BeeTheory · Fundamentos · Nota técnica I
Una función de onda regularizada para BeeTheory
Una refinación mínima, de un solo parámetro, de la función de onda de BeeTheory que elimina la singularidad en el origen preservando cada predicción de la teoría a escalas mayores. Esta nota establece la base matemática necesaria para extender BeeTheory rigurosamente desde las partículas elementales hasta las galaxias.
La función de onda de BeeTheory
$$\psi(r) = \frac{1}{N}\,\exp\!\left(-\frac{\sqrt{r^2 + a^2}}{a}\right)$$
donde $a$ es la escala de longitud natural de la partícula
(para el hidrógeno: $a = a_0 = 5.29 \times 10^{-11}$ m, el radio de Bohr)
Esta fórmula presenta tres propiedades que hacen de BeeTheory una teoría completa y bien definida a todas las escalas, desde lo subatómico hasta lo galáctico:
| Propiedad | Valor en $r = 0$ | Comportamiento para $r \gg a$ |
|---|---|---|
| Función de onda $\psi(r)$ | $e^{-1} \approx 0.368$ (finita) | $\to e^{-r/a}$ (coincide con el postulado original de BeeTheory) |
| Laplaciano $\nabla^2\psi$ | $-3\,e^{-1}/a^2$ (finito) | $\to e^{-r/a}/a^2$ (asintóticamente idéntico) |
| Parámetros libres | Uno ($a$ solamente) | Sin escala de longitud adicional |
1. ¿Por qué regularizar?
BeeTheory, en su formulación original (Dutertre 2023), postula que toda partícula elemental está descrita por una función de onda exponencial radial:
Postulado original de BeeTheory
$$\psi_0(r) = N_0 \cdot e^{-r/a}$$
Esta forma es elegante y matemáticamente transparente, y captura correctamente el comportamiento a largo alcance del campo de ondas. Sin embargo, cuando se expresa en coordenadas esféricas y actúa sobre ella el operador laplaciano que aparece en la ecuación de Schrödinger, surge un artefacto en el origen:
Laplaciano de la forma original
$$\nabla^2 \psi_0(r) = \psi_0(r) \cdot \left(\frac{1}{a^2} – \frac{2}{r\,a}\right)$$
El término $-2/(r\,a)$ crece sin límite cuando $r \to 0$. Esta es una característica familiar de las idealizaciones puntuales en física — el mismo tipo de singularidad que aparece en el potencial de Coulomb, y que se maneja rutinariamente en física nuclear y atómica mediante técnicas de regularización. La función de onda regularizada de BeeTheory descrita a continuación aplica precisamente este tipo de técnica establecida.
2. El principio de regularización
El principio es elegantemente simple: sustituir $r$ por $\sqrt{r^2 + a^2}$ dentro del exponente. Esta sustitución es una técnica clásica de regularización utilizada en toda la física teórica — en particular para potenciales Yukawa suavizados en física de partículas y pseudopotenciales en química cuántica. No introduce ninguna nueva escala física: la longitud de regularización es la característica propia de la partícula, $a$.
La sustitución
$$r \longrightarrow \sqrt{r^2 + a^2}$$
La interpretación física es natural y coherente con la visión fundacional de BeeTheory de las partículas como estructuras de onda extendidas: una partícula cuyo tamaño característico es $a$ no puede tener una característica menor que el propio $a$. El campo de ondas en el núcleo de la partícula es suave a la escala de su propia longitud de coherencia. Esto fortalece el postulado original, no se aparta de él.
Comportamiento en ambos límites
Cerca del origen ($r \ll a$): usando $\sqrt{r^2 + a^2} \approx a + r^2/(2a)$, obtenemos
$$\psi(r) \approx e^{-1} \cdot e^{-r^2/(2a^2)}$$
La función de onda transita suavemente a una gaussiana cerca del centro, con valor finito $e^{-1}$ en $r = 0$. La densidad de probabilidad está bien definida en todo el interior de la partícula.
Lejos del origen ($r \gg a$): usando $\sqrt{r^2 + a^2} = r\sqrt{1 + (a/r)^2} \approx r + a^2/(2r)$, obtenemos
$$\psi(r) \approx e^{-r/a} \cdot e^{-a/(2r)} \;\longrightarrow\; e^{-r/a}$$
Recuperamos exactamente el decaimiento exponencial del postulado original de BeeTheory. Toda predicción de BeeTheory a distancias mayores que la propia escala de la partícula — y eso incluye toda aplicación atómica, planetaria y astrofísica de la teoría — se preserva sin modificación.
3. Verificación numérica
La siguiente tabla compara la función de onda original $\psi_0$ y la regularizada $\psi$, junto con sus laplacianos, a diversas distancias expresadas en unidades de $r/a$:
| $r/a$ | $\psi_0$ (original) | $\nabla^2\psi_0$ | $\psi$ (regularizada) | $\nabla^2\psi$ |
|---|---|---|---|---|
| 0.001 | 0.999 | −1997 | 0.368 | −1.104 |
| 0.01 | 0.990 | −197.0 | 0.368 | −1.103 |
| 0.1 | 0.905 | −17.19 | 0.366 | −1.085 |
| 0.5 | 0.607 | −1.820 | 0.327 | −0.753 |
| 1.0 | 0.368 | −0.368 | 0.243 | −0.308 |
| 2.0 | 0.135 | 0.000 | 0.107 | −0.020 |
| 5.0 | 0.0067 | 0.004 | 0.0061 | 0.003 |
| 10.0 | 4.5×10⁻⁵ | ≈ 0 | 4.3×10⁻⁵ | ≈ 0 |
El Laplaciano regularizado permanece finito en todas partes, con magnitud del orden de $1/a^2$ cerca del origen, y converge al original más allá de $r \approx 5a$. El refinamiento es estrictamente local: confinado a un vecindario de la partícula de tamaño $\sim a$, e invisible por completo a cualquier escala mayor.
4. El Laplaciano analítico
La derivación es directa. Definiendo $s(r) = \sqrt{r^2 + a^2}$ y $\psi(r) = N^{-1}\,e^{-s/a}$, las derivadas radiales son:
Derivadas de s(r)
$$s'(r) = \frac{r}{s}, \qquad s”(r) = \frac{a^2}{s^3}$$
Aplicando la regla de la cadena y el Laplaciano en coordenadas esféricas $\nabla^2 = \partial_r^2 + (2/r)\partial_r$ para una función radialmente simétrica, obtenemos la forma cerrada compacta:
Laplaciano de la función de onda de BeeTheory
$$\boxed{\;\nabla^2 \psi(r) = \psi(r) \cdot \left[\frac{r^2}{a^2 s^2} – \frac{3}{a\,s} + \frac{r^2}{a\,s^3}\right]\;}$$
Esta expresión es finita en todas partes, incluso en $r = 0$. Evaluación en los dos límites naturales:
| Límite | $s(r)$ | $\nabla^2 \psi(r)$ |
|---|---|---|
| $r \to 0$ | $s \to a$ | $\psi(0) \cdot (-3/a^2) = -3\,e^{-1}/a^2$ |
| $r \to \infty$ | $s \to r$ | $\psi(r) \cdot (1/a^2 – 3/(r\,a))$ |
A gran distancia, el Laplaciano recupera la forma de la expresión original de BeeTheory $\psi \cdot (1/a^2 – 2/(r\,a))$ salvo por una corrección de $1/r$ que desaparece rápidamente. La diferencia es despreciable más allá de $r$ mayor que $5a$ — muy por dentro de cualquier régimen físico relevante para aplicaciones gravitatorias o astrofísicas.
5. Qué desbloquea esto para BeeTheory
Una teoría ahora bien definida a todas las escalas
La ecuación de Schrödinger de BeeTheory, aplicada a la $\psi$ regularizada, tiene energía cinética finita $-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi$ en cada punto del espacio. El mecanismo gravitatorio basado en ondas es ahora matemáticamente riguroso desde el interior de una sola partícula hasta las mayores escalas galácticas. Esta es la base técnica que une lo atómico y lo cósmico en un único marco coherente.
Se conservan todas las predicciones a largo alcance
El comportamiento asintótico de $\psi$ es idéntico al de la función de onda original de BeeTheory. Toda predicción a escalas de longitud mayores que el radio atómico se preserva sin modificación — incluida la ley gravitatoria de inverso del cuadrado derivada del Laplaciano esférico, el teorema de la envolvente que permite tratar cuerpos macroscópicos como partículas puntuales, y la extensión a distribuciones extendidas de materia a escalas galácticas. El refinamiento fortalece la base sin perturbar la estructura construida sobre ella.
Lo que viene después
Con la función de onda ahora definida rigurosamente en todas partes, la derivación central de BeeTheory — la aplicación de la ecuación de Schrödinger a un par de ondas interactuantes que produce el potencial gravitatorio $1/R$ — puede reformularse con todo rigor matemático, con cada paso explícito y cada coeficiente determinado desde primeros principios. Este es el tema de la siguiente nota técnica de esta serie.
6. Resumen en tres líneas
1. La función de onda de BeeTheory es $\psi(r) = N^{-1}\,\exp\!\left(-\sqrt{r^2+a^2}/a\right)$.
2. Su Laplaciano es finito en todas partes, tomando el valor $-3\,e^{-1}/a^2$ en el origen.
3. Más allá de $r \approx 5a$, es numéricamente indistinguible del $e^{-r/a}$ original.
Referencias. Dutertre, X. — Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023). Postulado original. · Schwabl, F. — Quantum Mechanics, 4th ed., Springer (2007). Regularización de potenciales singulares. · Hellmann, H. — A New Approximation Method in the Problem of Many Electrons, J. Chem. Phys. 3, 61 (1935). Origen histórico de los pseudopotenciales regularizados en mecánica cuántica.
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