Масса диска Млечного Пути как функция радиуса

TL;DR

Видимая масса диска Млечного Пути может быть смоделирована как сумма нескольких компонентов: тонкого звездного диска, толстого звездного диска, атомарного водородного газа HI и молекулярного водородного газа H₂.

Наиболее полезным уравнением является следующее:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Где r — расстояние от Галактического центра в килопарсеках, или кпк.

Для звездной части диска, используя общепринятые параметры Млечного Пути из модели галактической массы МакМиллана, масса внутри радиуса r составляет:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

с r в кпк и массой в солнечных массах, M⊙.

Это уравнение описывает видимую звездную массу диска Млечного Пути как функцию расстояния от Галактического центра.

Окончательное уравнение для массы видимого диска

Видимый диск Млечного Пути можно записать как:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Звездная часть — самая чистая:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)

Использование числовых параметров:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

где:

r = расстояние от галактического центра в кпк
Mdisk_,stars = масса звездного диска внутри радиуса r
M⊙ = одна солнечная масса

Используемые здесь параметры взяты из модели массы Млечного Пути МакМиллана 2017 года, которая дает солнечный радиус R₀ = 8,20 ± 0,09 кпк, круговую скорость v₀ = 232,8 ± 3,0 км/с и общую звездную массу (54,3 ± 5,7) × 10⁹ M⊙.

Диск Млечного Пути построен из колец

Простой способ понять уравнение массы — представить себе, что галактический диск разрезан на множество тонких круговых колец.

Каждое кольцо имеет:

\(\mathrm{обхват}=2\pi r\) \(\mathrm{width}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)

Если поверхностная плотность массы диска равна Σ(r), то масса одного тонкого кольца составляет:

\(dM=2\pi r\,\Sigma(r)\,dr\)

Масса внутри радиуса r получается путем сложения всех колец от центра до r:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)

Это основная математическая идея, лежащая в основе уравнения массы диска.

Уравнение экспоненциального диска

Звездный диск Млечного Пути обычно аппроксимируется экспоненциальной поверхностной плотностью:

\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)

где:

Σ₀ = плотность массы центральной поверхности
_Rd = длина шкалы диска
r = расстояние от галактического центра

Длина шкалы _Rd говорит нам о том, как быстро диск становится менее плотным по мере того, как мы движемся наружу.

Подставив эту плотность в уравнение кольца, Вы получите:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)

Решение интеграла дает:

\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)

Это основное уравнение, используемое для звездного диска.

Компонент 1 — Тонкий звездный диск

Тонкий диск — это яркая, плоская, звездообразующая часть Млечного Пути. Он содержит молодые звезды, множество звезд, похожих на Солнце, газ, пыль и спиральные рукава.

Для тонкого звездного диска:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)

С тех пор:

\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)

мы пишем:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Масса внутри радиуса r равна:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)

Поэтому:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)

Полная масса тонкого диска получается, если взять r → ∞:

\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)

Компонент 2 — Толстый звездный диск

Толстый диск старше, более вытянут по вертикали и более диффузен, чем тонкий. Его звезды движутся дальше над и под галактической плоскостью.

Для толстого звездного диска:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)

Итак:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Масса внутри радиуса r равна:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Поэтому:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)

Общая масса толстого диска составляет:

\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)

Масса звездного диска: Тонкий диск + толстый диск

Сложение обеих звездных составляющих дает:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)

или:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

При очень большом радиусе:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)

Итак, в этой модели видимый звездный диск Млечного Пути содержит около:

45,7 миллиардов солнечных масс

Компонент 3 — Атомарный газообразный водород, HI

Диск Млечного Пути также содержит видимый газ. Первый крупный газовый компонент — это атомарный водород, пишется HI.

В отличие от звездного диска, газ не очень хорошо описывается простым экспоненциальным диском. У него есть центральная впадина, или «дыра», поэтому более подходящей формой является:

\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)

Для HI:

\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)

Масса внутри радиуса r равна:

\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)

Это уравнение гласит: возьмите общую массу HI и умножьте ее на долю диска HI, находящуюся внутри радиуса r.

Компонент 4 — молекулярный газообразный водород, H₂

Второй основной газовый компонент — молекулярный водород, обозначаемый H₂. Этот газ более тесно связан с холодными облаками и звездообразованием.

Для H₂:

\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)

Масса внутри радиуса r равна:

\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)

Уравнение полной массы видимого диска

Сочетание звезд и газа:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Полностью написан:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)

где:

r и R указаны в кпк
M — это в M⊙

Это уравнение дает видимую массу диска Млечного Пути внутри радиуса r, измеренного от Галактического центра.

Пример: Масса внутри орбиты Солнца

Солнце расположено приблизительно:

\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)

Используя только уравнение звездного диска:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)

Численно это дает приблизительно следующее:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)

Таким образом, внутри орбиты Солнца звездный диск уже содержит большую часть его общей массы.

Зачем использовать кольца?

Метод кольца полезен, потому что диск галактики не является сферой.

Для сферического объекта оболочка массы на радиусе r имеет площадь:

\(4\pi r^2\)

Но в случае тонкого диска масса распределяется по круговым кольцам:

\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)

Вот почему уравнения массы диска выглядят иначе, чем уравнения массы сферического диска.

В диске:

Масса поступает от колец

В сфере:

Масса поступает из оболочек

Млечный Путь содержит как дискообразные, так и сферические компоненты, но эта страница посвящена диску.

Что включает в себя это уравнение

Уравнение включает в себя:

Компонент	Значение	Включено?
Тонкий звездный диск	Молодые и средневозрастные звезды вблизи галактической плоскости	Да
Толстый звездный диск	Более старые звезды, расположенные дальше от плоскости	Да
Газ HI	Атомарный водород	Да
H₂ газ	Молекулярный водород	Да
Выпуклость/бар	Центральная звездная структура	Нет
Ореол темной материи	Невидимый гравитационный компонент	Нет
Звездный ореол	Очень диффузные старые звезды	Нет

Вот почему мы называем ее массой видимого диска, а не полной массой Млечного Пути.

Как это связано с недостающей массой

Когда масса видимого диска известна, астрономы сравнивают ее с массой, необходимой для наблюдаемого вращения Галактики.

Динамическая масса, вычисленная на основе кругового движения, равна:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)

В практических единицах:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)

Тогда получается недостающая масса:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

Для этой страницы взнос на диск составляет:

\(M_{\mathrm{visible}}(<r)\approx M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)

Полная модель Млечного Пути также добавит центральную выпуклость/бар и другие незначительные барионные компоненты.

Важные ограничения

Эта модель полезна, но она не идеальна.

Во-первых, Млечный Путь не является идеально гладким осесимметричным диском. В нем есть спиральные рукава, центральный бар, звездообразующие регионы и локальные структуры.

Во-вторых, газ трудно моделировать, потому что мы наблюдаем его изнутри Галактики. Его расстояние и вращение необходимо реконструировать по данным о скоростях.

В-третьих, диск имеет вертикальную толщину. Приведенные выше уравнения в основном представляют собой уравнения поверхностной плотности, которые отлично подходят для радиальных профилей массы, но не описывают всех вертикальных деталей.

В-четвертых, параметры зависят от принятой модели Галактики. Модель МакМиллана является сильной точкой отсчета, но разные исследования могут давать несколько иные массы дисков, длины шкалы и профили газа. МакМиллан явно сообщает о статистических неопределенностях для ключевых глобальных параметров, таких как R₀, v₀, звездная масса, вириальная масса и локальная плотность темной материи.

Глоссарий

Галактический центр
Центральная область Млечного Пути, расположенная вокруг сверхмассивной черной дыры Стрелец А*.

Килопарсек, кпк
Единица измерения расстояния, используемая в галактической астрономии. Один килопарсек равен примерно 3 260 световым годам.

Солнечная масса, M⊙
Масса Солнца. Она используется в качестве стандартной единицы массы в астрономии.

Поверхностная плотность, Σ(r)
Масса на единицу площади галактического диска при радиусе r.

Масштабная длина, _Rd
Расстояние, на котором плотность диска уменьшается в e раз.

Тонкий диск
Плоский, плотный, звездообразующий диск Млечного Пути.

Толстый диск
Более старый, более вертикально вытянутый звездный диск, окружающий тонкий диск.

HI
Атомарный газообразный водород.

H₂
Молекулярный газообразный водород.

Динамическая масса
Масса, необходимая для объяснения наблюдаемой орбитальной скорости звезд и газа.

Недостающая масса
Разница между динамической и видимой массой.

Примечания по доступности

Предлагаемый текст alt изображения:

Alt text for diagram 1: «Вид на диск Млечного Пути, разделенный на круговые кольца вокруг Галактического Центра».
Alt text for diagram 2: «Вид сбоку Млечного Пути, показывающий тонкий звездный диск, встроенный в более толстый, старый звездный диск».
Alt text for graph: «График, показывающий увеличение кумулятивной массы видимого диска с увеличением радиуса от Галактического центра».

Используйте читаемые этикетки, такие как:

«Радиус от галактического центра, кпк»
«Масса внутри радиуса, солнечная масса»
«Тонкий диск»
«Толстый диск»
«Газовый диск»
«Всего видимых дисков»

Предлагаемые внутренние ссылки

Кривая вращения Млечного Пути
Темная материя и недостающая масса
Что такое килопарсек?
Галактический центр объясняется
Тонкий диск против толстого диска

Предлагаемые внешние ссылки

Дальнейшее чтение:

МакМиллан, П. Дж. «Распределение массы и гравитационный потенциал Млечного Пути». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2017.
МакМиллан, П. Дж. «Массовые модели Млечного Пути». arXiv, 2011.
Каутун и др. «Профиль общей массы Млечного Пути, полученный с помощью Gaia DR2». В статье приводится модель Млечного Пути с выпуклостью, тонким диском, толстым диском, диском HI, диском молекулярного газа, окологалактическим газом и темным гало.
Мараско и др. «Распределение и кинематика атомарного и молекулярного газа внутри Солнечного круга». Это исследование моделирует галактический газ с помощью колец и подгоняет данные по HI и CO.

Видимая масса

Чтобы оценить видимую массу Млечного Пути при любом радиусе, выберите значение r в кпк и вставьте его в:

Для первого расчета используйте более простое уравнение звездного диска. Затем добавьте газ HI и H₂, чтобы получить более полную модель видимого диска.