BeeTheory – 基礎 – テクニカルノートX
残差の解剖：
ディスクサイズによる線形傾向
注IXの94銀河のブラインドテストでは、円盤の大きさによる系統的な残差傾向が示されました。このノートでは、この傾向を定量的に特徴付け、それぞれの側で最も大きな偏差を分離し、分散の構造的な起源を特定します。
1.結果はまず
線形残差、2つの正反対の集団
予測誤差は円盤の長さに対して直線的に変化し、約-31.7 + 12.8R_d$、ピアソン相関$r = +0.75$。この直線は$R_d = 2.48$ kpcでゼロになります。この回帰の両極端は、2つの物理的に異なる異常値集団に対応しています：一方は大きな大質量渦巻き（過剰予測）、もう一方はコンパクトな矮星（過小予測）です。
2.残差は $R_d$ に線形です。
予測誤差を$R_d$に対してプロットし、各点をハッブルタイプで色分けすると、その傾向が直線的であることがすぐにわかります。赤い線は、94 個の全盲検銀河の $R_d$ に対する誤差の線形回帰です。
ディスクサイズの関数としての誤差
誤差の円盤サイズ関数
ブラインド銀河94個を線形フィット、ピアソン$r = +0.75$、残差のRMSE $= 18.4%$ 。
関数形の比較
いくつかのパラメータを比較。線形形式は、対数や平方根の代替案と統計的に区別がつきません：
| モデル | ピアソン $r$ | RMSE | コメント |
|---|---|---|---|
| text{err} = a + b, R_d$ (線形) | $+0.749$ | $18.4\%$ | 最もクリーンな分析フォーム |
| text{err} = a + b, ├log_{10}R_d$. | $+0.748$ | $18.4\%$ | 統計的に同等 |
| text{err} = a + b | $+0.768$ | $17.7\%$ | わずかな改善、実質的な利益なし |
| text{err} = a + b, R_d + c, R_d^2$. | – | $17.8\%$ | 二次の項が非常に小さい ($c \approx -1.1$) |
したがって、データを最も単純に忠実に記述できる線形形式が採用されます。
線に沿ったハッブル型分布
| ハッブル級 | $N$ | 中央値 $R_d$ (kpc) | 中央値誤差 | ポジション |
|---|---|---|---|---|
| S0-Sa（初期型） | 4 | 2.9 | $+0.0\%$ | 中央、ゼロクロス付近 |
| Sb-Sbc（中間） | 23 | 3.2 | $+3.9\%$ | 中央より右、テールは過大予測領域 |
| Sc-Scd（後期スパイラル） | 27 | 2.5 | $+7.7\%$ | 図全体に広がる |
| Sd-Im（矮星／不規則） | 40 | 1.6 | $-3.2\%$ | 左側；テールは予測不足領域 |
図中の色のパターンは、直線的な傾向から独立したサインではなく、形態軸を通して見える同じサインです。円盤銀河のハッブル数列は、円盤の大きさと相関があります。したがって、それぞれの色は回帰直線の異なる延長線上に位置し、Sd-Im は左側、Sc-Scd は中央、Sb-Sbc は右側にあります。
ランダムなノイズではなく、構造的な残差
1つの物理パラメータに線形に依存し、較正点でゼロを越える散乱は、ランダムな観測散乱ではなく、モデルの関係の1つに欠けている加法定数のサインです。この偏差は修正可能で、コヒーレンス長の法則に自由度を1つ追加することで吸収することができます。
3.最も過剰に予測された10の銀河
これらは、BeeTheoryが、観測された回転速度よりも高い平らな回転速度を予測している銀河です。残差の大きい順に並んでいます：
| ギャラクシー | ハッブル型 | R_d$ (kpc) | M_star/10^{10}$ | f_text{gas}$。 | シグマ | V_f$ | V_text{tot}$ | エラー |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| UGC00128 | Sd-Im | 7.50 | 1.06 | 0.39 | 60 | 135 | 243 | +80.0% |
| NGC0801 | Sb-Sbc | 5.80 | 2.01 | 0.32 | 190 | 208 | 326 | +56.6% |
| NGC2955 | Sb-Sbc | 5.50 | 3.99 | 0.23 | 420 | 266 | 406 | +52.7% |
| UGC02885 | Sc-Scd | 8.50 | 3.40 | 0.41 | 150 | 290 | 441 | +52.0% |
| NGC0925 | Sc-Scd | 3.10 | 0.22 | 0.75 | 72 | 105 | 155 | +48.0% |
| NGC6195 | Sb-Sbc | 5.20 | 3.40 | 0.26 | 400 | 260 | 380 | +46.3% |
| NGC6674 | Sb-Sbc | 5.50 | 3.33 | 0.29 | 350 | 260 | 380 | +46.2% |
| NGC5033 | Sb-Sbc | 4.50 | 1.27 | 0.46 | 200 | 195 | 280 | +43.7% |
| UGC02487 | S0-Sa | 7.50 | 5.30 | 0.23 | 300 | 330 | 465 | +40.8% |
| NGC6503 | Sc-Scd | 2.40 | 0.38 | 0.55 | 210 | 121 | 168 | +38.9% |
| プロパティ | 中央値 | 範囲 | 比較 |
|---|---|---|---|
| R_d$ | 4.5 kpc | 2.4 – 8.5 | 中央値より2倍大きい |
| M_star$ | M_odot$ | 2.2 ㏄ 10^{9}$ – 5.3 ㏄ 10^{10}$. | 8倍以上 |
| f_text{gas}$。 | $0.41$ | $0.23$ – $0.87$ | 中央値以下 (0.64) |
| ハッブル $T$ | 5ドル（Sbc） | $1$ – $8$ | 中間スパイラルに集中 |
| V_f$ | 195$キロ/秒 | $69$ – $330$ | サンプル中最速のローテーター |
過剰予測グループのプロフィール
大質量の中型渦巻き銀河。これらの銀河は回帰直線の右側にあり、ゼロ交差よりかなり上。モデルのコヒーレンス長の法則$ell = c_text{disk},R_d$により、この領域では$ell$の値が20kpc以上になり、観測された回転が必要とする以上の波動場の質量を生成しています。
4.最も予測が甘かった10の銀河
これらは、BeeTheoryが平坦な自転速度を観測値よりも低く予測している銀河です。残差の大きい順に並んでいます：
| ギャラクシー | ハッブル型 | R_d$ (kpc) | M_star/10^{10}$ | f_text{gas}$。 | シグマ | V_f$ | V_text{tot}$ | エラー |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| NGC6789 | Sd-Im | 0.30 | 0.01 | 0.53 | 250 | 60 | 22 | -63.0% |
| UGC05764 | Sd-Im | 0.40 | 0.00 | 0.86 | 80 | 57 | 31 | -45.6% |
| UGCA442 | Sd-Im | 1.00 | 0.00 | 0.85 | 15 | 57 | 32 | -44.2% |
| NGC4138 | S0-Sa | 1.30 | 0.13 | 0.33 | 250 | 150 | 85 | -43.6% |
| NGC4389 | Sb-Sbc | 1.20 | 0.07 | 0.37 | 150 | 110 | 62 | -43.4% |
| NGC4085 | Sb-Sbc | 1.20 | 0.09 | 0.42 | 200 | 135 | 79 | -41.1% |
| NGC2915 | Sd-Im | 0.50 | 0.01 | 0.84 | 160 | 85 | 53 | -38.2% |
| NGC2976 | Sb-Sbc | 0.75 | 0.04 | 0.29 | 220 | 80 | 50 | -37.4% |
| NGC4183 | Sc-Scd | 1.60 | 0.03 | 0.81 | 40 | 110 | 70 | -36.3% |
| UGCA281 | Sd-Im | 0.50 | 0.01 | 0.63 | 80 | 40 | 26 | -36.1% |
| プロパティ | 中央値 | 範囲 | 比較 |
|---|---|---|---|
| R_d$ | 1.1 kpc | 0.30 – 1.80 | 中央値より小さい |
| M_star$ | M_odot$ | 4 ㏄ 10^{7}$ – 1.3 ㏄ 10^{9}$. | $6times$ less massive |
| f_text{gas}$。 | $0.58$ | $0.29$ – $0.86$ | 中央値以下 (0.64) |
| ハッブル $T$ | 8$ (Sd) | $1$ – $10$ | 後期型矮星に集中 |
| V_f$ | 82$km/秒 | $40$ – $150$ | スローローテーター |
予測不足のグループのプロフィール
コンパクトで低質量の矮小銀河と小さな渦巻き銀河。回帰直線の左側、ゼロクロスよりかなり下にある銀河。この領域では、コヒーレンス長の法則$ell = c_text{disk}前,R_d$により、$ell$が1$-$3$ kpcのオーダーになります。
5.3つのグループの比較
| 物件（中央値） | 過剰予測 (err > +30%, $N = 15$) |
良好な予測 (|err| ≤ 30%, $N = 67$) |
予測不足 (err < -30%, $N = 12$) |
|---|---|---|---|
| R_d$ (kpc) | 4.5 | 2.4 | 1.1 |
| M_star / 10^{10}$ | 1.27 | 0.15 | 0.027 |
| M_text{gas}/ 10^{10}$ | 0.93 | 0.27 | 0.04 |
| f_text{gas}$。 | 0.41 | 0.64 | 0.58 |
| シグマ | 200 | 140 | 115 |
| ハッブル $T$ | 5 (Sbc) | 6 (Sc) | 8 (Sd) |
| V_f$ (km/s) | 195 | 113 | 82 |
どの性質も左から右へ単調に変化します。過大予測のグループは大きく、質量が大きく、星が支配的で回転が速く、過小予測のグループは小さく、軽く、ガスが豊富で遅い。天の川銀河（$R_d = 2.6$ kpc, $V_f 約230$ km/s）は、較正が固定されたよく予測された領域に自然に入ります。
6.解釈
このモデルは、1つの結合パラメータ$lambda$と3つの普遍幾何定数$(c_text{disk}, c_text{sph}, c_text{arm})$を持っています。これらは、中間の大きさの銀河（天の川銀河、$R_d = 2.6$ kpc）で決定され、同じような大きさの22個の銀河で検証されました。しかし、残差は円盤の大きさによって直線的に変化します。
アフィン補正で十分
R_d$の残差の直線性（$R_d = 2.48$ kpcでゼロを横切る一本の直線でうまくフィットする）は、コヒーレンス長さの関係に欠けている加算オフセットのサインです。現在の法則$ell = c_text。これをアフィン関係に置き換えると $ell = c_text{disk}(R_d – R_0)$ となり、$R_0$は約2.5$ kpcの小さなオフセットです。
よく予測された大多数は大まかな代表者
サンプルの3分の2が、よく予測された範囲に含まれています。この67個の銀河は、ハッブル型と恒星質量が100分の1の範囲にあります。SPARCの母集団のほとんどをカバーしており、$R_d$依存の線形残差と同じように、偏差は円盤の大きさの両極端に集中しています。
7.概要
1.94銀河のブラインドテストの予測誤差は、円盤スケール長できれいな線形の傾向：$text{error}( \%) Γapprox -31.7 + 12.8 Γ, Pearson $r = +0.75$, RMSE of residuals $= 18.4%$ 。
2.直線回帰は$R_d = 2.48$ kpcでゼロになります。直線の両端は、物理的に異なる二つの異常値集団に対応しています。
3.中央値$R_d = 4.5$ kpc, $M_star Γ約10^{10},M_odot$, $V_f Γ約200$ km/s。
4.中央値 $R_d = 1.1$ kpc, $M_star ̫ 約 3 ̫ times 10^{8}, M_odot$, $V_f ̫ 約 80$ km/s.
5.このずれは、コヒーレンス長則のアフィン補正$ell = c_text{disk}(R_d – R_0)$で吸収可能。
参考文献Lelli, F., McGaugh, S. S., Schombert, J. M. –SPARC:Mass Models for 175 DiskGalaxies with Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves, AJ 152, 157 (2016).- de Vaucouleurs, G. et al. –Third Reference Catalogue of Bright Galaxies, Springer (1991).- McGaugh, S. S. –The third law of galactic rotation, Galaxies 2, 601 (2014).- Dutertre, X. –Bee Theory™：Wave-BasedModeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023)。
BeeTheory.com – 波動型量子重力 – SPARC残差 – © Technoplane S.A.S. 2026