BeeTheory – Fundamentos – Nota técnica X

Anatomia dos resíduos:
Uma tendência linear com o tamanho do disco

O teste cego de 94 galáxias da Nota IX mostrou uma tendência residual sistemática com o tamanho do disco. Esta nota caracteriza essa tendência quantitativamente, isola os maiores desvios em cada lado e identifica a origem estrutural da dispersão.

1. O resultado primeiro

Um resíduo linear, duas populações opostas

O erro de previsão é escalonado linearmente com o comprimento da escala do disco: $\text{error}\,(\%) \approx -31.7 + 12.8\,R_d$, com correlação de Pearson $r = +0.75$. A linha cruza o zero em $R_d = 2,48$ kpc, essencialmente o tamanho do disco da Via Láctea que ancorou a calibração. Os dois extremos dessa regressão correspondem a duas populações de outliers fisicamente distintas: grandes espirais maciças (superprevisão) em uma extremidade e anãs compactas (subprevisão) na outra.

2. O resíduo é linear em $R_d$

A plotagem do erro de previsão em relação a $R_d$, com cada ponto colorido pelo tipo de Hubble, torna a linearidade da tendência imediatamente visível. A linha vermelha é a regressão linear do erro em $R_d$ em todas as 94 galáxias cegas.

94 galáxias cegas representadas em relação ao tamanho do disco, coloridas pelo tipo de Hubble. A linha vermelha é a regressão linear do erro em $R_d$. Ela cruza o zero em $R_d = 2,48$ kpc – essencialmente o tamanho do disco que ancorou a calibração original.

Erro como uma função do tamanho do disco

$$\text{error}\,(\%) \;\approx\; -31,7 \;+\; 12,8 \times R_d \,[\text{kpc}]$$

Ajuste linear em 94 galáxias cegas, Pearson $r = +0,75$, RMSE de resíduos $= 18,4\%$.

Comparação de formas funcionais

Foram comparadas várias parametrizações alternativas. A forma linear é estatisticamente indistinguível das alternativas de logaritmo e raiz quadrada:

Modelo	Pearson $r$	RMSE	Comentário
$\text{err} = a + b\,R_d$ (linear)	$+0.749$	$18.4\%$	Forma analítica mais limpa
$\text{err} = a + b\,\log_{10}R_d$	$+0.748$	$18.4\%$	Estatisticamente equivalente
$\text{err} = a + b\,\sqrt{R_d}$	$+0.768$	$17.7\%$	Marginalmente melhor, sem ganho real
$\text{err} = a + b\,R_d + c\,R_d^2$	–	$17.8\%$	Termo quadrático muito pequeno ($c \aprox -1,1$)

A forma linear é, portanto, adotada como a descrição fiel mais simples dos dados.

Distribuição do tipo Hubble ao longo da linha

Classe Hubble	$N$	Mediana $R_d$ (kpc)	Erro mediano	Posição
S0-Sa (tipo inicial)	4	2.9	$+0.0\%$	Centro, próximo ao cruzamento zero
Sb-Sbc (intermediário)	23	3.2	$+3.9\%$	À direita do centro; cauda na região de previsão excessiva
Sc-Scd (espiral tardia)	27	2.5	$+7.7\%$	Espalhados pelo diagrama
Sd-Im (anã / irregular)	40	1.6	$-3.2\%$	Lado esquerdo; cauda na região abaixo do previsto

O padrão de cores na figura não é uma assinatura independente da tendência linear – é a mesma assinatura vista através do eixo da morfologia. A sequência de Hubble em galáxias de disco está correlacionada com o tamanho do disco: as anãs do tipo tardio são predominantemente compactas, e as espirais intermediárias são predominantemente grandes. Cada cor, portanto, fica ao longo de um trecho diferente da linha de regressão, com Sd-Im à esquerda, Sc-Scd no centro e Sb-Sbc à direita.

Um resíduo estrutural, não um ruído aleatório

Uma dispersão que depende linearmente de um único parâmetro físico e cruza o zero no ponto de calibração é a assinatura de uma constante aditiva ausente em uma das relações do modelo, não de dispersão observacional aleatória. O desvio é corrigível: ele pode ser absorvido por um único grau adicional de liberdade na lei de comprimento de coerência.

3. As dez galáxias mais superprevistas

Essas são as galáxias para as quais a BeeTheory prevê uma velocidade de rotação plana maior do que a observada. Ordenadas pelo tamanho do resíduo:

Galáxia	Tipo Hubble	$R_d$ (kpc)	$M_\star/10^{10}$	$f_\text{gas}$	$\Sigma_d$	$V_f$	$V_\text{tot}$	Erro
UGC00128	Sd-Im	7.50	1.06	0.39	60	135	243	+80.0%
NGC0801	Sb-Sbc	5.80	2.01	0.32	190	208	326	+56.6%
NGC2955	Sb-Sbc	5.50	3.99	0.23	420	266	406	+52.7%
UGC02885	Sc-Scd	8.50	3.40	0.41	150	290	441	+52.0%
NGC0925	Sc-Scd	3.10	0.22	0.75	72	105	155	+48.0%
NGC6195	Sb-Sbc	5.20	3.40	0.26	400	260	380	+46.3%
NGC6674	Sb-Sbc	5.50	3.33	0.29	350	260	380	+46.2%
NGC5033	Sb-Sbc	4.50	1.27	0.46	200	195	280	+43.7%
UGC02487	S0-Sa	7.50	5.30	0.23	300	330	465	+40.8%
NGC6503	Sc-Scd	2.40	0.38	0.55	210	121	168	+38.9%

Propriedade	Valor mediano	Faixa	Comparação
$R_d$	4,5 kpc	2.4 – 8.5	$2\times$ maior que a mediana
$M_\star$	$1.3 \times 10^{10}\,M_\odot$	$2.2 \times 10^{9}$ – $5.3 \times 10^{10}$	$8\times$ mais maciço
$f_\text{gas}$	$0.41$	$0.23$ – $0.87$	Abaixo da mediana (0,64)
Hubble $T$	$5$ (Sbc)	$1$ – $8$	Concentrado em espirais intermediárias
$V_f$	$195$ km/s	$69$ – $330$	Os rotadores mais rápidos da amostra

Perfil do grupo superprevisto

Espirais grandes, maciças e de tipo intermediário. Essas galáxias ficam no lado direito da linha de regressão, bem acima do cruzamento zero. A lei de comprimento de coerência do modelo $\ell = c_\text{disk}\,R_d$ produz valores de $\ell$ acima de 20 kpc nesse regime, gerando mais massa de campo de onda do que a rotação observada exige.

4. As dez galáxias mais imprevistas

Essas são as galáxias para as quais a BeeTheory prevê uma velocidade de rotação plana menor do que a observada. Ordenadas pelo tamanho do resíduo:

Galáxia	Tipo Hubble	$R_d$ (kpc)	$M_\star/10^{10}$	$f_\text{gas}$	$\Sigma_d$	$V_f$	$V_\text{tot}$	Erro
NGC6789	Sd-Im	0.30	0.01	0.53	250	60	22	-63.0%
UGC05764	Sd-Im	0.40	0.00	0.86	80	57	31	-45.6%
UGCA442	Sd-Im	1.00	0.00	0.85	15	57	32	-44.2%
NGC4138	S0-Sa	1.30	0.13	0.33	250	150	85	-43.6%
NGC4389	Sb-Sbc	1.20	0.07	0.37	150	110	62	-43.4%
NGC4085	Sb-Sbc	1.20	0.09	0.42	200	135	79	-41.1%
NGC2915	Sd-Im	0.50	0.01	0.84	160	85	53	-38.2%
NGC2976	Sb-Sbc	0.75	0.04	0.29	220	80	50	-37.4%
NGC4183	Sc-Scd	1.60	0.03	0.81	40	110	70	-36.3%
UGCA281	Sd-Im	0.50	0.01	0.63	80	40	26	-36.1%

Propriedade	Valor mediano	Faixa	Comparação
$R_d$	1,1 kpc	0.30 – 1.80	$2\times$ menor que a mediana
$M_\star$	$2.7 \times 10^{8}\,M_\odot$	$4 \times 10^{7}$ – $1.3 \times 10^{9}$	$6\times$ menos maciço
$f_\text{gas}$	$0.58$	$0.29$ – $0.86$	Abaixo da mediana (0,64)
Hubble $T$	$8$ (Sd)	$1$ – $10$	Concentrado em anãs de tipo tardio
$V_f$	$82$ km/s	$40$ – $150$	Rotadores lentos

Perfil do grupo subprevisto

Anãs compactas, de baixa massa e pequenas espirais. Essas galáxias ficam no lado esquerdo da linha de regressão, bem abaixo do cruzamento zero. A lei de comprimento de coerência $\ell = c_\text{disk}\,R_d$ produz $\ell$ de ordem $1$-$3$ kpc nesse regime, possivelmente muito curto para reunir toda a extensão do campo de ondas.

5. Comparação lado a lado dos três grupos

Propriedade (mediana)	Previsão excessiva (err > +30%, $N = 15$)	Bem previsto (\|err\| ≤ 30%, $N = 67$)	Previsão abaixo do esperado (err < -30%, $N = 12$)
$R_d$ (kpc)	4.5	2.4	1.1
$M_\star / 10^{10}$	1.27	0.15	0.027
$M_\text{gas} / 10^{10}$	0.93	0.27	0.04
$f_\text{gas}$	0.41	0.64	0.58
$\Sigma_d$	200	140	115
Hubble $T$	5 (Sbc)	6 (Sc)	8 (Sd)
$V_f$ (km/s)	195	113	82

Cada propriedade varia monotonicamente da esquerda para a direita. O grupo superprevisto é maior, mais maciço, mais dominado por estrelas e de rotação mais rápida; o grupo subprevisto é menor, mais leve, rico em gás e mais lento; a maioria bem prevista fica no meio. A Via Láctea ($R_d = 2,6$ kpc, $V_f aproximadamente 230$ km/s) cai naturalmente no regime bem previsto em que a calibração foi ancorada.

6. Interpretação

O modelo tem um único parâmetro de acoplamento $\lambda$ e três constantes geométricas universais $(c_\text{disk}, c_\text{sph}, c_\text{arm})$. Elas foram determinadas em uma galáxia de tamanho intermediário (a Via Láctea, $R_d = 2,6$ kpc) e validadas em vinte e duas galáxias de faixa de tamanho semelhante. O teste cego da Nota IX mostra que eles generalizam razoavelmente bem, mas com um resíduo que se desvia linearmente com o tamanho do disco.

Uma correção afim é suficiente

A linearidade do resíduo em $R_d$ – bem ajustada por uma única linha reta que cruza zero em $R_d = 2,48$ kpc – é a assinatura de um deslocamento aditivo ausente na relação de comprimento de coerência. A lei atual $\ell = c_\text{disk}\,R_d$ vincula o comprimento de coerência da onda estritamente proporcional à escala do disco. Substituí-la por uma relação afim $\ell = c_\text{disk}(R_d – R_0)$, em que $R_0$ é um pequeno deslocamento de cerca de $2,5$ kpc, produziria um resíduo que desaparece no ponto de calibração e cresce linearmente em ambos os lados – exatamente o padrão observado.

A maioria bem prevista é amplamente representativa

Dois terços da amostra estão na faixa bem prevista. Essas 67 galáxias abrangem toda a gama de tipos de Hubble e um fator de $\sim 100$ em massa estelar. O domínio de validade do modelo não é estreito: ele abrange a maior parte da população SPARC, com desvios concentrados nos dois extremos do tamanho do disco, exatamente como um resíduo linear dependente de $R_d$ produziria.

7. Resumo

1. O erro de previsão do teste cego de 94 galáxias segue uma tendência linear clara no comprimento da escala do disco: $\text{error}(\%) \approx -31.7 + 12.8\,R_d$, com Pearson $r = +0.75$ e RMSE de resíduos $= 18.4\%$.

2. A regressão linear cruza o zero em $R_d = 2,48$ kpc, essencialmente o tamanho do disco da Via Láctea que ancorou a calibração. As duas extremidades da linha correspondem a duas populações de outliers fisicamente distintas.

3. As 15 galáxias previstas em excesso por mais de $+30\%$ são espirais grandes, maciças, do tipo intermediário: mediana $R_d = 4,5$ kpc, $M_\star \approx 10^{10}\,M_\odot$, $V_f \approx 200$ km/s.

4. As 12 galáxias subprevistas em mais de $-30\%$ são anãs compactas de baixa massa: mediana $R_d = 1,1$ kpc, $M_\star \approx 3 \times 10^{8}\,M_\odot$, $V_f \approx 80$ km/s.

5. O desvio pode ser absorvido por uma correção afim da lei de comprimento de coerência, $\ell = c_\text{disk}(R_d – R_0)$, com $R_0 \aprox. 2,5$ kpc – introduzindo uma única nova constante.

Referências. Lelli, F., McGaugh, S. S., Schombert, J. M. – SPARC: Mass Models for 175 Disk Galaxies with Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves, AJ 152, 157 (2016). – de Vaucouleurs, G. et al. – Third Reference Catalogue of Bright Galaxies, Springer (1991). – McGaugh, S. S. – The third law of galactic rotation (A terceira lei da rotação galáctica), Galaxies 2, 601 (2014). – Dutertre, X. – Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023).

Anatomia dos resíduos:Uma tendência linear com o tamanho do disco