BeeTheory · Foundations · Technische notitie I
Een geregulariseerde golf functie voor BeeTheory
Een minimale verfijning met één parameter van de BeeTheory-golf functie die de singulariteit bij de oorsprong verwijdert, terwijl elke voorspelling van de theorie op grotere schalen behouden blijft. Deze notitie legt de wiskundige basis vast die nodig is om BeeTheory rigoureus uit te breiden van elementaire deeltjes tot sterrenstelsels.
De BeeTheory-golf functie
$$\psi(r) = \frac{1}{N}\,\exp\!\left(-\frac{\sqrt{r^2 + a^2}}{a}\right)$$
waarbij $a$ de natuurlijke lengteschaal van het deeltje is
(voor waterstof: $a = a_0 = 5.29 \times 10^{-11}$ m, de Bohr-straal)
Deze formule heeft drie eigenschappen die BeeTheory tot een volledige en goed gedefinieerde theorie op elke schaal maken, van het subatomaire tot het galactische:
| Eigenschap | Waarde bij $r = 0$ | Gedrag voor $r \gg a$ |
|---|---|---|
| Golf functie $\psi(r)$ | $e^{-1} \approx 0.368$ (eindig) | $\to e^{-r/a}$ (komt overeen met het oorspronkelijke BeeTheory-postulaat) |
| Laplaciaan $\nabla^2\psi$ | $-3\,e^{-1}/a^2$ (eindig) | $\to e^{-r/a}/a^2$ (asymptotisch identiek) |
| Vrije parameters | Eén ($a$ alleen) | Geen extra lengteschaal |
1. Waarom regulariseren?
BeeTheory stelt in zijn oorspronkelijke formulering (Dutertre 2023) dat elk elementair deeltje wordt beschreven door een radiale exponentiële golf functie:
Oorspronkelijk BeeTheory-postulaat
$$\psi_0(r) = N_0 \cdot e^{-r/a}$$
Deze vorm is elegant en wiskundig transparant, en ze legt het gedrag op lange afstand van het golf veld correct vast. Wanneer ze echter in sferische coördinaten wordt uitgedrukt en wordt toegepast met de Laplace-operator die voorkomt in de Schrödinger-vergelijking, verschijnt er een artefact bij de oorsprong:
Laplaciaan van de oorspronkelijke vorm
$$\nabla^2 \psi_0(r) = \psi_0(r) \cdot \left(\frac{1}{a^2} – \frac{2}{r\,a}\right)$$
De term $-2/(r\,a)$ groeit zonder grens wanneer $r \to 0$. Dit is een bekend kenmerk van puntachtige idealisaties in de fysica — hetzelfde soort singulariteit dat voorkomt in de Coulomb-potentiaal, en dat routinematig wordt behandeld in de kern- en atomaire fysica via regularisatietechnieken. De hieronder beschreven geregulariseerde BeeTheory-golf functie past precies dit soort gevestigde techniek toe.
2. Het regularisatieprincipe
Het principe is elegant eenvoudig: vervang $r$ door $\sqrt{r^2 + a^2}$ binnen de exponentiële functie. Deze substitutie is een klassieke regularisatietechniek die in de theoretische fysica overal wordt gebruikt — met name voor verzachte Yukawa-potentiëlen in de deeltjesfysica en pseudopotentialen in de quantumchemie. Ze introduceert geen nieuwe fysieke schaal: de regularisatielengte is de eigen karakteristieke lengte $a$ van het deeltje.
De substitutie
$$r \longrightarrow \sqrt{r^2 + a^2}$$
De fysieke interpretatie is natuurlijk en consistent met BeeTheory’s fundamentele visie op deeltjes als uitgebreide golf structuren: een deeltje waarvan de karakteristieke grootte $a$ is, kan geen eigenschap hebben die kleiner is dan $a$ zelf. Het golf veld in de kern van het deeltje is glad op de schaal van zijn eigen coherentielengte. Dit is een versterking van het oorspronkelijke postulaat, geen afwijking ervan.
Gedrag aan beide limieten
Dicht bij de oorsprong ($r \ll a$): met $\sqrt{r^2 + a^2} \approx a + r^2/(2a)$ verkrijgen we
$$\psi(r) \approx e^{-1} \cdot e^{-r^2/(2a^2)}$$
De golf functie gaat vloeiend over in een Gaussvorm nabij het centrum, met een eindige waarde $e^{-1}$ bij $r = 0$. De waarschijnlijkheidsdichtheid is overal binnenin het deeltje goed gedefinieerd.
Ver van de oorsprong ($r \gg a$): met $\sqrt{r^2 + a^2} = r\sqrt{1 + (a/r)^2} \approx r + a^2/(2r)$ verkrijgen we
$$\psi(r) \approx e^{-r/a} \cdot e^{-a/(2r)} \;\longrightarrow\; e^{-r/a}$$
We verkrijgen exact de exponentiële afname van het oorspronkelijke BeeTheory-postulaat. Elke voorspelling van BeeTheory op afstanden groter dan de eigen schaal van het deeltje — en dat omvat elke atomaire, planetaire en astrofysische toepassing van de theorie — blijft zonder wijziging behouden.
3. Numerieke verificatie
De onderstaande tabel vergelijkt de oorspronkelijke golf functie $\psi_0$ en de geregulariseerde $\psi$, samen met hun Laplaciaan, op verschillende afstanden uitgedrukt in eenheden van $r/a$:
| $r/a$ | $\psi_0$ (oorspronkelijk) | $\nabla^2\psi_0$ | $\psi$ (geregulariseerd) | $\nabla^2\psi$ |
|---|---|---|---|---|
| 0.001 | 0.999 | −1997 | 0.368 | −1.104 |
| 0.01 | 0.990 | −197.0 | 0.368 | −1.103 |
| 0.1 | 0.905 | −17.19 | 0.366 | −1.085 |
| 0.5 | 0.607 | −1.820 | 0.327 | −0.753 |
| 1.0 | 0.368 | −0.368 | 0.243 | −0.308 |
| 2.0 | 0.135 | 0.000 | 0.107 | −0.020 |
| 5.0 | 0.0067 | 0.004 | 0.0061 | 0.003 |
| 10.0 | 4.5×10⁻⁵ | ≈ 0 | 4.3×10⁻⁵ | ≈ 0 |
De geregulariseerde Laplaciaan blijft overal eindig, met een orde van grootte van $1/a^2$ nabij de oorsprong, en nadert de oorspronkelijke vorm voorbij $r \approx 5a$. De verfijning is strikt lokaal: beperkt tot een buurt van het deeltje met grootte $\sim a$, en volledig onzichtbaar op elke grotere schaal.
4. De analytische Laplaciaan
De afleiding is direct. Door $s(r) = \sqrt{r^2 + a^2}$ en $\psi(r) = N^{-1}\,e^{-s/a}$ te nemen, zijn de radiale afgeleiden:
Afgeleiden van s(r)
$$s'(r) = \frac{r}{s}, \qquad s”(r) = \frac{a^2}{s^3}$$
Door de kettingregel en de Laplace-operator in sferische coördinaten $\nabla^2 = \partial_r^2 + (2/r)\partial_r$ toe te passen voor een radiaal symmetrische functie, verkrijgen we de compacte gesloten vorm:
Laplaciaan van de BeeTheory-golf functie
$$\boxed{\;\nabla^2 \psi(r) = \psi(r) \cdot \left[\frac{r^2}{a^2 s^2} – \frac{3}{a\,s} + \frac{r^2}{a\,s^3}\right]\;}$$
Deze uitdrukking is overal eindig, ook bij $r = 0$. Evaluatie bij de twee natuurlijke limieten:
| Limiet | $s(r)$ | $\nabla^2 \psi(r)$ |
|---|---|---|
| $r \to 0$ | $s \to a$ | $\psi(0) \cdot (-3/a^2) = -3\,e^{-1}/a^2$ |
| $r \to \infty$ | $s \to r$ | $\psi(r) \cdot (1/a^2 – 3/(r\,a))\% |
Op grote afstand herwint de Laplaciaan de vorm van de oorspronkelijke BeeTheory-uitdrukking $\psi \cdot (1/a^2 – 2/(r\,a))$ tot op een $1/r$-correctie die snel verdwijnt. Het verschil is verwaarloosbaar voorbij $r$ groter dan $5a$ — ruim binnen elk fysisch regime dat relevant is voor zwaartekrachts- of astrofysische toepassingen.
5. Wat dit ontgrendelt voor BeeTheory
Een theorie nu goed gedefinieerd op elke schaal
BeeTheory’s Schrödinger-vergelijking, toegepast op de geregulariseerde $\psi$, heeft op elk punt in de ruimte een eindige kinetische energie $-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi$. Het golf gebaseerde mechanisme van zwaartekracht is nu wiskundig rigoureus, van het binnenste van één enkel deeltje tot de grootste galactische schalen. Dit is de technische basis die het atomische en het kosmische in één consistent kader verbindt.
Alle voorspellingen op lange afstand behouden
Het asymptotische gedrag van $\psi$ is identiek aan de oorspronkelijke BeeTheory-golf functie. Elke voorspelling op lengteschalen groter dan de atomaire straal blijft zonder wijziging behouden — inclusief de omgekeerde-kwadraat zwaartekrachtswet afgeleid uit de sferische Laplace-operator, de schilstelling die maakt dat macroscopische lichamen als puntdeeltjes kunnen worden behandeld, en de uitbreiding naar uitgebreide materieverdelingen op galactische schalen. De verfijning versterkt de basis zonder de daarop gebouwde structuur te verstoren.
Wat hierna komt
Nu de golf functie overal rigoureus gedefinieerd is, kan de centrale afleiding van BeeTheory — de toepassing van de Schrödinger-vergelijking op een paar interagerende golven die het zwaartekracht $1/R$-potentiaal opleveren — volledig wiskundig rigoureus worden geherformuleerd, met elke stap expliciet en elke coëfficiënt afgeleid uit eerste principes. Dit is het onderwerp van de volgende technische notitie in deze reeks.
6. Samenvatting in drie regels
1. De BeeTheory-golf functie is $\psi(r) = N^{-1}\,\exp\!\left(-\sqrt{r^2+a^2}/a\right)$.
2. Haar Laplaciaan is overal eindig en neemt bij de oorsprong de waarde $-3\,e^{-1}/a^2$ aan.
3. Voorbij $r \approx 5a$ is ze numeriek niet te onderscheiden van het oorspronkelijke $e^{-r/a}$.
Referenties. Dutertre, X. — Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023). Oorspronkelijk postulaat. · Schwabl, F. — Quantum Mechanics, 4th ed., Springer (2007). Regularisatie van singuliere potentialen. · Hellmann, H. — A New Approximation Method in the Problem of Many Electrons, J. Chem. Phys. 3, 61 (1935). Historische oorsprong van geregulariseerde pseudopotentialen in de quantummechanica.
BeeTheory.com — Op golf gebaseerde quantumzwaartekracht · Technische fundamenten · © Technoplane S.A.S. 2026