蜜蜂理论 – 银河应用 – 技术说明 XXXVII

对 81 个 SPARC 星系的盲测：
三参数模型的一般化

3参数蜜蜂理论（BeeTheory）模型–$(\lambda, c, \ell_\text{floor}) = (12.7, 0.16, 3.0\,\text{kpc})$ –是在20个无凸起的SPARC星系上校准的（注XXXVI）。现在，我们把这些参数应用到由81个哈勃类型为$T \geq 4$（无凸起）的SPARC星系组成的盲样中，而不做任何进一步的调整。结果是：中位数绝对误差为17.3%$，52%的星系误差在20%$/pm以内，99%的星系误差在50%$/pm以内。没有发现质量或大小偏差。模型的概括性很好。

1.第一项结果

盲测 – 81 个星系，参数固定

测试的盲星系数量	81$ （所有 SPARC $T\geq 4$，无凸起）
使用的参数（注 XXXVI 中的固定参数）	$\lambda = 12.7$, $c = 0.16$, $\ell_text{floor} = 3.0$ kpc
本次测试中的自由参数	零
绝对误差中值	$17.3\%$
平均符号误差	$-0.9\%$ – 无偏差
误差标准差	$24.5\%$
$pm 10以内	$27 / 81$ ($33\%$)
在 $pm 20\%$ 以内	$42 / 81$ ($52\%$)
小于 $pm 30\%$	$60 / 81$ ($74\%$)
小于 $pm 50\%$	$80 / 81$ ($99\%$)

盲区统计量与校准统计量基本相同（20 个星系的中位数为 $16\%$）。这是一个模型捕捉到了真正的物理现象–而不仅仅是拟合噪声–的标志。

2.V_f$ 预测值与观测值对比

每个点都是 81 个盲星系中的一个。按哈勃类型着色。虚线对角线是1:1预测值；淡绿色线标出了$\pm 20\%$。在超过十年的速度范围内（从 $\sim 25$ 到 $\sim 300$ km/s），该云都紧紧围绕着 1:1。超出 $\pm 35\%$ 的异常值被标注出来。

3.误差分布

符号误差 $(V_text{BT} – V_f)/V_f$ 的柱状图，单位为 $5\$ bins。分布大致呈高斯分布，中心接近零（中位数为$\approx 0\%$），标准偏差为$\sigma = 24.5\%$。尾部没有超出 $\pm 60\%$ – 没有极端离群值。

4.残差分析 – 无系统性偏差

如果模型遗漏了某种物理效应，残差就会与星系的某些属性相关–最常见的是星系盘大小或可见质量。我们会对两者进行检查：

残差与磁盘尺度长度 $R_d$ 的关系图。绿色带标出了 $\pm 20\%$ 。各点在带内分布均匀，没有系统性斜率。垂直虚线标出了 3 kpc 处的通用 $\ell_\text{floor}$–在这个尺度上没有明显的性能中断。

残差与可见质量的对数比例。样本跨越了 $M_text{visible}$的四个年代（从 $\sim 10^7$ 到 $\sim 10^{11}\,M_\odot$ ）。整个范围内的性能是一致的–没有质量依赖性偏差。

残差中没有隐藏结构

两个残差图–误差 vs $R_d$和误差 vs $M_\text{visible}$–都显示云的中心在零附近，没有明显的斜率或曲率。这意味着3参数模型捕捉到了SPARC样本中所有星系特性范围内的相关物理现象。仅仅根据星系的大小或质量，并没有明确的下一阶修正。

5.累积业绩

预测结果在给定误差阈值内的 81 个星系的百分比。读作$33\%$ 在 $pm 10\%$ 范围内， $52\%$ 在 $pm 20\%$ 范围内， $74\%$ 在 $pm 30\%$ 范围内， $99\%$ 在 $pm 50\%$ 范围内。曲线在 $\sim 40\%$ 以上趋于平缓–几乎所有的星系都被捕获了。

6.校准与盲测 – 对比

公制	校准（20 个星系）	盲区（81 个星系）
样本量	$20$	$81$
中位数 $\lvert\text{err}\rvert$	$16.0\%$	$17.3\%$
平均符号误差	$-4.3\%$	$-0.9\%$
within $\pm 20\%$	$55\%$	$52\%$
within $\pm 30\%$	$85\%$	$74\%$
within $\pm 50\%$	$95\%$	$99\%$

盲法性能与校准性能相匹配，误差中值基本保持不变（从 16 美元到 17%美元）。这是最有力的指标，说明模型没有过拟合，而且其物理概括性很强。

7.显著的异常值

NGC6789($-60\%$)：一个极小的Im矮星（$R_d = 0.30$ kpc, $V_f = 60$ km/s）。可见质量为$1.5乘以10^8\,M_\odot$，预测值为$V \approx$ 24 km/s；观测到的$V_f$对于这样一个低质量系统来说高得反常。
IC2574($+43\%$)：R_d = 2.8$ kpc的大Sm，表面密度非常低–模型预测过高。
NGC0925, NGC4085, NGC4389($-43$ to $-49\%$)：观测到的$V_f$较高但可见质量不大的Sc/Sbc星系。
UGCA281, UGCA442, UGC05764($-37$ to $-43/%$)：样本中最小的伊姆矮星，预测值略低。

离群值分布在不同类型和大小的卫星上，没有哪一类卫星占主导地位。它们可能反映了测量系统性（倾角、距离、$V_f$ 定义）和微小物理效应（翘曲、倾斜）的混合，而 3 参数通用模型无法捕捉到这些效应。

8.摘要

1.注 XXXVI 中的 3 参数蜜蜂理论模型未经修改就被应用于 81 个无球 SPARC 星系。

2.盲样的绝对误差中值：17.3%$ – 与校准样本（16.0%$）基本相同。

3.$99\%$ 的星系都在 $pm 50\%$ 范围内；没有极端离群值。

4.平均符号误差 $-0.9\%$：无系统偏差。残差与$R_d$或$M_text{visible}$无关–该模型在质量上校准正确，跨越了40年，在大小上校准了30倍。

5.对 20 个星系的拟合结果可以推广到比它大 4 倍的样本中，而不会发生退化。这就是预测能力的实际定义–只需 3 个通用参数就能实现。

参考文献。Dutertre, X. – Notes XXIX-XXXVI, BeeTheory.com (2026).- Lelli，F.、McGaugh，S.S.、Schombert，J.M. –SPARC：175个具有斯皮策测光和精确旋转曲线的盘状星系，AJ 152，157 (2016)。- Freeman, K. C. –On the disks of spiral and S0 galaxies, ApJ 160, 811 (1970).- McGaugh, S. S., Lelli, F., Schombert, J. M. – 旋转支撑星系的径向加速度关系，PRL 117, 201101 (2016).

对 81 个 SPARC 星系的盲测：三参数模型的一般化