テクニカルノートXXXVIII

半径加速度関係に対するBee理論の最初のテスト

BeeTheory.com – グザヴィエ・デュテール – テクノプレーンS.A.S. – 2026年5月20日

結果BeeTheoryの3パラメータモデル( \(lambda = 12.696), \(c = 0.163), ˶= 3.00) kpc)とMcGaugh, Lelli & Schombert (2016)のRAR(Radial Acceleration Relation)を比較しました。101個のSPARCバルジレス銀河からサンプリングした909点の予測値(g_{rm obs}(g_{rm bar})㌻)を評価すると、BeeTheoryの雲は全体的に正しい形をしています。その偏りは一様ではなく、低加速度(◆(g_{rm bar} < 10^{-12}) m/s²)ではBeeTheoryはRARと一致し、高加速度(◆(g_dagger海峡)付近とそれ以上)では0.4から0.5dex過大予測します。このモデルは漸近的なMONDのような振る舞いを捉えますが、小さな半径ではニュートン極限を回復できません。これは部分的な成功であり、次の改良への明確な指針です。

1.テスト

半径加速度関係は、自転曲線で測定される2つの量の間に、経験的に驚くほど緊密な相関関係があることを表しています：\すなわち、目に見える物質だけで生じるニュートン加速度であるg_{rm bar}(R)㎤と、自転速度から推測される全遠心加速度であるg_{rm obs}(R)㎤です。McGaugh, Lelli & Schombert (2016)は、～150個のSPARC銀河が、この曲線によく当てはまることを示しました：

\Γ[ g_{rm obs}(g_{rm bar}) Γ;=; Γfrac{g_{rm bar}}{1 – Γexp!

この曲線のばらつきはわずか0.13dexで、観測の不確かさよりもかろうじて大きい程度です。暗黒物質に取って代わると主張する修正重力理論は、この関係を一点一点再現しなければなりません。RARは市場で最も厳密な経験的フィルターです。

BeeTheoryの予測は簡単です。銀河系内の半径(R)ごとに、目に見える物質が波動場を生成し、その波動場の内包質量がバリオン内包質量に結合(≖lambda≖)で加わります：

\g_{rm obs}^{rm BT}(R) &= g_{rm bar}(R) + G,M_{rm wave}(<！R） &= M,゙bigl[゙1 - (1 + x + x^2/2)゙ e^{-x}bigr],゙quad x = R/ell_{rm wave}.\\ Ȃ Ȃ Ȃ Ȃ Ȃ Ȃ Ȃ Ȃ\end{aligned}\]

較正と同じバリオン分解を使用：\M_{rm disk} = \Upsilon3つのユニバーサルパラメータは全て安定値に保持。雲は、各銀河を半径0.5から10までの9つの半径でサンプリングしたもので、101個の円盤で909点。

2.ダイアグラム

g_bar-g_obs平面におけるBeeTheoryの雲とMcGaughの経験的RAR曲線 — *図1 – BeeTheoryモデル雲（緑の点）とMcGaugh経験的RAR（赤い曲線）。較正(金丸、20銀河)とブラインド(青三角、81銀河)。*

際立っているのは3つの特徴。

(a)観測された点はMcGaughの曲線の近くにあります。SPARC ︲の値の経験的 RAR 周りの分散は 0.17 dex で、+0.10 dex の小さなバイアスがあり、McGaugh+2016 が報告した 0.13 dex に匹敵します。これはMcGaugh+2016が報告した0.13 dexに匹敵します。これは保証されたものではありません。SPARCから導出されたΓ((g_{rm bar}, g_{rm obs})Γ)ペアが、同じ経験的関係をたどっていることが確認されたのです。

(b)BeeTheoryの雲は全体的にMcGaugh曲線を追跡。それは平坦ではなく（Newtonの上に崩れない）、低い(g_{rm bar})時に正しい方向に曲がります。関数形は定性的には正しい。

(c)雲は系統的に曲線の上にあり、中央値のオフセットは+0.25dex、全分散は0.39dex-経験的散らばりの3倍。BeeTheory in this form overpredicts \(g_{rm obs}\).

3.BeeTheoryがRARと異なる点

BeeTheoryの残差とg_barの比較。高g_barでの系統的な上昇。 — 図2 – 残差 ⊖(⊖log_{10}(g_{rm obs}^{rm BT} / g_{rm obs}^{rm McGaugh})⊖ as function of ⊖(g_{rm bar})。マクゴー分散帯(dex)を赤で網掛け。青い点：BeeTheory残差の中央値、青い帯：25-75パーセンタイル。

構造はランダムではありません。BeeTheory の残差は、最も低い領域(3times 10^{-13}) m/s²付近、つまりLSB円盤の最外周領域)では、BeeTheoryの残差はゼロから0(0.15dex)以内に集まっています。この領域は較正が行われた領域なので（較正が行われた領域は、Γ(g_{rm棒Γ)が低いΓ(RΓ)でΓ(V_fΓ)に達する）、ここでの一致が期待されます。

その後、トレンドば(g_{rm bar}゙)で着実に上昇します。経験的RARの遷移加速度）m/s²付近では、ビンの中央値は+0.45～+0.50dex。線形の単位で表すと、゙(g_{rm obs}^{rm BT}}) は対応する゙(g_{rm bar}}) でのMcGaugh値の約3倍です。この領域は銀河の内側で、RはR_dに比べ小さい。

なぜ内側で失敗するのか経験的なRARでは、円盤の奥にある高い(g_{rm bar})ところでは、 Γ(g_{rm obs} Γ to g_{rm bar}) – 可視物質が支配的で、波動場の寄与が小さくなる必要があります。現在のBeeTheoryのパラメタリゼーションでは、(c = 0.16と小さいので)ほぼ全ての銀河で3kpc程度です。(R)では、(x = R/ell_{rm wave})は小さく、(M_{rm wave}(

4.統合と次のステップ

メートル法	BeeTheoryクラウド	観測点	マクゴー+2016
オフセットの中央値（dex）	+0.25	+0.10	0.00 (定義)
分散度 Ⓐ（dex	0.39	0.17	~0.13
ポイント数	909（101ガロン）	101	~2700（～150ガロン）
形状は定性的に正しいですか？	はい	はい	–
高（g_{rmバール}）でのニュートン限界？	いいえ（+0.5dex）	–	あり（内蔵）

読書。BeeTheoryは低加速度領域で漸近的にRARをパスします。RARはニュートンに収束しますが、BeeTheoryは収束しません。これはクリーンで局所的な欠陥であり、全体的な非互換性ではありません。3-parameter form was never required to reproduce the inner-disk behaviour because \(V_f) is set at \(R ￢Sm_FFE2↩,R_d).RARに遭遇すると、モデルは半径ごとに正しくなければなりません。

探検する道

(i)小さなฅ(R)でฅ(R)を飽和させること。自然な改良は、有効な波動場の広がりを局所的な条件の関数にすることで、例えば、 \(c,R_d + \ell_{rm floor} ㊤)で固定するのではなく、(R)と共に成長するようにすることです。このようにすると、小さな(R)では波動結合が抑制され、(g_{rm bar})が大きいところではニュートンが支配的になります。

(ii) ㊟依存的結合。If \(\lambda\) itself depends on \(g_{\rm bar}\) — for instance, \(\lambda \to \lambda \cdot f(g_{\rm bar}/g_\dagger)\) with \(f \to 0\) at high \(g_{\rm bar}\) and \(f \to 1\) at low — the model could reproduce the McGaugh curve exactly.課題はこのような依存性を現象論的に押し付けるのではなく、波動関数の微視的物理学から動機づけることです。

(iii)大質量銀河の閾値。較正時のNGC3198の+43%の過大予測や、いくつかのSc/Sbcブラインド銀河の+25-45%の過大予測は、ここで高い(g_{rm棒}**)バイアスを生み出している同じ欠陥が関係している可能性があります。を飽和させれば（あるいはM_{rm visible}に依存するものであれば）、両者を同時に修正することができます。

方法論に関する注記。全て計算：101 SPARC bulgeless galaxies (≖T ≖geq 4), 909 ≖(R, g_{rm bar}, g_{rm obs})≖triplets at ≖(R/R_d ≖0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 7.0, 10.0} ≖)。Stable parameters ︓(︓lambda, c, ︓ell_{rm floor}) = (12.696,︓, 0.163,︓, 3.00 ︓rm kpc})︓。McGaugh empirical RAR with \(g_dagger = 1.20times 10^{-10}) m/s²。公開されているMcGaugh+2016の個々のSPARC測定値（元の回転曲線のサンプルからはここでは再現されていません）との比較は、自然な次のステップです。