BeeTheory — Основы — Техническая заметка I
Регуляризованная волновая функция для теории пчел
Минимальное, однопараметрическое уточнение волновой функции BeeTheory, которое устраняет сингулярность в начале координат, сохраняя все предсказания теории на больших масштабах. Эта заметка закладывает математический фундамент, необходимый для строгого распространения BeeTheory от элементарных частиц до галактик.
Волновая функция BeeTheory
$$\psi(r) = \frac{1}{N}\,\exp\!\left(-\frac{\sqrt{r^2 + a^2}}{a}\right)$$
где $a$ — естественный масштаб длины частицы
(для водорода: $a = a_0 = 5,29 \times 10^{-11}$ м, радиус Бора)
Эта формула несет в себе три свойства, которые делают BeeTheory полной и четко определенной теорией на всех масштабах, от субатомного до галактического:
| Недвижимость | Значение при $r = 0$ | Поведение для $r \gg a$ |
|---|---|---|
| Волновая функция $\psi(r)$. | $e^{-1} \approx 0.368$ (конечное число) | $\to e^{-r/a}$ (соответствует оригинальному постулату BeeTheory) |
| Лапласиан $\nabla^2\psi$ | $-3\,e^{-1}/a^2$ (конечное) | $\to e^{-r/a}/a^2$ (асимптотически одинаковые) |
| Свободные параметры | Один (только $a$) | Без дополнительной шкалы длины |
1. Зачем проводить регуляризацию?
Би-теория, в своей первоначальной формулировке (Dutertre 2023), постулирует, что каждая элементарная частица описывается радиальной экспоненциальной волновой функцией:
Оригинальный постулат BeeTheory
$$\psi_0(r) = N_0 \cdot e^{-r/a}$$
Эта форма элегантна и математически прозрачна, и она правильно отражает дальнодействующее поведение волнового поля. Однако, если выразить ее в сферических координатах и воздействовать на нее оператором Лапласиана, который появляется в уравнении Шредингера, в начале координат возникает артефакт:
Лапласиан исходной формы
$$\nabla^2 \psi_0(r) = \psi_0(r) \cdot \left(\frac{1}{a^2} — \frac{2}{r\,a}\right)$$
Член $-2/(r\,a)$ неограниченно растет по мере того, как $r \to 0$. Это знакомая особенность точечных идеализаций в физике — тот же вид сингулярности, что и в кулоновском потенциале, и тот, с которым регулярно обращаются в ядерной и атомной физике с помощью методов регуляризации. Регуляризованная волновая функция BeeTheory, описанная ниже, использует именно этот вид устоявшейся техники.
2. Принцип регуляризации
Принцип элегантно прост: замените $r$ на $\sqrt{r^2 + a^2}$ внутри экспоненты. Эта замена является классической техникой регуляризации, используемой во всей теоретической физике — в частности, для смягченных потенциалов Юкавы в физике частиц и псевдопотенциалов в квантовой химии. Она не вводит никаких новых физических масштабов: длина регуляризации — это собственная характерная длина частицы $a$.
Подстановка
$$r \longrightarrow \sqrt{r^2 + a^2}$$.
Физическая интерпретация естественна и согласуется с основополагающим взглядом BeeTheory на частицы как на протяженные волновые структуры: частица, чей характерный размер равен $a$, не может иметь характеристику меньше, чем сам $a$. Волновое поле в ядре частицы является гладким на масштабе ее собственной длины когерентности. Это усиление первоначального постулата, а не отход от него.
Поведение на обеих границах
Вблизи начала координат ($r \ll a$): используя $\sqrt{r^2 + a^2} \approx a + r^2/(2a)$, мы получаем
$$\psi(r)\approx e^{-1} \cdot e^{-r^2/(2a^2)}$$$.
Волновая функция плавно переходит в гауссову вблизи центра, с конечным значением $e^{-1}$ при $r = 0$. Плотность вероятности хорошо определена по всей внутренней части частицы.
Вдали от начала координат ($r \gg a$): используя $\sqrt{r^2 + a^2} = r\sqrt{1 + (a/r)^2} \approx r + a^2/(2r)$, мы получаем
$$\psi(r)\approx e^{-r/a} \cdot e^{-a/(2r)} \;\longrightarrow\; e^{-r/a}$$.
Мы восстанавливаем в точности экспоненциальный распад исходного постулата BeeTheory. Все предсказания BeeTheory на расстояниях, превышающих собственный масштаб частицы — а это включает все атомные, планетарные и астрофизические применения теории — сохраняются без изменений.
3. Численная проверка
В приведенной ниже таблице сравниваются исходная волновая функция $\psi_0$ и регуляризованная $\psi$, а также их лапласианы на различных расстояниях, выраженных в единицах $r/a$:
| $r/a$ | $\psi_0$ (оригинал) | $\nabla^2\psi_0$ | $\psi$ (регуляризированный) | $\nabla^2\psi$ |
|---|---|---|---|---|
| 0.001 | 0.999 | -1997 | 0.368 | -1.104 |
| 0.01 | 0.990 | -197.0 | 0.368 | -1.103 |
| 0.1 | 0.905 | -17.19 | 0.366 | -1.085 |
| 0.5 | 0.607 | -1.820 | 0.327 | -0.753 |
| 1.0 | 0.368 | -0.368 | 0.243 | -0.308 |
| 2.0 | 0.135 | 0.000 | 0.107 | -0.020 |
| 5.0 | 0.0067 | 0.004 | 0.0061 | 0.003 |
| 10.0 | 4.5×10-⁵ | ≈ 0 | 4.3×10-⁵ | ≈ 0 |
Регуляризованный лапласиан остается конечным везде, с величиной порядка $1/a^2$ вблизи начала координат, и сходится к исходному за пределами $r \approx 5a$. Уточнение строго локально: оно ограничено окрестностью частицы размером $\sim a$ и совершенно незаметно на всех больших масштабах.
4. Аналитический лапласиан
Вывод является прямым. Задавая $s(r) = \sqrt{r^2 + a^2}$ и $\psi(r) = N^{-1}\,e^{-s/a}$, радиальные производные имеют вид:
Производные от s(r)
$$s'(r) = \frac{r}{s}, \qквадрат s»(r) = \frac{a^2}{s^3}$$.
Применяя правило цепей и лапласиан в сферических координатах $\nabla^2 = \partial_r^2 + (2/r)\partial_r$ для радиально симметричной функции, мы получаем компактную замкнутую форму:
Лапласиан волновой функции BeeTheory
$$\boxed{\;\nabla^2 \psi(r) = \psi(r) \cdot \left[\frac{r^2}{a^2 s^2} — \frac{3}{a\,s} + \frac{r^2}{a\,s^3}\right]\;}$$$
Это выражение конечное везде, в том числе и при $r = 0$. Оценка в двух естественных пределах:
| Ограничение | $s(r)$ | $\nabla^2 \psi(r)$ |
|---|---|---|
| $r \to 0$ | $s \to a$ | $\psi(0) \cdot (-3/a^2) = -3\,e^{-1}/a^2$. |
| $r \to \infty$ | $s \to r$ | $\psi(r) \cdot (1/a^2 — 3/(r\,a))$ |
На большом расстоянии лапласиан восстанавливает форму исходного выражения теории Би $\psi \cdot (1/a^2 — 2/(r\,a))$ вплоть до поправки $1/r$, которая быстро исчезает. Разница пренебрежимо мала при $r$ больше $5a$ — далеко за пределами любого физического режима, имеющего отношение к гравитационным или астрофизическим приложениям.
5. Что это открывает для BeeTheory
Теория, которая теперь хорошо определена на всех масштабах
Уравнение Шредингера BeeTheory, примененное к регуляризованному $\psi$, имеет конечную кинетическую энергию $-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi$ в каждой точке пространства. Волновой механизм гравитации теперь является математически строгим, начиная с внутренностей отдельной частицы и заканчивая крупнейшими галактическими масштабами. Это техническая основа, которая соединяет атомную и космическую сферы в единую, непротиворечивую структуру.
Все дальнодействующие предсказания сохраняются
Асимптотическое поведение $\psi$ идентично оригинальной волновой функции BeeTheory. Все предсказания на масштабах длины, превышающих атомный радиус, сохраняются без изменений — включая обратно-квадратичный закон гравитации, выведенный из сферического лапласиана, теорему об оболочке, позволяющую рассматривать макроскопические тела как точечные частицы, и распространение на протяженные распределения материи в галактических масштабах. Уточнение укрепляет фундамент, не нарушая построенной на нем структуры.
Что будет дальше
Поскольку волновая функция теперь определена строго везде, центральный вывод BeeTheory — применение уравнения Шредингера к паре взаимодействующих волн, дающее гравитационный потенциал $1/R$ — может быть переформулирован в полной математической строгости, с каждым шагом в явном виде и каждым коэффициентом, определенным из первых принципов. Этому посвящена следующая техническая заметка в этой серии.
6. Резюме в три строки
1. Волновая функция BeeTheory — это $\psi(r) = N^{-1}\,\exp\!\left(-\sqrt{r^2+a^2}/a\right)$.
2. Его лапласиан везде конечен, принимая значение $-3\,e^{-1}/a^2$ в начале координат.
3. За пределами $r \approx 5a$ оно численно неотличимо от исходного $e^{-r/a}$.
Ссылки. Дютертр, X. — Bee Theory™: Волновое моделирование гравитации, v2, BeeTheory.com (2023). Оригинальный постулат. — Швабль, Ф. — Квантовая механика, 4-е изд., Springer (2007). Регуляризация сингулярных потенциалов. — Hellmann, H. — A New Approximation Method in the Problem of Many Electrons, J. Chem. Phys. 3, 61 (1935). Историческое происхождение регуляризованных псевдопотенциалов в квантовой механике.
BeeTheory.com — Квантовая гравитация на основе волн — Технические основы — © Technoplane S.A.S. 2026