Masa dysku Drogi Mlecznej jako funkcja promienia

TL;DR

Widoczną masę dysku Drogi Mlecznej można modelować jako sumę kilku składników: cienkiego dysku gwiezdnego, grubego dysku gwiezdnego, wodoru atomowego HI i wodoru molekularnego H₂.

Najbardziej użytecznym równaniem jest:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

gdzie r jest odległością od Centrum Galaktyki w kiloparsekach lub kpc.

Dla gwiezdnej części dysku, przy użyciu powszechnie przyjętych parametrów Drogi Mlecznej z galaktycznego modelu masy McMillana, masa wewnątrz promienia r wynosi:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

z r w kpc i masą w masach Słońca, M⊙.

Równanie to opisuje widoczną masę gwiazdową dysku Drogi Mlecznej w funkcji odległości od Centrum Galaktyki.

Końcowe równanie dla masy dysku widzialnego

Widoczny dysk Drogi Mlecznej można zapisać jako:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Gwiezdna część jest najczystsza:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)

Korzystanie z parametrów numerycznych:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

gdzie:

  • r = odległość od Centrum Galaktyki w kpc
  • Mdisk,stars = masa dysku gwiezdnego wewnątrz promienia r
  • M⊙ = jedna masa słoneczna

Użyte tutaj parametry pochodzą z modelu masy Drogi Mlecznej McMillana z 2017 roku, który daje promień słoneczny R₀ = 8,20 ± 0,09 kpc, prędkość kołową v₀ = 232,8 ± 3,0 km/s i całkowitą masę gwiazdową (54,3 ± 5,7) × 10⁹ M⊙.

Dysk Drogi Mlecznej zbudowany jest z pierścieni

Prostym sposobem na zrozumienie równania masy jest wyobrażenie sobie pocięcia dysku galaktycznego na wiele cienkich okrągłych pierścieni.

Każdy pierścień posiada:

\(\mathrm{obwód}=2\pi r\) \(\mathrm{szerokość}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)

Jeśli gęstość masy powierzchniowej dysku wynosi Σ(r), to masa jednego cienkiego pierścienia wynosi:

\(dM=2\pi r\,\Sigma(r)\,dr\)

Masę wewnątrz promienia r uzyskuje się przez dodanie wszystkich pierścieni od środka do r:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)

Jest to podstawowa idea matematyczna stojąca za równaniem masy dysku.

Wykładnicze równanie dysku

Dysk gwiezdny Drogi Mlecznej jest zwykle przybliżany przez wykładniczą gęstość powierzchniową:

\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)

gdzie:

  • Σ₀ = centralna powierzchniowa gęstość masy
  • Rd = długość skali dysku
  • r = odległość od centrum Galaktyki

Długość skali Rd mówi nam, jak szybko dysk staje się mniej gęsty, gdy poruszamy się na zewnątrz.

Podstawiając tę gęstość do równania pierścieniowego otrzymujemy:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)

Rozwiązanie całki daje:

\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)

Jest to główne równanie używane dla dysku gwiezdnego.

Komponent 1 – Cienki dysk gwiezdny

Cienki dysk to jasna, płaska, gwiazdotwórcza część Drogi Mlecznej. Zawiera młode gwiazdy, wiele gwiazd podobnych do Słońca, gaz, pył i ramiona spiralne.

Dla cienkiego dysku gwiezdnego:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)

Od:

\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)

piszemy:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Masa wewnątrz promienia r wynosi:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)

W związku z tym:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)

Całkowitą masę cienkiego dysku uzyskuje się przyjmując r → ∞:

\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)

Komponent 2 – Gruby dysk gwiezdny

Gruby dysk jest starszy, bardziej rozciągnięty pionowo i bardziej rozproszony niż cienki dysk. Jego gwiazdy poruszają się dalej powyżej i poniżej płaszczyzny Galaktyki.

Dla grubego dysku gwiezdnego:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)

Więc:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Masa wewnątrz promienia r wynosi:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

W związku z tym:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)

Całkowita masa grubego dysku wynosi:

\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)

Masa dysku gwiezdnego: Cienki dysk + Gruby dysk

Dodanie obu składników gwiezdnych daje:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)

lub:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Przy bardzo dużym promieniu:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)

Tak więc w tym modelu widoczny dysk gwiezdny Drogi Mlecznej zawiera ok:

45,7 miliarda mas Słońca

Składnik 3 – Atomowy wodór gazowy, HI

Dysk Drogi Mlecznej zawiera również widoczny gaz. Pierwszym głównym składnikiem gazu jest wodór atomowy, oznaczany jako HI.

W przeciwieństwie do dysku gwiezdnego, gaz nie jest dobrze opisany przez prosty dysk wykładniczy. Ma centralne zagłębienie lub „dziurę”, więc lepszą formą jest:

\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)

Dla HI:

\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)

Masa wewnątrz promienia r wynosi:

\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)

Równanie to mówi: proszę wziąć całkowitą masę HI i pomnożyć ją przez ułamek dysku HI zawartego wewnątrz promienia r.

Składnik 4 – Molekularny wodór gazowy, H₂

Drugim głównym składnikiem gazu jest wodór molekularny, oznaczany jako H₂. Gaz ten jest bliżej związany z zimnymi obłokami i formowaniem się gwiazd.

Dla H₂:

\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)

Masa wewnątrz promienia r wynosi:

\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)

Równanie masy całego widocznego dysku

Łączenie gwiazd i gazu:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

W pełni napisane:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)

gdzie:

  • r i R podano w kpc
  • M jest w M⊙

Równanie to podaje widoczną masę dysku Drogi Mlecznej w promieniu r, mierzonym od Centrum Galaktyki.

Przykład: Masa wewnątrz orbity Słońca

Słońce znajduje się na wysokości ok:

\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)

Używając tylko równania dysku gwiezdnego:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)

Liczbowo daje to w przybliżeniu:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)

Tak więc wewnątrz orbity Słońca dysk gwiezdny zawiera już większość jego całkowitej masy.

Dlaczego warto używać pierścieni?

Metoda pierścieniowa jest przydatna, ponieważ dysk galaktyki nie jest kulą.

W przypadku obiektu kulistego powłoka masy o promieniu r ma pole powierzchni:

\(4\pi r^2\)

Jednak w przypadku cienkiego dysku masa jest rozłożona na okrągłych pierścieniach:

\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)

Dlatego równania masy dysku wyglądają inaczej niż równania masy sferycznej.

W dysku:

masa pochodzi z pierścieni

W kuli:

masa pochodzi z muszli

Droga Mleczna zawiera zarówno komponenty dyskowe, jak i sferyczne, ale ta strona skupia się na dysku.

Co obejmuje to równanie

Równanie obejmuje:

KomponentZnaczenieW zestawie?
Cienki dysk gwiezdnyGwiazdy młode i w średnim wieku w pobliżu płaszczyzny GalaktykiTak
Gruby dysk gwiezdnyStarsze gwiazdy dalej od samolotuTak
Gaz HIWodór atomowyTak
Gaz H₂Wodór cząsteczkowyTak
Wybrzuszenie/barCentralna struktura gwiezdnaNie
Halo ciemnej materiiNiewidoczny składnik grawitacyjnyNie
Gwiezdna aureolaBardzo rozproszone stare gwiazdyNie

Dlatego nazywamy ją widoczną masą dysku, a nie pełną masą Drogi Mlecznej.

Jak to się ma do brakującej masy?

Gdy znana jest już masa widocznego dysku, astronomowie porównują ją z masą wymaganą przez obserwowaną rotację Galaktyki.

Masa dynamiczna wynikająca z ruchu kołowego wynosi:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)

W jednostkach praktycznych:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)

Brakująca masa wynosi wtedy:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

W przypadku tej strony wkład dysku jest następujący:

\(M_{\mathrm{visible}}(<r)\approx M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)

Pełny model Drogi Mlecznej dodałby również centralne wybrzuszenie/pasek i inne pomniejsze składniki barionowe.

Ważne ograniczenia

Ten model jest przydatny, ale nie jest doskonały.

Po pierwsze, Droga Mleczna nie jest idealnie gładkim, osiowo-symetrycznym dyskiem. Posiada ramiona spiralne, centralną poprzeczkę, regiony gwiazdotwórcze i struktury lokalne.

Po drugie, gaz jest trudny do modelowania, ponieważ obserwujemy go z wnętrza Galaktyki. Jego odległość i rotacja muszą zostać zrekonstruowane na podstawie danych dotyczących prędkości.

Po trzecie, dysk ma pionową grubość. Powyższe równania są w większości równaniami gęstości powierzchniowej, które są doskonałe dla promieniowych profili masy, ale nie opisują wszystkich szczegółów pionowych.

Po czwarte, parametry zależą od przyjętego modelu Galaktyki. Model McMillana jest silnym punktem odniesienia, ale różne badania mogą dawać nieco inne masy dysku, długości skali i profile gazu. McMillan wyraźnie podaje niepewności statystyczne dla kluczowych parametrów globalnych, takich jak R₀, v₀, masa gwiazdowa, masa wirialna i lokalna gęstość ciemnej materii.

Glosariusz

Centrum Galaktyki
Centralny region Drogi Mlecznej, wokół supermasywnej czarnej dziury Sagittarius A*.

Kiloparsek, kpc
Jednostka odległości używana w astronomii galaktycznej. Jeden kiloparsek to około 3 260 lat świetlnych.

Masa Słońca, M⊙
Masa Słońca. Jest używana jako standardowa jednostka masy w astronomii.

Gęstość powierzchniowa, Σ(r)
Masa na jednostkę powierzchni dysku galaktycznego w promieniu r.

Długość skali, Rd
Odległość, na której gęstość dysku zmniejsza się o współczynnik e.

Cienki dysk
Płaski, gęsty, tworzący gwiazdy dysk Drogi Mlecznej.

Gruby dysk
Starszy, bardziej rozciągnięty pionowo dysk gwiezdny otaczający cienki dysk.

HI
Gazowy wodór atomowy.

H₂
Cząsteczkowy wodór gazowy.

Masa dynamiczna
Masa wymagana do wyjaśnienia obserwowanej prędkości orbitalnej gwiazd i gazu.

Brakująca masa
Różnica między masą dynamiczną a masą widzialną.

Uwagi dotyczące dostępności

Sugerowany tekst alternatywny obrazu:

  • Tekst alternatywny dla diagramu 1: „Widok dysku Drogi Mlecznej podzielonego na okrągłe pierścienie wokół Centrum Galaktyki”.
  • Tekst alternatywny dla diagramu 2: „Widok z boku Drogi Mlecznej ukazujący cienki dysk gwiezdny osadzony wewnątrz grubszego, starszego dysku gwiezdnego”.
  • Tekst alternatywny dla wykresu: „Wykres pokazujący skumulowaną masę widocznego dysku rosnącą wraz z promieniem od Centrum Galaktyki”.

Proszę używać czytelnych etykiet, takich jak

  • „Promień od Centrum Galaktyki, kpc”
  • „Masa wewnątrz promienia, masy słoneczne”
  • „Cienki dysk”
  • „Gruby dysk”
  • „Dysk gazowy”
  • „Całkowity widoczny dysk”

Sugerowane linki wewnętrzne

Sugerowane odniesienia zewnętrzne

Więcej informacji:

  • McMillan, P. J. „Rozkład masy i potencjał grawitacyjny Drogi Mlecznej”. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2017.
  • McMillan, P. J. „Mass models of the Milky Way.” arXiv, 2011.
  • Cautun et al. „The Milky Way total mass profile as inferred from Gaia DR2.” W artykule przedstawiono model Drogi Mlecznej z wybrzuszeniem, cienkim dyskiem, grubym dyskiem, dyskiem HI, dyskiem gazu molekularnego, gazem okołogalaktycznym i ciemnym halo.
  • Marasco et al. „Rozkład i kinematyka gazu atomowego i molekularnego wewnątrz kręgu słonecznego”. Badanie to modeluje gaz galaktyczny za pomocą pierścieni i dopasowuje dane HI i CO.

Widoczna masa

Aby oszacować widoczną masę Drogi Mlecznej w dowolnym promieniu, proszę wybrać wartość r w kpc i wstawić ją do tabeli:

Do pierwszych obliczeń proszę użyć prostszego równania dysku gwiezdnego. Następnie proszę dodać gaz HI i H₂, aby uzyskać bardziej kompletny model widocznego dysku.