BeeTheory – Fondasi – Catatan Teknis X

Anatomi dari Residual:
Tren Linier dengan Ukuran Disk

Uji buta 94 galaksi dari Note IX menunjukkan tren residu yang sistematis dengan ukuran cakram. Catatan ini mencirikan tren tersebut secara kuantitatif, mengisolasi deviasi terbesar di setiap sisi, dan mengidentifikasi asal struktural dispersi.

1. Hasil pertama

Residu linier, dua populasi yang berlawanan

Kesalahan prediksi berskala linier dengan panjang skala cakram: $\text{error}\,(\%) \kira-kira -31,7 + 12,8\,R_d$, dengan korelasi Pearson $r = +0,75$. Garis tersebut memotong nol pada $R_d = 2,48$ kpc, pada dasarnya ukuran piringan Bima Sakti yang menjadi acuan kalibrasi. Dua titik ekstrem dari regresi ini berhubungan dengan dua populasi pencilan yang berbeda secara fisik: spiral masif yang besar (prediksi berlebih) di satu ujung, dan katai kompak (prediksi kurang) di ujung lainnya.

2. Residualnya linier dalam $R_d$

Memplot galat prediksi terhadap $R_d$, dengan setiap titik diwarnai berdasarkan tipe Hubble, membuat linearitas tren segera terlihat. Garis merah adalah regresi linier dari galat terhadap $R_d$ pada 94 galaksi buta.

94 galaksi buta diplot versus ukuran piringan, diwarnai berdasarkan tipe Hubble. Garis merah adalah regresi linier dari galat pada $R_d$. Garis ini memotong nol pada $R_d = 2,48$ kpc – pada dasarnya ukuran piringan yang menjadi acuan kalibrasi awal.

Kesalahan sebagai fungsi dari ukuran disk

$$\text{error}\,(\%) \;\approx\; -31,7 \;+\; 12,8 \times R_d \,[\text{kpc}]$$

Kecocokan linier pada 94 galaksi buta, Pearson $r = +0,75 $, RMSE residual $= 18,4 \% $.

Perbandingan bentuk fungsional

Beberapa parameter alternatif dibandingkan. Bentuk linier secara statistik tidak dapat dibedakan dari alternatif log dan akar kuadrat:

Model	Pearson $r$	RMSE	Komentar
$\text{err} = a + b\,R_d$ (linier)	$+0.749$	$18.4\%$	Formulir analisis terbersih
$\text{err} = a + b\,\log_{10}R_d$	$+0.748$	$18.4\%$	Setara secara statistik
$\text{err} = a + b\,\sqrt{R_d}$	$+0.768$	$17.7\%$	Sedikit lebih baik, tidak ada keuntungan nyata
$\text{err} = a + b\,R_d + c\,R_d^2$	–	$17.8\%$	Suku kuadrat sangat kecil ($c \kira-kira -1,1$)

Oleh karena itu, bentuk linear diadopsi sebagai deskripsi data yang paling sederhana.

Distribusi tipe Hubble di sepanjang garis

Kelas Hubble	$N$	Median $R_d$ (kpc)	Kesalahan median	Posisi
S0-Sa (tipe awal)	4	2.9	$+0.0\%$	Bagian tengah, dekat persimpangan nol
Sb-Sbc (menengah)	23	3.2	$+3.9\%$	Kanan tengah; ekor di wilayah yang terlalu banyak diprediksi
Sc-Scd (spiral akhir)	27	2.5	$+7.7\%$	Tersebar di seluruh diagram
Sd-Im (kerdil / tidak beraturan)	40	1.6	$-3.2\%$	Sisi kiri; ekor di wilayah yang tidak sesuai prediksi

Pola warna pada gambar bukanlah tanda tangan yang terpisah dari tren linier – itu adalah tanda tangan yang sama yang terlihat melalui sumbu morfologi. Urutan Hubble pada galaksi piringan berkorelasi dengan ukuran piringan: katai tipe akhir sebagian besar berbentuk kompak, sedangkan spiral menengah sebagian besar berbentuk besar. Oleh karena itu, setiap warna berada di sepanjang bentangan garis regresi yang berbeda, dengan Sd-Im di sebelah kiri, Sc-Scd di tengah, dan Sb-Sbc di sebelah kanan.

Residu struktural, bukan noise acak

Sebaran yang bergantung secara linear pada satu parameter fisik, dan melintasi nol pada titik kalibrasi, adalah tanda dari konstanta aditif yang hilang di salah satu hubungan model, bukan sebaran pengamatan acak. Penyimpangan ini dapat dikoreksi: penyimpangan ini dapat diserap oleh satu derajat kebebasan tambahan dalam hukum panjang-koherensi.

3. Sepuluh galaksi yang paling banyak diprediksi secara berlebihan

Inilah galaksi-galaksi yang diprediksi oleh BeeTheory memiliki kecepatan rotasi datar yang lebih tinggi dari yang teramati. Diurutkan berdasarkan ukuran residu:

Galaxy	Jenis Hubble	$ R_d $ (kpc)	$M_\star/10^{10}$	$f_\text{gas}$	$\Sigma_d$	$V_f$	$V_\text{tot}$	Kesalahan
UGC00128	Sd-Im	7.50	1.06	0.39	60	135	243	+80.0%
NGC0801	Sb-Sbc	5.80	2.01	0.32	190	208	326	+56.6%
NGC2955	Sb-Sbc	5.50	3.99	0.23	420	266	406	+52.7%
UGC02885	Sc-Scd	8.50	3.40	0.41	150	290	441	+52.0%
NGC0925	Sc-Scd	3.10	0.22	0.75	72	105	155	+48.0%
NGC6195	Sb-Sbc	5.20	3.40	0.26	400	260	380	+46.3%
NGC6674	Sb-Sbc	5.50	3.33	0.29	350	260	380	+46.2%
NGC5033	Sb-Sbc	4.50	1.27	0.46	200	195	280	+43.7%
UGC02487	S0-Sa	7.50	5.30	0.23	300	330	465	+40.8%
NGC6503	Sc-Scd	2.40	0.38	0.55	210	121	168	+38.9%

Properti	Nilai median	Jangkauan	Perbandingan
$ R_d $	4,5 kpc	2.4 – 8.5	$ 2 \ kali $ lebih besar dari median
$M_\star$	$ 1,3 \ kali 10^{10}\,M_\odot$	$ 2,2 \kali 10^{9}$ – $ 5,3 \kali 10^{10}$	$8\kali lipat lebih besar
$f_\text{gas}$	$0.41$	$0.23$ – $0.87$	Di bawah median (0,64)
Hubble $T$	$5$ (SBC)	$1$ – $8$	Terkonsentrasi pada spiral menengah
$V_f$	$195 $ km/s	$69$ – $330$	Rotator tercepat dalam sampel

Profil kelompok yang diprediksi berlebihan

Spiral besar, masif, dan bertipe menengah. Galaksi-galaksi ini berada di sisi kanan garis regresi, jauh di atas titik potong nol. Hukum panjang koherensi model $\ell = c_\text{disk}\,R_d$ menghasilkan nilai $\ell$ di atas 20 kpc pada rezim ini, menghasilkan lebih banyak massa medan-gelombang daripada yang dibutuhkan rotasi yang diamati.

4. Sepuluh galaksi yang paling banyak tidak diprediksi

Inilah galaksi-galaksi yang diprediksi oleh BeeTheory memiliki kecepatan rotasi datar yang lebih rendah daripada yang diamati. Diurutkan berdasarkan ukuran residu:

Galaxy	Jenis Hubble	$ R_d $ (kpc)	$M_\star/10^{10}$	$f_\text{gas}$	$\Sigma_d$	$V_f$	$V_\text{tot}$	Kesalahan
NGC6789	Sd-Im	0.30	0.01	0.53	250	60	22	-63.0%
UGC05764	Sd-Im	0.40	0.00	0.86	80	57	31	-45.6%
UGCA442	Sd-Im	1.00	0.00	0.85	15	57	32	-44.2%
NGC4138	S0-Sa	1.30	0.13	0.33	250	150	85	-43.6%
NGC4389	Sb-Sbc	1.20	0.07	0.37	150	110	62	-43.4%
NGC4085	Sb-Sbc	1.20	0.09	0.42	200	135	79	-41.1%
NGC2915	Sd-Im	0.50	0.01	0.84	160	85	53	-38.2%
NGC2976	Sb-Sbc	0.75	0.04	0.29	220	80	50	-37.4%
NGC4183	Sc-Scd	1.60	0.03	0.81	40	110	70	-36.3%
UGCA281	Sd-Im	0.50	0.01	0.63	80	40	26	-36.1%

Properti	Nilai median	Jangkauan	Perbandingan
$ R_d $	1,1 kpc	0.30 – 1.80	$ 2\kali$ lebih kecil dari median
$M_\star$	$ 2,7 \ kali 10 ^ {8}\,M_\odot$	$4 \kali 10^{7}$ – $1,3 \kali 10^{9}$	$6\kali$ kurang masif
$f_\text{gas}$	$0.58$	$0.29$ – $0.86$	Di bawah median (0,64)
Hubble $T$	$8 (Sd)	$1$ – $10$	Terkonsentrasi pada katai tipe akhir
$V_f$	$82 $ km/s	$40$ – $150$	Rotator lambat

Profil kelompok yang kurang diprediksi

Katai-katai yang ringkas dan bermassa rendah serta spiral kecil. Galaksi-galaksi ini berada di sisi kiri garis regresi, jauh di bawah titik potong nol. Hukum panjang koherensi $\ell = c_\text{disk}\,R_d$ menghasilkan $\ell$ dengan orde $1$ – $3$ kpc pada rezim ini, yang mungkin terlalu pendek untuk bisa mengumpulkan seluruh medan gelombang.

5. Perbandingan berdampingan dari ketiga kelompok

Properti (median)	Terlalu banyak prediksi (kesalahan > +30%, $N = 15$)	Diprediksi dengan baik (\|err\| ≤ 30%, $N = 67$)	Di bawah prediksi (kesalahan < -30%, $N = 12$)
$ R_d $ (kpc)	4.5	2.4	1.1
$M_\bintang / 10^{10}$	1.27	0.15	0.027
$M_\text{gas} / 10^{10}$	0.93	0.27	0.04
$f_\text{gas}$	0.41	0.64	0.58
$\Sigma_d$	200	140	115
Hubble $T$	5 (SBC)	6 (Sc)	8 (Sd)
$V_f$ (km/detik)	195	113	82

Setiap properti bervariasi secara monoton dari kiri ke kanan. Kelompok yang diprediksi lebih besar, lebih masif, lebih banyak didominasi bintang, dan berotasi lebih cepat; kelompok yang diprediksi lebih kecil, lebih ringan, kaya gas, dan lebih lambat; kelompok yang diprediksi dengan baik berada di antara keduanya. Bima S akti ($R_d = 2,6$ kpc, $V_f sekitar 230$ km/detik) secara alamiah berada di dalam rezim yang diprediksi dengan baik di mana kalibrasi itu berlabuh.

6. Interpretasi

Model ini memiliki satu parameter kopling $\lambda$ dan tiga konstanta geometris universal $(c_\text{disk}, c_\text{sph}, c_\text{arm})$. Semua ini ditentukan pada galaksi dengan ukuran menengah (Bima Sakti, $R_d = 2,6$ kpc) dan divalidasi pada dua puluh dua galaksi dengan kisaran ukuran yang sama. Uji buta Note IX menunjukkan bahwa mereka menggeneralisasi dengan cukup baik, tetapi dengan residu yang melayang secara linier dengan ukuran cakram.

Koreksi affine sudah cukup

Linieritas residu dalam $R_d$ – cocok dengan garis lurus tunggal yang melintasi nol pada $R_d = 2,48$ kpc – adalah tanda dari offset aditif yang hilang dalam hubungan panjang-koherensi. Hukum saat ini $\ell = c_\text{disk}\,R_d$ menghubungkan panjang gelombang-koherensi secara proporsional dengan skala disk. Mengganti hukum ini dengan hubungan affine $\ell = c_\text{disk}(R_d – R_0)$, di mana $R_0$ adalah offset kecil sekitar $2,5$ kpc, akan menghasilkan residu yang lenyap pada titik kalibrasi dan tumbuh secara linier di kedua sisi – persis seperti pola yang diamati.

Mayoritas yang diprediksi dengan baik cukup representatif

Dua pertiga dari sampel berada di dalam pita yang diprediksi dengan baik. Ke-67 galaksi tersebut mencakup seluruh tipe Hubble dan faktor massa bintang sebesar 100 massa bintang. Domain validitas model ini tidak sempit: mencakup sebagian besar populasi SPARC, dengan deviasi terkonsentrasi pada dua ukuran piringan yang ekstrim, persis seperti yang dihasilkan oleh residu yang bergantung pada linearitas $R_d$.

7. Ringkasan

1. Kesalahan prediksi dari uji buta 94 galaksi mengikuti tren linier yang bersih dalam panjang skala disk: $\text{error}(\%) \approx -31.7 + 12.8\, R_d$, dengan Pearson $r = +0.75$ dan RMSE residual $= 18.4\%$.

2. Regresi linier memotong nol pada $R_d = 2,48 $ kpc, pada dasarnya ukuran piringan Bimasakti yang menjadi acuan kalibrasi. Kedua ujung garis tersebut berhubungan dengan dua populasi pencilan yang berbeda secara fisik.

3. 15 galaksi yang diprediksi lebih dari $+30\%$ adalah galaksi-galaksi besar, masif, spiral tipe menengah: median $R_d = 4,5$ kpc, $M_\bintang \kirakira 10^{10}\, M_\odot\, $V_f \kirakira 200$ km/detik.

4. 12 galaksi yang diprediksi kurang dari 30 % adalah katai kompak bermassa rendah: median $R_d = 1,1 $ kpc, $M_\star \kira-kira 3 \kali 10^{8}\, M_\odot$, $V_f \kira-kira 80$ km/detik.

5. Deviasi dapat diserap oleh koreksi affine pada hukum panjang-koherensi, $\ell = c_\text{disk}(R_d – R_0)$, dengan $R_0 \kira-kira 2,5$ kpc – memperkenalkan satu konstanta baru.

Referensi. Lelli, F., McGaugh, S. S., Schombert, J. M. – SPARC: Model Massa untuk 175 Galaksi Cakram dengan Fotometri Spitzer dan Kurva Rotasi yang Akurat, AJ 152, 157 (2016). – de Vaucouleurs, G. dkk. – Katalog Referensi Ketiga Galaksi Terang, Springer (1991). – McGaugh, SS – Hukum ketiga rotasi galaksi, Galaxies 2, 601 (2014). – Dutertre, X. – Teori Lebah ™: Pemodelan Gravitasi Berbasis Gelombang, v2, BeeTheory.com (2023).

Anatomi dari Residual:Tren Linier dengan Ukuran Disk