De massa van de Melkwegschijf als functie van de straal

TL;DR

De zichtbare massa van de Melkwegschijf kan worden gemodelleerd als de som van verschillende componenten: de dunne stellaire schijf, de dikke stellaire schijf, atomair waterstofgas HI, en moleculair waterstofgas H₂.

De nuttigste vergelijking is:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

waarbij r de afstand tot het galactisch centrum is in kiloparsec, of kpc.

Voor het stellaire deel van de schijf, met behulp van algemeen aangenomen Melkwegparameters uit het galactische massamodel van McMillan, is de massa binnen straal r:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

met r in kpc en massa in zonsmassa’s, M⊙.

Deze vergelijking beschrijft de zichtbare stellaire massa van de Melkwegschijf als functie van de afstand tot het galactisch centrum.

Eindvergelijking voor de zichtbare schijfmassa

De zichtbare schijf van de Melkweg kan worden geschreven als:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Het beste deel is het schoonste:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\).

Numerieke parameters gebruiken:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

waar:

r = afstand tot het galactisch centrum in kpc
Mdisk_,sterren = stellaire schijfmassa binnen straal r
M⊙ = één zonsmassa

De hier gebruikte parameters komen van McMillan’s 2017 Melkwegmassamodel, dat een Zonnestraal R₀ = 8,20 ± 0,09 kpc, cirkelsnelheid v₀ = 232,8 ± 3,0 km/s, en totale stellaire massa (54,3 ± 5,7) × 10⁹ M⊙ geeft.

De Melkwegschijf is opgebouwd uit ringen

Een eenvoudige manier om de massavergelijking te begrijpen is door je voor te stellen dat je de Galactische schijf in vele dunne cirkelvormige ringen snijdt.

Elke ring heeft:

\(\mathrm{omtrek}=2\pi r\) \(\mathrm{breedte}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)

Als de oppervlaktemassadichtheid van de schijf Σ(r) is, dan is de massa van één dunne ring:

\(dM=2\pi r,\Sigma(r)\ dr\)

De massa binnen straal r wordt verkregen door alle ringen vanaf het middelpunt tot r op te tellen:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)

Dit is het wiskundige basisidee achter de vergelijking voor schijfmassa.

De exponentiële schijfvergelijking

De stellaire schijf van de Melkweg wordt meestal benaderd door een exponentiële oppervlaktedichtheid:

\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)

waar:

Σ₀ = massadichtheid van het centrale oppervlak
_Rd = schaallengte van de schijf
r = afstand tot het galactisch centrum

De schaallengte _Rd vertelt ons hoe snel de schijf minder dicht wordt naarmate we verder naar buiten bewegen.

Invullen van deze dichtheid in de ringvergelijking geeft:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)

Het oplossen van de integraal geeft:

\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)

Dit is de hoofdvergelijking die gebruikt wordt voor de stellaire schijf.

Onderdeel 1 – De dunne sterrenschijf

De dunne schijf is het heldere, platte, stervormende deel van de Melkweg. Hij bevat jonge sterren, veel zonachtige sterren, gas, stof en de spiraalarmen.

Voor de dunne stellaire schijf:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)

Sinds:

\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)

schrijven we:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

De massa binnen straal r is:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)

Daarom:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)

De totale massa van de dunne schijf wordt verkregen door r → ∞ te nemen:

\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)

Onderdeel 2 – De dikke sterrenschijf

De dikke schijf is ouder, meer verticaal uitgestrekt en diffuser dan de dunne schijf. De sterren bewegen verder boven en onder het galactische vlak.

Voor de dikke stellaire schijf:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)

Dus:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

De massa binnen straal r is:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Daarom:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)

De totale massa van de dikke schijf is:

\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)

Stellaire Schijfmassa: Dunne Schijf + Dikke Schijf

Het optellen van beide stellaire componenten geeft:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\).

of:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Bij zeer grote straal:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)

In dit model bevat de zichtbare stellaire schijf van de Melkweg dus ongeveer:

45,7 miljard zonsmassa’s

Component 3 – Atoomwaterstofgas, HI

De Melkwegschijf bevat ook zichtbaar gas. De eerste belangrijke gascomponent is atomair waterstof, HI genaamd.

In tegenstelling tot de sterrenschijf wordt het gas niet goed beschreven door een eenvoudige exponentiële schijf. Het heeft een centrale depressie, of “gat”, dus een betere vorm is:

\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)

Voor HI:

\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)

De massa binnen straal r is:

\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)

Deze vergelijking zegt: neem de totale HI-massa en vermenigvuldig die met de fractie van de HI-schijf binnen straal r.

Bestanddeel 4 – Moleculair waterstofgas, H₂

De tweede belangrijke gascomponent is moleculaire waterstof, H₂ genaamd. Dit gas wordt meer geassocieerd met koude wolken en stervorming.

Voor H₂:

\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)

De massa binnen straal r is:

\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)

Vergelijking voor de volledige zichtbare schijfmassa

Sterren en gas combineren:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Volledig geschreven:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)

waar:

r en R zijn in kpc
M is in M⊙

Deze vergelijking geeft de zichtbare schijfmassa van de Melkweg binnen een straal r, gemeten vanaf het galactisch centrum.

Voorbeeld: Massa in de baan van de zon

De Zon staat op ongeveer:

\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)

Door alleen de stellaire schijfvergelijking te gebruiken:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)

Numeriek geeft dit ongeveer:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)

Binnen de baan van de Zon bevat de sterrenschijf dus al het grootste deel van de totale massa.

Waarom ringen gebruiken?

De ringmethode is nuttig omdat een melkwegschijf geen bol is.

Voor een bolvormig voorwerp heeft de massaschil bij straal r oppervlakte:

\(4\pi r^2\)

Maar voor een dunne schijf wordt de massa verdeeld over cirkelvormige ringen:

\(dM=2\pi r\Sigma(r)¦,dr\)

Daarom zien de massavergelijkingen voor schijven er anders uit dan die voor sferische massa.

In een schijf:

massa komt van ringen

In een bol:

massa komt van schelpen

De Melkweg bevat zowel schijfachtige als bolvormige componenten, maar deze pagina richt zich op de schijf.

Wat deze vergelijking inhoudt

De vergelijking omvat:

Component	Betekenis	Begrepen?
Dunne stellaire schijf	Jonge en halfoude sterren in de buurt van het galactische vlak	Ja
Dikke stellaire schijf	Oudere sterren verder van het vlak	Ja
HI-gas	Atoomwaterstof	Ja
H₂-gas	Moleculaire waterstof	Ja
Uitstulping/stang	Centrale stellaire structuur	Geen
Halo van donkere materie	Onzichtbare zwaartekrachtcomponent	Geen
Sterrenkrans	Zeer diffuse oude sterren	Geen

Daarom noemen we het de zichtbare schijfmassa en niet de volledige massa van de Melkweg.

Hoe dit verband houdt met de ontbrekende massa

Zodra de zichtbare schijfmassa bekend is, vergelijken astronomen deze met de massa die nodig is voor de waargenomen rotatie van het Melkwegstelsel.

De dynamische massa afgeleid uit cirkelbeweging is:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)

In praktische eenheden:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)

De ontbrekende massa is dan:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}}(<r)\).

Voor deze pagina is de schijfbijdrage:

\(M_{\mathrm{visible}}(<r)\approx M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)

Een volledig Melkwegmodel zou ook de centrale uitstulping/bar en andere kleinere baryonische componenten toevoegen.

Belangrijke beperkingen

Dit model is nuttig, maar niet perfect.

Ten eerste is de Melkweg geen perfect gladde asymmetrische schijf. Hij heeft spiraalarmen, een centrale balk, stervormingsgebieden en lokale structuren.

Ten tweede is gas moeilijk te modelleren omdat we het in het Melkwegstelsel waarnemen. De afstand en rotatie moeten worden gereconstrueerd uit snelheidsgegevens.

Ten derde heeft de schijf verticale dikte. De vergelijkingen hierboven zijn meestal oppervlakte-dichtheidsvergelijkingen, die uitstekend zijn voor radiale massaprofielen, maar niet elk verticaal detail beschrijven.

Ten vierde hangen de parameters af van het gebruikte galactische model. Het model van McMillan is een sterk referentiepunt, maar verschillende studies kunnen iets andere schijfmassa’s, schaallengtes en gasprofielen geven. McMillan rapporteert expliciet statistische onzekerheden voor belangrijke globale parameters zoals R₀, v₀, stellaire massa, viriale massa en lokale donkere-materiedichtheid.

Woordenlijst

Galactisch centrum
Het centrale gebied van de Melkweg, rond het superzware zwarte gat Sagittarius A*.

Kiloparsec, kpc
Een afstandseenheid die gebruikt wordt in de galactische astronomie. Eén kiloparsec is ongeveer 3.260 lichtjaar.

Zonnemassa, M⊙
De massa van de Zon. Het wordt gebruikt als de standaardmassa-eenheid in de astronomie.

Oppervlaktedichtheid, Σ(r)
Massa per oppervlakte-eenheid van de Galactische schijf bij straal r.

Schaallengte, _Rd
De afstand waarover de schijfdichtheid met een factor e afneemt.

Dunne schijf
De platte, dichte, stervormende schijf van de Melkweg.

Dikke schijf
Een oudere, meer verticaal uitgestrekte stellaire schijf die de dunne schijf omgeeft.

HI
Atoomwaterstofgas.

H₂
Moleculair waterstofgas.

Dynamische massa
De massa die nodig is om de waargenomen baansnelheid van sterren en gas te verklaren.

Ontbrekende massa
Het verschil tussen de dynamische massa en de zichtbare massa.

Toegankelijkheid

Voorgestelde alt-tekst voor afbeeldingen:

Alt-tekst voor diagram 1: “Gezicht op de Melkwegschijf verdeeld in cirkelvormige ringen rond het Galactisch Centrum.”
Alt-tekst voor diagram 2: “Zijaanzicht van de Melkweg met een dunne stellaire schijf ingebed in een dikkere, oudere stellaire schijf.”
Alt-tekst voor grafiek: “Grafiek die de cumulatieve zichtbare schijfmassa toont die toeneemt met de straal vanaf het galactisch centrum.”

Gebruik leesbare etiketten zoals:

“Straal vanaf galactisch centrum, kpc”.
“Massa binnen straal, zonnemassa’s”
“Dunne schijf”.
“Dikke schijf”
“Gasschijf”
“Totaal zichtbare schijf”.

Aanbevolen interne koppelingen

Rotatiecurve van de Melkweg
Donkere materie en ontbrekende massa
Wat is een kiloparsec?
Het Galactisch Centrum uitgelegd
Dunne schijf vs dikke schijf

Aanbevolen externe referenties

Verder lezen:

McMillan, P. J. “De massadistributie en zwaartekrachtpotentiaal van de Melkweg.” Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2017.
McMillan, P. J. “Massamodellen van de Melkweg.” arXiv, 2011.
Cautun et al. “Het totale massaprofiel van de Melkweg zoals afgeleid uit Gaia DR2.” Het artikel modelleert de Melkweg met een uitstulping, dunne schijf, dikke schijf, HI-schijf, moleculaire gasschijf, circumgalactisch gas en donkere halo.
Marasco et al. “Distributie en kinematica van atomair en moleculair gas binnen de zonnecirkel.” Deze studie modelleert Galactisch gas met behulp van ringen en past op HI- en CO-gegevens.

Zichtbare massa

Om de zichtbare massa van de Melkweg bij een willekeurige straal te schatten, kiest u een waarde van r in kpc en voert u deze in:

Gebruik voor een eerste berekening de eenvoudigere stellaire-schijfvergelijking. Voeg vervolgens HI- en H₂-gas toe voor een vollediger zichtbaar schijfmodel.