Yarıçapın Bir Fonksiyonu Olarak Samanyolu Diskinin Kütlesi

TL;DR

Samanyolu diskinin görünür kütlesi birkaç bileşenin toplamı olarak modellenebilir: ince yıldız diski, kalın yıldız diski, atomik hidrojen gazı HI ve moleküler hidrojen gazı H₂.

En kullanışlı denklem şudur:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Burada r, Galaktik Merkez’den kiloparsek veya kpc cinsinden uzaklıktır.

Diskin yıldız kısmı için, McMillan’ın Galaktik küt le modelinden yaygın olarak kabul edilen Samanyolu parametreleri kullanılarak, r yarıçapı içindeki kütle:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

r kpc cinsinden ve kütle güneş kütlesi cinsinden, M⊙.

Bu denklem, Samanyolu diskinin görünür yıldız kütlesini Galaktik Merkez’den uzaklığın bir fonksiyonu olarak tanımlar.

Görünür Disk Kütlesi için Nihai Denklem

Samanyolu’nun görünür diski şu şekilde yazılabilir:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Yıldız kısmı en temiz olanıdır:

\(M_{\mathrm{disk,yıldız}}(<r)=M_{\mathrm{ince}}(<r)+M_{\mathrm{kalın}}(<r)\)

Sayısal parametrelerin kullanılması:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Nerede?

r = kpc cinsinden Galaktik Merkez’den uzaklık
Mdisk_,yıldız lar = r yarıçapı içindeki yıldız diski kütlesi
M⊙ = bir güneş kütlesi

Burada kullanılan parametreler, Güneş yarıçapı R₀ = 8,20 ± 0,09 kpc, dairesel hız v₀ = 232,8 ± 3,0 km/s ve toplam yıldız kütlesi (54,3 ± 5,7) × 10⁹ M⊙ veren McMillan’ın 2017 Samanyolu küt le modelinden gelmektedir.

Samanyolu Diski Halkalardan Oluşuyor

Kütle denklemini anlamanın basit bir yolu, Galaktik diski birçok ince dairesel halkaya böldüğünüzü hayal etmektir.

Her yüzükte:

\(\mathrm{circumference}=2\pi r\) \(\mathrm{width}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)

Eğer diskin yüzey kütle yoğunluğu Σ(r) ise, o zaman bir ince halkanın kütlesi

\(dM=2\pi r\,\Sigma(r)\,dr\)

Yarıçap r içindeki kütle, merkezden r’ye kadar olan tüm halkaların toplanmasıyla elde edilir:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)

Bu, disk kütle denkleminin arkasındaki temel matematiksel fikirdir.

Üstel Disk Denklemi

Samanyolu’nun yıldız diski genellikle üstel bir yüzey yoğunluğu ile tahmin edilir:

\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)

Nerede?

Σ₀ = merkezi yüzey kütle yoğunluğu
_Rd = disk ölçek uzunluğu
r = Galaktik Merkez’den uzaklık

Ölçek uzunluğu_Rd bize diskin dışa doğru hareket ettikçe ne kadar hızlı bir şekilde daha az yoğun hale geldiğini gösterir.

Bu yoğunluğun halka denkleminde yerine konulmasıyla elde edilir:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)

İntegralin çözülmesi şunu verir:

\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)

Bu, yıldız diski için kullanılan ana denklemdir.

Bileşen 1 – İnce Yıldız Diski

İnce disk, Samanyolu’nun parlak, düz, yıldız oluşturan kısmıdır. Genç yıldızlar, birçok Güneş benzeri yıldız, gaz, toz ve spiral kollar içerir.

İnce yıldız diski için:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)

O zamandan beri:

\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)

yazıyoruz:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

r yarıçapı içindeki kütle:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)

Bu yüzden:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)

Toplam ince disk kütlesi r → ∞ alınarak elde edilir:

\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)

Bileşen 2 – Kalın Yıldız Diski

Kalın disk ince diske göre daha yaşlı, dikey olarak daha geniş ve daha dağınıktır. Yıldızları Galaktik düzlemin üstünde ve altında daha uzağa hareket eder.

Kalın yıldız diski için:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)

Evet:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

r yarıçapı içindeki kütle:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Bu yüzden:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)

Toplam kalın disk kütlesi:

\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)

Yıldız Disk Kütlesi: İnce Disk + Kalın Disk

Her iki yıldız bileşeninin toplanmasıyla elde edilir:

\(M_{\mathrm{disk,yıldız}}(<r)=M_{\mathrm{ince}}(<r)+M_{\mathrm{kalın}}(<r)\)

ya da:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Çok büyük yarıçapta:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)

Yani, bu modelde Samanyolu’nun görünür yıldız diski yaklaşık

45,7 milyar güneş kütlesi

Bileşen 3 – Atomik Hidrojen Gazı, HI

Samanyolu diski de görünür gaz içerir. İlk büyük gaz bileşeni HI olarak yazılan atomik hidrojendir.

Yıldız diskinin aksine, gaz basit bir üstel disk tarafından iyi tanımlanamaz. Merkezi bir çöküntü veya “delik” vardır, bu yüzden daha iyi bir formdur:

\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)

HI için:

\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)

r yarıçapı içindeki kütle:

\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)

Bu denklem şöyle der: toplam HI kütlesini alın ve bunu r yarıçapının içinde bulunan HI diskinin oranı ile çarpın.

Bileşen 4 – Moleküler Hidrojen Gazı, H₂

İkinci büyük gaz bileşeni, H₂ olarak yazılan moleküler hidrojendir. Bu gaz soğuk bulutlar ve yıldız oluşumu ile daha yakından ilişkilidir.

H₂ için:

\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)

r yarıçapı içindeki kütle:

\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)

Tam Görünür Disk Kütle Denklemi

Yıldızları ve gazı birleştirmek:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Tamamen yazılı:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)

Nerede?

r ve R kpc cinsindendir
M, M⊙ içinde

Bu denklem, Samanyolu ‘nun Galaktik Merkez’den ölçülen bir r yarıçapı içindeki görünür disk kütlesini verir.

Örnek: Güneş’in Yörüngesindeki Kütle

Güneş yaklaşık olarak:

\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)

Sadece yıldız diski denklemini kullanarak:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)

Sayısal olarak bu yaklaşık olarak şunu verir:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)

Yani, Güneş’in yörüngesinin içinde, yıldız diski zaten toplam kütlesinin çoğunu içerir.

Neden Halkalar Kullanılmalı?

Halka yöntemi kullanışlıdır çünkü bir galaksi diski küre değildir.

Küresel bir nesne için, r yarıçapındaki kütle kabuğunun alanı vardır:

\(4\pi r^2\)

Ancak ince bir disk için kütle dairesel halkalara yayılır:

\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)

Disk kütle denklemlerinin küresel kütle denklemlerinden farklı görünmesinin nedeni budur.

Bir diskin içinde:

kütle halkalardan gelir

Bir kürenin içinde:

kütle kabuklardan gelir

Samanyolu hem disk benzeri hem de küresel bileşenler içerir, ancak bu sayfa diske odaklanmaktadır.

Bu Denklem Neleri İçerir

Denklem şunları içerir:

Bileşen	Anlamı	Dahil mi?
İnce yıldız diski	Galaktik düzlem yakınındaki genç ve orta yaşlı yıldızlar	Evet
Kalın yıldız diski	Düzlemden daha uzaktaki daha yaşlı yıldızlar	Evet
HI gaz	Atomik hidrojen	Evet
H₂ gazı	Moleküler hidrojen	Evet
Çıkıntı/çubuk	Merkezi yıldız yapısı	Hayır
Karanlık madde halesi	Görünmez yerçekimi bileşeni	Hayır
Yıldız halesi	Çok dağınık yaşlı yıldızlar	Hayır

Bu yüzden buna Samanyolu’nun tam kütlesi değil, görünür disk kütlesi diyoruz.

Bunun Kayıp Kitle ile Bağlantısı

Görünür disk kütlesi bilindiğinde, gökbilimciler bunu Galaksinin gözlemlenen dönüşünün gerektirdiği kütle ile karşılaştırırlar.

Dairesel hareketten çıkarılan dinamik kütle şudur:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)

Pratik birimlerde:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)

Kayıp kütle o zaman:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

Bu sayfa için disk katkısı şudur:

\(M_{\mathrm{visible}}(<r)\approx M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)

Tam bir Samanyolu modeli, merkezi şişkinliği/çubuğu ve diğer küçük baryonik bileşenleri de ekleyecektir.

Önemli Sınırlamalar

Bu model kullanışlıdır, ancak mükemmel değildir.

İlk olarak, Samanyolu mükemmel pürüzsüzlükte eksenel simetrik bir disk değildir. Spiral kolları, merkezi bir çubuğu, yıldız oluşturan bölgeleri ve yerel yapıları vardır.

İkincisi, gazın modellenmesi zordur çünkü onu Galaksinin içinden gözlemliyoruz. Mesafesi ve dönüşü hız verilerinden yeniden yapılandırılmalıdır.

Üçüncüsü, diskin dikey kalınlığı vardır. Yukarıdaki denklemler çoğunlukla radyal kütle profilleri için mükemmel olan ancak her dikey detayı tanımlamayan yüzey yoğunluğu denklemleridir.

Dördüncü olarak, parametreler benimsenen Galaktik modele bağlıdır. McMillan’ın modeli güçlü bir referans noktasıdır, ancak farklı çalışmalar biraz farklı disk kütleleri, ölçek uzunlukları ve gaz profilleri verebilir. McMillan R₀, v₀, yıldız kütlesi, virial kütle ve yerel karanlık madde yoğunluğu gibi temel küresel parametreler için istatistiksel belirsizlikleri açıkça bildirmektedir.

Sözlük

Galaktik Merkez
Samanyolu’nun merkez bölgesi, süper kütleli kara delik Sagittarius A*’nın etrafında.

Kiloparsek, kpc
Galaktik astronomide kullanılan bir mesafe birimi. Bir kiloparsek yaklaşık 3,260 ışık yılıdır.

Güneş kütlesi, M⊙
Güneş’in kütlesi. Astronomide standart kütle birimi olarak kullanılır.

Yüzey yoğunluğu, Σ(r)
Galaktik diskin r yarıçapındaki birim alanı başına kütle.

Ölçek uzunluğu,_Rd
Disk yoğunluğunun bir e faktörü kadar azaldığı mesafe.

İnce disk
Samanyolu’nun düz, yoğun, yıldız oluşturan diski.

Kalın disk
İnce diski çevreleyen daha yaşlı, dikey olarak daha geniş bir yıldız diski.

HI
Atomik hidrojen gazı.

H₂
Moleküler hidrojen gazı.

Dinamik kütle
Yıldızların ve gazın gözlemlenen yörünge hızını açıklamak için gereken kütle.

Kayıp kütle
Dinamik kütle ile görünür kütle arasındaki fark.

Erişilebilirlik Notları

Önerilen resim alt metni:

Diyagram 1 için alt metin: “Samanyolu diskinin Galaktik Merkez etrafında dairesel halkalara bölünmüş yüz görünümü.”
Diyagram 2 için alt metin: “Samanyolu’nun yandan görünümü, daha kalın, daha eski bir yıldız diskinin içine gömülü ince bir yıldız diskini gösteriyor.”
Grafik için alt metin: “Galaktik Merkezden yarıçapla artan kümülatif görünür disk kütlesini gösteren grafik.”

Aşağıdaki gibi okunabilir etiketler kullanın:

“Galaktik Merkezden Yarıçap, kpc”
“Yarıçap içindeki kütle, güneş kütleleri”
“İnce disk”
“Kalın disk”
“Gaz diski”
“Toplam görünür disk”

Önerilen Dahili Bağlantılar

Samanyolu dönüş eğrisi
Karanlık madde ve kayıp kütle
Kiloparsek nedir?
Galaktik Merkez açıklandı
İnce disk vs kalın disk

Önerilen Dış Referanslar

Daha fazla okuma:

McMillan, P. J. “Samanyolu’nun kütle dağılımı ve kütleçekim potansiyeli.” Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2017.
McMillan, P. J. “Samanyolu’nun kütle modelleri.” arXiv, 2011.
Cautun ve diğerleri. “Gaia DR2’den çıkarılan Samanyolu toplam kütle profili.” Makale Samanyolu’nu bir şişkinlik, ince disk, kalın disk, HI diski, moleküler gaz diski, galaksi çevresi gazı ve karanlık halo ile modellemektedir.
Marasco ve diğerleri. “Güneş çemberi içindeki atomik ve moleküler gazın dağılımı ve kinematiği.” Bu çalışma Galaktik gazı halkalar kullanarak modellemekte ve HI ve CO verilerine uymaktadır.

Görünür kütle

Samanyolu’nun herhangi bir yarıçaptaki görünür kütlesini tahmin etmek için, kpc cinsinden bir r değeri seçin ve içine yerleştirin:

İlk hesaplama için daha basit yıldız-disk denklemini kullanın. Daha sonra daha eksiksiz bir görünür disk modeli için HI ve H₂ gazı ekleyin.