La massa del disco della Via Lattea come funzione del raggio

TL;DR

La massa visibile del disco della Via Lattea può essere modellata come la somma di diversi componenti: il disco stellare sottile, il disco stellare spesso, il gas idrogeno atomico HI e il gas idrogeno molecolare H₂.

L’equazione più utile è:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

dove r è la distanza dal Centro Galattico in kiloparsec, o kpc.

Per la parte stellare del disco, utilizzando i parametri della Via Lattea comunemente adottati dal modello di massa galattica di McMillan, la massa all’interno del raggio r è:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

con r in kpc e massa in masse solari, M⊙.

Questa equazione descrive la massa stellare visibile del disco della Via Lattea in funzione della distanza dal Centro galattico.

Equazione finale per la massa del disco visibile

Il disco visibile della Via Lattea può essere scritto come:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

La parte stellare è la più pulita:

\(M_{{mathrm{disco,stelle}}(<r)=M_{mathrm{sottile}}(<r)+M_{mathrm{spesso}}(<r)\)

Utilizzando i parametri numerici:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

dove:

r = distanza dal centro galattico in kpc
Mdisk_,stelle = massa del disco stellare all’interno del raggio r
M⊙ = una massa solare

I parametri qui utilizzati provengono dal modello di massa della Via Lattea di McMillan del 2017, che fornisce un raggio solare R₀ = 8,20 ± 0,09 kpc, una velocità circolare v₀ = 232,8 ± 3,0 km/s e una massa stellare totale (54,3 ± 5,7) × 10⁹ M⊙.

Il disco della Via Lattea è formato da anelli

Un modo semplice per comprendere l’equazione di massa è immaginare di tagliare il disco galattico in tanti sottili anelli circolari.

Ogni anello ha:

\(\mathrm{circonferenza}=2\pi r\) \(\mathrm{larghezza}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)

Se la densità di massa superficiale del disco è Σ(r), la massa di un anello sottile è Σ(r):

\(dM=2\pi r\,\Sigma(r)\,dr\)

La massa all’interno del raggio r si ottiene sommando tutti gli anelli dal centro fino a r:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)

Questa è l’idea matematica di base dell’equazione della massa del disco.

L’equazione del disco esponenziale

Il disco stellare della Via Lattea è solitamente approssimato da una densità superficiale esponenziale:

\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)

dove:

Σ₀ = densità di massa della superficie centrale
_Rd = lunghezza della scala del disco
r = distanza dal centro galattico

La lunghezza della scala_Rd ci dice quanto velocemente il disco diventa meno denso man mano che ci spostiamo verso l’esterno.

Sostituendo questa densità nell’equazione dell’anello, si ottiene:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)

Risolvendo l’integrale si ottiene:

\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)

Questa è l’equazione principale utilizzata per il disco stellare.

Componente 1 – Il disco stellare sottile

Il disco sottile è la parte luminosa, piatta e in formazione di stelle della Via Lattea. Contiene stelle giovani, molte stelle simili al Sole, gas, polvere e i bracci a spirale.

Per il disco stellare sottile:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)

Da allora:

\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)

scriviamo:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

La massa all’interno del raggio r è:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)

Pertanto:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)

La massa totale del disco sottile si ottiene prendendo r → ∞:

\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)

Componente 2 – Il disco stellare spesso

Il disco spesso è più vecchio, più esteso verticalmente e più diffuso del disco sottile. Le sue stelle si muovono più in alto e in basso rispetto al piano galattico.

Per il disco stellare spesso:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)

Quindi:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

La massa all’interno del raggio r è:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Pertanto:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)

La massa totale del disco spesso è:

\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)

Massa del disco stellare: Disco sottile + Disco spesso

Sommando entrambi i componenti stellari si ottiene:

\(M_{{mathrm{disco,stelle}}(<r)=M_{mathrm{sottile}}(<r)+M_{mathrm{spesso}}(<r)\)

oppure:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

A raggio molto grande:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)

Quindi, in questo modello, il disco stellare visibile della Via Lattea contiene circa:

45,7 miliardi di masse solari

Componente 3 – Idrogeno atomico gassoso, HI

Il disco della Via Lattea contiene anche gas visibile. Il primo componente gassoso importante è l’idrogeno atomico, scritto HI.

A differenza del disco stellare, il gas non è ben descritto da un semplice disco esponenziale. Ha una depressione centrale, o ‘buco’, quindi una forma migliore è:

\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)

Per HI:

\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)

La massa all’interno del raggio r è:

\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)

Questa equazione dice: prendere la massa totale dell’HI e moltiplicarla per la frazione del disco dell’HI contenuta nel raggio r.

Componente 4 – Idrogeno molecolare gassoso, H₂

Il secondo componente principale del gas è l’idrogeno molecolare, scritto H₂. Questo gas è più strettamente associato alle nubi fredde e alla formazione di stelle.

Per H₂:

\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)

La massa all’interno del raggio r è:

\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)

Equazione della massa del disco visibile completo

Combinazione di stelle e gas:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Completamente scritto:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)

dove:

r e R sono in kpc
M è in M⊙

Questa equazione fornisce la massa del disco visibile della Via Lattea all’interno di un raggio r, misurato dal Centro galattico.

Esempio: Massa all’interno dell’orbita del Sole

Il Sole si trova a circa:

\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)

Utilizzando solo l’equazione del disco stellare:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)

Numericamente, questo dà approssimativamente:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)

Quindi, all’interno dell’orbita del Sole, il disco stellare contiene già la maggior parte della sua massa totale.

Perché usare gli anelli?

Il metodo dell’anello è utile perché il disco di una galassia non è una sfera.

Per un oggetto sferico, il guscio di massa al raggio r ha un’area:

\(4\pi r^2\)

Ma per un disco sottile, la massa è distribuita su anelli circolari:

\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)

Ecco perché le equazioni di massa del disco sono diverse da quelle della massa sferica.

In un disco:

la massa proviene dagli anelli

In una sfera:

la massa proviene dalle conchiglie

La Via Lattea contiene componenti sia discoidali che sferici, ma questa pagina si concentra sul disco.

Cosa comprende questa equazione

L’equazione comprende:

Componente	Significato	Incluso?
Sottile disco stellare	Stelle giovani e di età intermedia vicino al piano galattico	Sì
Disco stellare spesso	Stelle più vecchie e più lontane dal piano	Sì
HI gas	Idrogeno atomico	Sì
Gas H₂	Idrogeno molecolare	Sì
Sporgenza/barra	Struttura stellare centrale	No
L’alone di materia oscura	Componente gravitazionale invisibile	No
L’alone stellare	Stelle antiche molto diffuse	No

Questo è il motivo per cui la chiamiamo massa del disco visibile, non l’intera massa della Via Lattea.

Come questo si collega alla massa mancante

Una volta conosciuta la massa del disco visibile, gli astronomi la confrontano con la massa richiesta dalla rotazione osservata della Galassia.

La massa dinamica dedotta dal moto circolare è:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)

Nelle unità pratiche:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)

La massa mancante è quindi:

\(M_{{mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

Per questa pagina, il contributo del disco è:

\(M_{mathrm{visibile}}(<r)\approssima M_{mathrm{disco,visibile}}(<r)\)

Un modello completo della Via Lattea aggiungerebbe anche il bulge/barra centrale e altri componenti barionici minori.

Limitazioni importanti

Questo modello è utile, ma non è perfetto.

Innanzitutto, la Via Lattea non è un disco asimmetrico perfettamente liscio. Presenta bracci a spirale, una barra centrale, regioni di formazione stellare e strutture locali.

In secondo luogo, il gas è difficile da modellare perché lo osserviamo dall’interno della Galassia. La sua distanza e la sua rotazione devono essere ricostruite dai dati di velocità.

In terzo luogo, il disco ha uno spessore verticale. Le equazioni precedenti sono per lo più equazioni di densità superficiale, che sono eccellenti per i profili di massa radiali, ma non descrivono tutti i dettagli verticali.

In quarto luogo, i parametri dipendono dal modello galattico adottato. Il modello di McMillan è un forte punto di riferimento, ma studi diversi possono fornire masse del disco, lunghezze di scala e profili di gas leggermente diversi. McMillan riporta esplicitamente le incertezze statistiche per i parametri globali chiave, come R₀, v₀, massa stellare, massa viriale e densità di materia oscura locale.

Glossario

Centro galattico
La regione centrale della Via Lattea, intorno al buco nero supermassiccio Sagittarius A*.

Kiloparsec, kpc
Un’unità di distanza utilizzata nell’astronomia galattica. Un kiloparsec corrisponde a circa 3.260 anni luce.

Massa solare, M⊙
La massa del Sole. Viene utilizzata come unità di massa standard in astronomia.

Densità di superficie, Σ(r)
Massa per unità di superficie del disco galattico al raggio r.

Lunghezza di scala,_Rd
La distanza su cui la densità del disco diminuisce di un fattore e.

Disco sottile
Il disco piatto, denso e in formazione di stelle della Via Lattea.

Disco spesso
Un disco stellare più vecchio e più esteso verticalmente che circonda il disco sottile.

HI
Idrogeno atomico gassoso.

H₂
Idrogeno molecolare gassoso.

Massa dinamica
La massa necessaria per spiegare la velocità orbitale osservata di stelle e gas.

Massa mancante
La differenza tra la massa dinamica e la massa visibile.

Note sull’accessibilità

Testo alt dell’immagine suggerito:

Testo alternativo per il diagramma 1: “Vista frontale del disco della Via Lattea diviso in anelli circolari intorno al Centro Galattico”.
Testo Alt per il diagramma 2: “Vista laterale della Via Lattea che mostra un sottile disco stellare incorporato all’interno di un disco stellare più spesso e più vecchio”.
Testo alternativo per il grafico: “Grafico che mostra la massa cumulativa del disco visibile che aumenta con il raggio dal Centro Galattico”.

Utilizzi etichette leggibili come:

“Raggio dal centro galattico, kpc”
“Massa all’interno del raggio, masse solari”.
“Disco sottile”
“Disco spesso”
“Disco di gas”
“Totale disco visibile”

Collegamenti interni suggeriti

Curva di rotazione della Via Lattea
Materia oscura e massa mancante
Che cos’è un chiloparsec?
Il Centro Galattico spiegato
Disco sottile vs disco spesso

Riferimenti esterni suggeriti

Ulteriori letture:

McMillan, P. J. “La distribuzione di massa e il potenziale gravitazionale della Via Lattea”. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2017.
McMillan, P. J. “Modelli di massa della Via Lattea”. arXiv, 2011.
Cautun et al. “Il profilo di massa totale della Via Lattea dedotto da Gaia DR2”. Il documento modella la Via Lattea con un bulge, un disco sottile, un disco spesso, un disco HI, un disco di gas molecolare, un gas circumgalattico e un alone scuro.
Marasco et al. “Distribuzione e cinematica del gas atomico e molecolare all’interno del cerchio solare”. Questo studio modella il gas galattico utilizzando gli anelli e si adatta ai dati di HI e CO.

Massa visibile

Per stimare la massa visibile della Via Lattea a qualsiasi raggio, scegliere un valore di r in kpc e inserirlo in:

Per un primo calcolo, utilizzare l’equazione del disco stellare più semplice. Poi aggiungere il gas HI e H₂ per un modello di disco visibile più completo.