磁盘模型可以解释可见质量。缺失的质量是将可见质量与动力学质量相比较后的剩余质量。
基于波的模型可以将缺失的质量描述为可见盘产生的有效密度。
其指导思想是，每个可见质量元素都会产生一个随距离递减的有效场。
假设源点 r′ 与观测点 r 之间的距离为
\(D=|r-r’|\)那么，基本贡献可以写成
\(d\rho_{mathrm{wave}}(r)=\rho_{mathrm{visible}}(r’)\,\lambda e^{-D/\ell}\,dV\).- λ是无量纲耦合系数。
- ℓ是相干长度。
- D是光源与观测点之间的距离。
这种形式意味着有效贡献随距离的增加而呈指数递减：
\(e^{-D/\ell}\)参数 ℓ 控制效果的延伸范围。
整个磁盘的有效密度
对于一个圆盘，某点（R,z）的总有效密度可以写成可见圆盘与指数核的卷积。
源磁盘具有表面密度：
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)盘源中的一个点位于半径 R′和角度 φ 处。
从该源点到观测点 (R,z) 的距离为
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)那么有效密度就是
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)用：
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)这个等式表明，每一个可见质量环都对（R,z）处的有效密度有贡献，其强度随e-D/ℓ 衰减。
逐环解读
通过圆环可以再次理解圆盘。
半径为 R′的可见环具有质量：
\(dM_{{mathrm{visible}}=2\pi R’\Sigma(R’)\,dR’\).在基于波的扩展中，该环对其周围的有效密度有贡献。
环附近的贡献最大，随着距离的增加而减小：
\(e^{-D/\ell}\)因此，有效密度并不是人工插入的球形光环。它是由圆盘本身的几何形状产生的。
在短距离内，它遵循圆盘的几何形状。在较大距离上，在对许多环进行积分后，有效分布会变得更加平滑和扩展。
基于波的有效密度紧凑公式
使用指数盘
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)可以将有效密度示意写成
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda\Sigma_0}{\ell}\int_0^\infty R’e^{-R’/R_d}\left[\int_0^{2\pi}e^{-\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}/\ell}\,d\phi\right]dR’\)这是最简洁的一般形式。它保留了真实的磁盘几何形状：
- R′是源环半径。
- R是银河平面上的观测半径。
- z是银河平面上方或下方的高度。
- φ是源环周围的角度。
从有效密度到有效质量
一旦知道了有效密度，半径 r 内相应的有效质量就可以写成
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_{V(r)}\rho_{\mathrm{wave}}(\mathbf{x})\,d^3x\)球面坐标
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_0^r\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\rho_{\mathrm{wave}}(s,\theta,\phi)s^2\sin\theta\,d\phi\,d\theta\,ds\)然后就可以将这一有效质量与观测到的缺失质量进行比较：
[M_{{mathrm{wave}}(<r)\approx M_{{mathrm{missing}}(<r)[/latex].这就给出了一个可检验的条件。
关键的物理限制
平直的星系旋转曲线大约需要：
\(v_c(r)\approx\mathrm{constant}\).如果vc(r) 近似恒定，那么
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2}{G}\)所以：
\(M_{mathrm{dyn}}(<r)/propto r\)这就是出现质量缺失的根本原因。
可见星盘的质量不会永远线性增长。它接近有限的总质量：
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\rightarrow M_{\mathrm{disk,visible}}(\infty)\).但从平坦的自转曲线推断出的动力质量却在继续增长：
\(M_{mathrm{dyn}}(<r)/propto r\)因此
\(M_{/mathrm{missing}}(<r)=M_{/mathrm{dyn}}(<r)-M_{/mathrm{visible}}(<r)\)也随半径增长。
太阳半径的简单数字示例
太阳位于大约
\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)利用恒星盘方程
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)由此得出大约
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\approx3.7\times10^{10}M_\odot\)如果圆周速度为
\(v_c\simeq233\,\mathrm{km/s}\)那么 8.2 kpc 内的动力质量为
\(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)=2.325\times10^5(233)^2(8.2)M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)\approx1.03\times10^{11}M_\odot\)这种差异说明了为什么仅凭可见质量无法解释观测到的旋转。
本机型包括和不包括的内容
| 组件 | 包括在磁盘等式中吗？ |
|---|---|
| 薄恒星盘 | 是 |
| 厚恒星盘 | 是 |
| 原子氢气，HI | 是 |
| 分子氢气 H₂ | 是 |
| 中央凸起/条状 | 没有 |
| 恒星光环 | 没有 |
| 暗物质光晕 | 没有 |
| 基于波的有效质量 | 可选扩展 |
上述公式的重点是磁盘。
一个完整的银河质量模型还包括
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{disk}}+M_{\mathrm{bulge}}+M_{\mathrm{stellar\,halo}}+M_{\mathrm{missing}}\)或者，在基于波的表述中：
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{visible}}+M_{\mathrm{wave}}\)主要方程的最后总结
可见恒星盘
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)全可见磁盘
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}+M_{\mathrm{thick}}+M_{\mathrm{HI}}+M_{\mathrm{H_2}}\)动力质量
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)质量缺失
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)环形质量
[dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr[/latex].指数磁盘
\(\Sigma(r)=\Sigma_0e^{-r/R_d}\)基于波的有效密度
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)用：
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)术语表
银河中心
银河系的中心区域。
半径 r
距离银河系中心的距离，通常以千帕秒为单位。
千帕秒，kpc
银河系距离单位。1 kpc 约等于 3,260 光年。
太阳质量，M⊙
太阳的质量。
表面密度，Σ(r)
银河盘单位面积的质量。
薄圆盘
银河中平坦、明亮、恒星形成的部分。
厚圆盘
更古老、更垂直延伸的恒星成分。
氢气
原子氢气
H₂
分子氢气。
动力质量
解释观测到的旋转速度所需的质量。
缺失的质量
动态质量与可见质量之间的差异。
相干长度，ℓ
在基于波的扩展中，有效贡献减小的距离尺度。
耦合系数，λ
控制有效波贡献强度的无量纲参数。
常见问题
最重要的等式是什么？
最重要的可见磁盘方程是：Mdisk,visible(<r)=Mthin+Mthick+MHI+MH₂。最重要的缺失质量方程是Mmissing(<r)=rvc²(r)/G-Mvisible(<r)。
为什么要使用环？
因为银河系圆盘是平的。圆盘自然是由圆环构成的，因此圆环质量为 dM=2πrΣ(r)dr。
为什么可见质量会迅速停止增长？
因为圆盘密度呈指数下降。半径越大，可见物质越少。
为什么会出现缺失质量？
因为观测到的旋转曲线在大距离上几乎是平的。平缓的旋转曲线意味着动力质量与半径近似线性增长，而可见磁盘质量却不是。
本页是否证明了特定的暗物质模型？
磁盘方程描述的是可见物质。缺失质量方程显示了可见质量与动力学质量之间的差距。基于波的部分是一个额外的模型，可以根据观测到的旋转曲线进行检验。
无障碍环境说明
建议使用图片alt文本：
- 图片 1：”银河系盘面自上而下的示意图，围绕银河系中心划分为圆形环”。
- 图片 2：”银河侧视图，显示一个较薄的圆盘被一个较厚的恒星圆盘包围”。
- 图片 3：”可见磁盘质量和动力质量随银河中心距离增加的曲线图”。
- 图片 4：”指数场随与可见质量元素的距离减小而减小的示意图”。