Biteori – Grunder – Teknisk not I

En reglerad vågfunktion för biteori

En minimal förfining av BeeTheory-vågfunktionen med en enda parameter som tar bort singulariteten vid ursprunget samtidigt som alla teorins förutsägelser bevaras i större skalor. Denna not etablerar den matematiska grund som behövs för att utvidga BeeTheory på ett rigoröst sätt från elementarpartiklar till galaxer.

Bee-teorins vågfunktion

$$\psi(r) = \frac{1}{N}\,\exp\!\left(-\frac{\sqrt{r^2 + a^2}}{a}\right)$$$

där $a$ är den naturliga längdskalan för partikeln
(för väte: $a = a_0 = 5,29 \times 10^{-11}$ m, Bohrs radie)

Denna formel har tre egenskaper som gör BeeTheory till en komplett och väldefinierad teori i alla skalor, från den subatomära till den galaktiska:

Fastighet	Värde vid $r = 0$.	Beteende för $r \gg a$
Vågfunktion $\psi(r)$	$e^{-1} \approx 0,368$ (begränsad)	$\to e^{-r/a}$ (matchar det ursprungliga BeeTheory-postulatet)
Laplacian $\nabla^2\psi$	$-3\,e^{-1}/a^2$ (ändlig)	$\to e^{-r/a}/a^2$ (asymptotiskt identiska)
Fria parametrar	En ($a$ ensam)	Ingen ytterligare längdskala

1. Varför reglera?

BeeTheory, i sin ursprungliga formulering (Dutertre 2023), postulerar att varje elementarpartikel beskrivs av en radiell exponentiell vågfunktion:

Ursprunglig BeeTheory postulat

$$\psi_0(r) = N_0 \cdot e^{-r/a}$$$

Denna form är elegant och matematiskt transparent, och den fångar korrekt vågfältets långdistansbeteende. Men när den uttrycks i sfäriska koordinater och påverkas av Laplacian-operatorn som förekommer i Schrödingerekvationen, uppstår en artefakt vid ursprunget:

Laplacian av den ursprungliga formen

$$\nabla^2 \psi_0(r) = \psi_0(r) \cdot \left(\frac{1}{a^2} – \frac{2}{r\,a}\right)$$$

Termen $-2/(r\,a)$ växer utan gräns när $r \till 0$. Detta är en välkänd egenskap hos punktliknande idealiseringar inom fysiken – samma typ av singularitet som förekommer i Coulombpotentialen, och som rutinmässigt hanteras inom kärn- och atomfysik genom regulariseringstekniker. Den regulariserade BeeTheory-vågfunktionen som beskrivs nedan tillämpar just denna typ av etablerad teknik.

2. Regulariseringsprincipen

Principen är elegant enkel: ersätt $r$ med $\sqrt{r^2 + a^2}$ inuti exponentialen. Denna substitution är en klassisk regulariseringsteknik som används i hela den teoretiska fysiken – särskilt för mjukare Yukawa-potentialer i partikelfysik och pseudopotentialer i kvantkemi. Den introducerar ingen ny fysisk skala: regulariseringslängden är partikelns egen karakteristiska längd $a$.

Substitutionen

$$r \lång rät pil \sqrt{r^2 + a^2}$$$

Den fysikaliska tolkningen är naturlig och överensstämmer med BeeTeorys grundläggande syn på partiklar som utvidgade vågstrukturer: en partikel vars karakteristiska storlek är $a$ kan inte ha en egenskap som är mindre än $a$ själv. Vågfältet i partikelns kärna är jämnt i samma skala som dess egen koherenslängd. Detta är en förstärkning av det ursprungliga postulatet, inte ett avsteg från det.

Beteende vid båda gränserna

Nära origo ($r \ll a$): med hjälp av $\sqrt{r^2 + a^2} \approx a + r^2/(2a)$ får vi

$$\psi(r) \approx e^{-1} \cdot e^{-r^2/(2a^2)}$$$

Vågfunktionen övergår mjukt till en gaussisk nära centrum, med ett ändligt värde $e^{-1}$ vid $r = 0$. Sannolikhetstätheten är väldefinierad genom hela partikelns inre.

Långt från origo ($r \gg a$): med hjälp av $\sqrt{r^2 + a^2} = r\sqrt{1 + (a/r)^2} \approx r + a^2/(2r)$, får vi

$$\psi(r) \approx e^{-r/a} \cdot e^{-a/(2r) } \;\longrightarrow\; e^{-r/a}$$$ \cdot e^{-a/(2r)} \;\longrightarrow\; e^{-r/a}$$$

Vi återfinner exakt det exponentiella förfallet i det ursprungliga BeeTheory-postulatet. Varje förutsägelse av BeeTheory på avstånd som är större än partikelns egen skala – och det inkluderar varje atomär, planetär och astrofysisk tillämpning av teorin – bevaras utan modifiering.

3. Numerisk verifiering

I tabellen nedan jämförs den ursprungliga vågfunktionen $\psi_0$ och den regulariserade $\psi$, tillsammans med deras Laplacians, på olika avstånd uttryckta i enheter av $r/a$:

$r/a$	$\psi_0$ (original)	$\nabla^2\psi_0$	$\psi$ (regulariserad)	$\nabla^2\psi$
0.001	0.999	-1997	0.368	-1.104
0.01	0.990	-197.0	0.368	-1.103
0.1	0.905	-17.19	0.366	-1.085
0.5	0.607	-1.820	0.327	-0.753
1.0	0.368	-0.368	0.243	-0.308
2.0	0.135	0.000	0.107	-0.020
5.0	0.0067	0.004	0.0061	0.003
10.0	4.5×10-⁵	≈ 0	4.3×10-⁵	≈ 0

Den regulariserade Laplacianen förblir ändlig överallt, med en storlek av storleksordningen $1/a^2$ nära origo, och konvergerar mot originalet bortom $r \approx 5a$. Förfiningen är strikt lokal: begränsad till ett grannskap av partikeln av storleken $\sim a$, och helt osynlig på varje större skala.

De två vågfunktionerna är numeriskt omöjliga att skilja åt bortom $r \approx 2a$. Nära ursprunget är den regulariserade formen jämnt begränsad vid $e^{-1} \approx 0,368$.

4. Den analytiska Laplacianen

Härledningen är direkt. Om man sätter $s(r) = \sqrt{r^2 + a^2}$ och $\psi(r) = N^{-1}\,e^{-s/a}$ blir de radiella derivatorna:

Derivat av s(r)

$$s'(r) = \frac{r}{s}, \qquad s”(r) = \frac{a^2}{s^3}$$$

Genom att tillämpa kedjeregeln och Laplacianen i sfäriska koordinater $\nabla^2 = \partial_r^2 + (2/r)\partial_r$ för en radiellt symmetrisk funktion får vi den kompakta slutna formen:

Laplacian för BeeTheory-vågfunktionen

$$\boxed{\;\nabla^2 \psi(r) = \psi(r) \cdot \left[\frac{r^2}{a^2 s^2} – \frac{3}{a\,s} + \frac{r^2}{a\,s^3}\right]\;}$$

Detta uttryck är ändligt överallt, även vid $r = 0$. Utvärdering vid de två naturliga gränserna:

Begränsa	$s(r)$	$\nabla^2 \psi(r)$
$r \to 0$$	$s \to a$	$\psi(0) \cdot (-3/a^2) = -3\,e^{-1}/a^2$
$r \to \infty$	$s \to r$	$\psi(r) \cdot (1/a^2 – 3/(r\,a))$ $\psi(r)

På stora avstånd återfår Laplacianen formen av det ursprungliga BeeTheory-uttrycket $\psi \cdot (1/a^2 – 2/(r\,a))$ upp till en $1/r$-korrektion som försvinner snabbt. Skillnaden är försumbar bortom $r$ större än $5a$ – långt inom alla fysiska regimer som är relevanta för gravitationella eller astrofysiska tillämpningar.

Den ursprungliga Laplacianen (röd) dyker mot $-\infty$ när $r \till 0$. Den regulariserade Laplacianen (blå) är försiktigt begränsad till $-1,1/a^2$ – ett rent, fysiskt meningsfullt värde.

5. Vad detta låser upp för BeeTheory

En teori som nu är väldefinierad i alla skalor

BeeTeorys Schrödingerekvation, tillämpad på det regulariserade $\psi$, har ändlig kinetisk energi $-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi$ vid varje punkt i rymden. Den vågbaserade gravitationsmekanismen är nu matematiskt rigorös från det inre av en enda partikel till de största galaktiska skalorna. Detta är den tekniska grunden som överbryggar det atomära och det kosmiska i ett enda, konsekvent ramverk.

Alla långdistansförutsägelser bevarade

Det asymptotiska beteendet hos $\psi$ är identiskt med den ursprungliga BeeTheory-vågfunktionen. Varje förutsägelse på längdskalor som är större än atomradien bevaras utan modifiering – inklusive gravitationslagen med invers kvadrat som härleds från den sfäriska Laplacianen, skalteoremet som gör att makroskopiska kroppar kan behandlas som punktpartiklar och utvidgningen till utökade materiedistributioner på galaktiska skalor. Förfiningen stärker grunden utan att störa den struktur som byggts upp på den.

Vad kommer härnäst?

Eftersom vågfunktionen nu är rigoröst definierad överallt, kan den centrala härledningen av BeeTheory – tillämpningen av Schrödingerekvationen på ett par interagerande vågor som ger gravitationspotentialen $1/R$ – omformuleras i full matematisk rigorösitet, med varje steg explicit och varje koefficient bestämd från första principer. Detta är ämnet för nästa tekniska notis i denna serie.

6. Sammanfattning på tre rader

1. BeeTheory-vågfunktionen är $\psi(r) = N^{-1}\,\exp\!\left(-\sqrt{r^2+a^2}/a\right)$.

2. Dess Laplacian är ändlig överallt och antar värdet $-3\,e^{-1}/a^2$ vid origo.

3. Bortom $r \approx 5a$ är den numeriskt oskiljbar från den ursprungliga $e^{-r/a}$.

Referenser. Dutertre, X. – Bee Theory™: Vågbaserad modellering av gravitationen, v2, BeeTheory.com (2023). Ursprungligt postulat. – Schwabl, F. – Quantum Mechanics, 4:e upplagan, Springer (2007). Regularisering av singulära potentialer. – Hellmann, H. – A New Approximation Method in the Problem of Many Electrons, J. Chem. Phys. 3, 61 (1935). Historiskt ursprung för regulariserade pseudopotentialer i kvantmekanik.