天の川の質量と中心からの距離の関数
可視円盤の質量 – 消えた質量 – リングベースの方程式 – 銀河半径
天の川銀河円盤の可視質量は、円盤の主な構成要素である薄い恒星円盤、厚い恒星円盤、原子状水素ガスHI、分子状水素ガスH₂の質量を加えることでモデル化できます。
可視円盤の質量は
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)最もシンプルで有用なのは、恒星円盤の質量です：
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)- rは銀河中心からの距離（キロパーセク、kpc）。
- Mは太陽質量で、M⊙。
この式は、半径rの内側にある天の川円盤の可視恒星質量を与えます。
そして、目に見える質量と力学的質量を比較することで、失われた質量を求めます：
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)実用的な天文単位で：
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5\,v_c^2(r)\,r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)vc(r)はkm/s、rはkpc、質量はM⊙。
最終的な可視円盤の質量方程式
目に見える天の川の円盤は、星とガスでできています。と書きます：
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)薄い恒星円盤と厚い恒星円盤です。
原子状水素（HI）と分子状水素（H₂）。
最もクリーンな方程式は恒星円盤方程式です：
\(M_{mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{mathrm{thin}}(<r)+M_{mathrm{thick}}(<r)\)。完全に書かれています：
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)これは、天の川の可視恒星円盤の質量を表す主要な方程式です。
天の川円盤がリングでモデル化される理由
天の川の円盤は固い球体ではありません。大きな扁平な円盤に近いのです。
その質量を計算するために、薄い円形のリングをいくつかに分割します。
半径rのリングには円周があります：
\(2pi r\)リングの幅drが小さい場合、その面積は
\(dA=2pi r表面の質量密度をΣ(r)とすると、リングの質量は
[latex]dM=Sigma(r) \,2pi r\ r,dr\)これが重要な考え方です。
半径r内の全質量は、銀河中心から半径rまでのすべてのリングを足すことで求められます：
[Latex]M(<r)=2pi\int_0^r Sigma(R) \,R, dR[/latex].つまり、円盤の質量は球殻からできているのではありません。円環からできているのです。
エクスポネンシャル・ディスク
銀河円盤内の星の表面密度は、しばしば指数関数としてモデル化されます：
\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)- Σ0は中心表面の質量密度。
- Rdはディスクのスケール長。
- rは銀河中心からの距離。
これは、円盤が中心付近で最も密度が高く、rが大きくなるにつれて密度が低くなることを意味します。
指数関数的な表面密度をリング方程式に代入すると、次のようになります：
\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)積分を解くと
\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)これが基本的な円盤質量の公式です。
コンポーネント1 – 薄い恒星円盤
薄い円盤は、天の川の明るく平らな星形成領域です。若い星、多くの太陽のような星、渦巻き腕、ガス、塵、そして活発な星形成領域を含んでいます。
シンディスクには
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)それ以来です：
\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)私たちは変換します：
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)半径rの内側にある薄い円盤の質量は
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)ですから
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)非常に大きな半径で：
\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)コンポーネント2 – 厚い恒星円盤
厚い円盤はより古く、より垂直に伸びています。この円盤には古い星が含まれており、銀河面の上方や下方に移動しています。
厚いディスクの場合は
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)表面密度の換算：
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)半径rの内側にある厚い円盤の質量は
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)ですから
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)非常に大きな半径で：
\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)恒星円盤の質量
薄い円盤と厚い円盤の追加：
\(M_{mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{mathrm{thin}}(<r)+M_{mathrm{thick}}(<r)\)。だから
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)恒星円盤の総質量は
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)つまり、目に見える天の川の恒星円盤には、約457億太陽質量が含まれているのです。
ガスディスクの追加
天の川銀河の円盤にも可視ガスがあります。主なガスは、原子状水素（HI）と分子状水素（H₂）です。
ガスは中心部に窪みがあるため、単純な指数関数的円盤としてはモデル化できません。便利な形は
\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)- Rmは中心孔のスケール。
- Rdは半径方向のスケール長。
半径r内の質量は
\(M_{\mathrm{gas}}(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{R}-\frac{R}{R_d}\right)R\,dR\)原子状水素ガス：HI
原子状水素の場合：
\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)正規化された方程式とは
\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}M_\odot\)これは、HIガスの全質量が半径rの中に含まれる割合を示しています。
分子状水素ガス：H
水素分子の場合：
\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)正規化された質量方程式は
\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}M_\odot\)完全な可視円盤方程式
完全な可視円盤方程式は
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)完全に書かれました：
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}+1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\)- rとRの単位はkpc。
- MはM⊙にあります。
この式は、半径r内にある天の川の可視円盤の質量を与えます。
回転による力学的質量
観測された天の川の自転速度は、重力的にどれだけの質量が必要かを教えてくれます。
円運動用：
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)- vc(r)は半径rでの円速。
- Gは重力定数。
実践的な単位で：
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)回転速度がほぼフラットな場合：
\(v_c(r) \approx233,￢mathrm{km/s}\).では
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq2.325\times10^5(233)^2r\,M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq1.26\times10^{10}r\,M_\odot\)で、r は kpc。
つまり、回転曲線がほぼ平坦なままであれば、力学的質量は半径に対してほぼ直線的に増加します。
消えた質量方程式
ミッシング・マスとは、力学的質量と可視質量の差のことです：
\(M_{mathrm{missing}}(<r)=M_{mathrm{dyn}}(<r)-M_{mathrm{visible}}(<r)\)。回転方程式を使って
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)実践的な単位で：
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)- vc(r)の単位はkm/s。
- rの単位はkpc。
- MはM⊙にあります。
目に見える円盤だけに注目すれば
\(M_{mathrm{missing}}(<r)↪Simeq2.325times10^5v_c^2(r)r-M_{mathrm{disk,visible}}(<r)\).これは、観測された天の川の自転と、その円盤の目に見える質量を結びつける中心方程式です。
消えた質量の波動による拡張
円盤モデルは、目に見える質量を説明します。この目に見える質量と力学的質量を比較した後に残るのが、欠けている質量です。
波動ベースのモデルは、欠けた質量を可視円盤によって生成された有効密度として記述することができます。
指針となる考え方は、可視質量の各要素は、距離とともに減少する有効磁場を生成するというものです。
音源点r′と観測点rの距離を
\(D=|r-r’|\)。そうすると、初歩的な貢献は次のように書くことができます：
\(drho_{mathrm{wave}}(r)=rho_{mathrm{visible}}(r’) \lambda e^{-D/ell},dV\).- λは無次元結合係数。
- ℓはコヒーレンス長。
- Dはソースと観測点間の距離。
この形式は、有効寄与率が距離とともに指数関数的に減少することを意味します：
\(e^{-D/\ell}\)パラメータℓは、効果がどこまで及ぶかをコントロールします。
ディスク全体からの実効密度
円盤の場合、ある点(R,z)における全有効密度は、可視円盤と指数カーネルの畳み込みとして書くことができます。
ソースディスクは表面密度を持っています：
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)半径R′、角度φに位置する円盤音源の点。
その音源点から観測点(R,z)までの距離は
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)実効密度は
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)と：
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)この式は、目に見える質量のリングはすべて、(R,z)での有効密度に寄与し、その強さはe-D/ℓとして減衰するというものです。
リングごとの解釈
円盤はまた、リングを通して理解することができます。
半径R′の目に見えるリングには質量があります：
\(dM_{mathrm{可視}}=2pi R’￢Sigma(R’)￢,dR’\).波動ベースの拡張では、リングはその周りの実効密度に寄与します。
この寄与はリングの近くで最も大きく、距離が離れるにつれて小さくなります：
\(e^{-D/\ell}\)ですから、有効密度は球形のハローとして手で挿入されるのではありません。円盤の形状そのものから生成されます。
近距離では、円盤の形状に従います。大きな距離では、多くのリングを積分した後、有効分布はより滑らかになり、より広がります。
波動ベースの実効密度のコンパクトな式
指数ディスクを使って
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)有効密度を模式的に書くと次のようになります：
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda\Sigma_0}{\ell}\int_0^\infty R’e^{-R’/R_d}\left[\int_0^{2\pi}e^{-\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}/\ell}\,d\phi\right]dR’\)これが最もきれいな一般的な形です。実際のディスクのジオメトリを保ちます：
- R′はソースリング半径。
- Rは銀河面内の観測半径。
- zは銀河面からの高さ。
- φはソースリングの周りの角度。
有効密度から有効質量へ
有効密度がわかれば、半径r内の有効質量は次のように書けます：
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_{V(r)}\rho_{\mathrm{wave}}(\mathbf{x})\,d^3x\)球座標で：
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_0^r\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\rho_{\mathrm{wave}}(s,\theta,\phi)s^2\sin\theta\,d\phi\,d\theta\,ds\)この有効質量を、観測された欠損質量と比較します：
\(M_{mathrm{wave}}(<r)㎤ M_{mathrm{missing}}(<r)\)。これはテスト可能な条件です。
重要な物理的制約
平らな銀河の自転曲線には、およそ以下のものが必要です：
\(v_c(r) \approxmathrm{定数}\).vc(r)がほぼ一定なら
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2}{G}\)だから
[ラテックス]M_{mathrm{dyn}}(<r) \propto r[/latex].これが、ミッシング・マスが現れる本質的な理由です。
目に見える円盤の質量は、永遠に直線的に増加するわけではありません。有限の総質量に近づきます：
\(M_{mathrm{disk,visible}}(<r) \rightarrow M_{mathrm{disk,visible}}(\infty)\)。しかし、平坦な自転曲線から推測される力学的質量は増え続けています：
[ラテックス]M_{mathrm{dyn}}(<r) \propto r[/latex].ですから
\(M_{mathrm{missing}}(<r)=M_{mathrm{dyn}}(<r)-M_{mathrm{visible}}(<r)\)。も半径とともに大きくなります。
太陽半径での簡単な数値例
太陽の位置は
\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)恒星円盤の方程式を使って
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)これでおよそ
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\approx3.7\times10^{10}M_\odot\)円周速度が
\(v_c\simeq233\,\mathrm{km/s}\)とすると、8.2kpc内の力学的質量は
\(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)=2.325\times10^5(233)^2(8.2)M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)\approx1.03\times10^{11}M_\odot\)この違いは、目に見える質量だけでは、観測された自転を説明できない理由を示しています。
このモデルに含まれるもの、含まれないもの
| コンポーネント | ディスク方程式に含まれる？ |
|---|---|
| 薄い恒星円盤 | はい |
| 厚い恒星円盤 | はい |
| 原子状水素ガス、HI | はい |
| 水素分子ガス H₂ | はい |
| 中央の膨らみ/バー | いいえ |
| 恒星ハロー | いいえ |
| ダークマター・ハロー | いいえ |
| 波動ベースの有効質量 | オプション |
上記の方程式は円盤に焦点を当てています。
完全な天の川の質量モデルには、以下のものも含まれます：
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{disk}}+M_{\mathrm{bulge}}+M_{\mathrm{stellar\,halo}}+M_{\mathrm{missing}}\)または、波動ベースの定式化：
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{visible}}+M_{\mathrm{wave}}\)主な方程式の最終まとめ
可視恒星円盤
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)フル可視ディスク
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}+M_{\mathrm{thick}}+M_{\mathrm{HI}}+M_{\mathrm{H_2}}\)力学的質量
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)ミッシング・マス
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)リング質量
\(dM=2pi r Σ(r)⊖ dr[/latex］エクスポネンシャルディスク
[latex]\Sigma(r)=\Sigma_0e^{-r/R_d}\)波動ベースの有効密度
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)と：
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)用語集
銀河中心部
天の川の中心領域。
半径 r
銀河系中心からの距離。通常キロパーセク単位。
キロパーセク、kpc
銀河系の距離単位。1kpcは約3,260光年。
太陽質量、M⊙。
太陽の質量。
表面密度, Σ(r)
銀河円盤の単位面積あたりの質量。
薄い円盤
天の川の平らで明るい星形成部分。
厚い円盤
より古く、より垂直に伸びた恒星成分。
HI
原子状水素ガス。
H₂
水素分子ガス。
力学的質量
観測された自転速度を説明するのに必要な質量。
消えた質量
力学的質量と可視質量の違い。
コヒーレンス長 ℓ
波動ベースの拡張では、有効寄与が減少する距離スケール。
結合係数 λ
有効波の寄与の強さを制御する無次元パラメータ。
よくある質問
最も重要な方程式は何ですか？
最も重要な可視円盤方程式はMdisk,visible(<r)=Mthin+Mthick+MHI+MH₂です。最も重要な質量欠損方程式は、Mmissing(<r)=rvc²(r)/G-Mvisible(<r)。
なぜリングを使うのですか？
天の川の円盤は平らだからです。円盤は当然円形のリングからできているので、リングの質量はdM=2πrΣ(r)drとなります。
なぜ目に見える質量はすぐに成長しなくなるのですか？
円盤の密度が指数関数的に減少するからです。半径が大きくなると、目に見える物質はどんどん減っていきます。
消えた質量が現れるのはなぜ？
観測された自転曲線は、半径が大きくなってもほぼ平坦だからです。回転曲線が平坦であるということは、力学的質量は半径に対してほぼ直線的に成長することを意味しますが、目に見える質量はそうではありません。
このページは特定の暗黒物質モデルを証明するものですか？
いいえ。円盤方程式は可視物質を記述しています。ミッシング・マス方程式は、目に見える質量と力学的質量の間のギャップを示しています。波動ベースの部分は、観測された回転曲線と照らし合わせることができる追加モデルです。
アクセシビリティ
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- 画像1：”天の川円盤を銀河中心を中心に円環状に分割したトップダウン図”。
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