BeeTheory · Foundations · Note technique I
Une fonction d’onde régularisée pour BeeTheory
Une refinement minimale à paramètre unique de la fonction d’onde BeeTheory qui supprime la singularité à l’origine tout en préservant toutes les prédictions de la théorie à plus grande échelle. Cette note établit la base mathématique nécessaire pour étendre BeeTheory de manière rigoureuse des particules élémentaires aux galaxies.
La fonction d’onde BeeTheory
$$\psi(r) = \frac{1}{N}\,\exp\!\left(-\frac{\sqrt{r^2 + a^2}}{a}\right)$$
où $a$ est l’échelle de longueur naturelle de la particule
(pour l’hydrogène : $a = a_0 = 5.29 \times 10^{-11}$ m, le rayon de Bohr)
Cette formule porte trois propriétés qui font de BeeTheory une théorie complète et bien définie à toute échelle, du subatomique au galactique :
| Propriété | Valeur à $r = 0$ | Comportement pour $r \gg a$ |
|---|---|---|
| Fonction d’onde $\psi(r)$ | $e^{-1} \approx 0.368$ (finie) | $\to e^{-r/a}$ (correspond au postulat original de BeeTheory) |
| Laplacien $\nabla^2\psi$ | $-3\,e^{-1}/a^2$ (finie) | $\to e^{-r/a}/a^2$ (asymptotiquement identique) |
| Paramètres libres | Un seul ($a$ uniquement) | Aucune échelle de longueur supplémentaire |
1. Pourquoi régulariser ?
BeeTheory, dans sa formulation originale (Dutertre 2023), postule que toute particule élémentaire est décrite par une fonction d’onde exponentielle radiale :
Postulat original de BeeTheory
$$\psi_0(r) = N_0 \cdot e^{-r/a}$$
Cette forme est élégante et mathématiquement transparente, et elle capture correctement le comportement à longue portée du champ d’onde. Cependant, lorsqu’elle est exprimée en coordonnées sphériques et soumise à l’opérateur laplacien qui apparaît dans l’équation de Schrödinger, un artefact apparaît à l’origine :
Laplacien de la forme originale
$$\nabla^2 \psi_0(r) = \psi_0(r) \cdot \left(\frac{1}{a^2} – \frac{2}{r\,a}\right)$$
Le terme $-2/(r\,a)$ croît sans borne lorsque $r \to 0$. C’est une caractéristique familière des idéalisations ponctuelles en physique — le même type de singularité qui apparaît dans le potentiel de Coulomb, et qui est couramment traité en physique nucléaire et atomique par des techniques de régularisation. La fonction d’onde BeeTheory régularisée décrite ci-dessous applique précisément ce type de technique établie.
2. Le principe de régularisation
Le principe est d’une simplicité élégante : remplacer $r$ par $\sqrt{r^2 + a^2}$ à l’intérieur de l’exponentielle. Cette substitution est une technique classique de régularisation utilisée dans toute la physique théorique — notamment pour les potentiels de Yukawa adoucis en physique des particules et les pseudopotentiels en chimie quantique. Elle n’introduit aucune nouvelle échelle physique : la longueur de régularisation est la longueur caractéristique propre de la particule, $a$.
La substitution
$$r \longrightarrow \sqrt{r^2 + a^2}$$
L’interprétation physique est naturelle et cohérente avec la vision fondatrice de BeeTheory des particules comme structures d’onde étendues : une particule dont la taille caractéristique est $a$ ne peut pas présenter une caractéristique plus petite que $a$ lui-même. Le champ d’onde au cœur de la particule est lisse à l’échelle de sa propre longueur de cohérence. C’est un renforcement du postulat original, non une rupture avec celui-ci.
Comportement aux deux limites
Près de l’origine ($r \ll a$) : en utilisant $\sqrt{r^2 + a^2} \approx a + r^2/(2a)$, on obtient
$$\psi(r) \approx e^{-1} \cdot e^{-r^2/(2a^2)}$$
La fonction d’onde se transforme en douceur en une gaussienne près du centre, avec une valeur finie $e^{-1}$ à $r = 0$. La densité de probabilité est bien définie sur tout l’intérieur de la particule.
Loin de l’origine ($r \gg a$) : en utilisant $\sqrt{r^2 + a^2} = r\sqrt{1 + (a/r)^2} \approx r + a^2/(2r)$, on obtient
$$\psi(r) \approx e^{-r/a} \cdot e^{-a/(2r)} \;\longrightarrow\; e^{-r/a}$$
On retrouve exactement la décroissance exponentielle du postulat original de BeeTheory. Toute prédiction de BeeTheory à des distances supérieures à l’échelle propre de la particule — y compris toute application atomique, planétaire et astrophysique de la théorie — est préservée sans modification.
3. Vérification numérique
Le tableau ci-dessous compare la fonction d’onde originale $\psi_0$ et la régularisée $\psi$, ainsi que leurs laplaciens, à diverses distances exprimées en unités de $r/a$ :
| $r/a$ | $\psi_0$ (originale) | $\nabla^2\psi_0$ | $\psi$ (régularisée) | $\nabla^2\psi$ |
|---|---|---|---|---|
| 0.001 | 0.999 | −1997 | 0.368 | −1.104 |
| 0.01 | 0.990 | −197.0 | 0.368 | −1.103 |
| 0.1 | 0.905 | −17.19 | 0.366 | −1.085 |
| 0.5 | 0.607 | −1.820 | 0.327 | −0.753 |
| 1.0 | 0.368 | −0.368 | 0.243 | −0.308 |
| 2.0 | 0.135 | 0.000 | 0.107 | −0.020 |
| 5.0 | 0.0067 | 0.004 | 0.0061 | 0.003 |
| 10.0 | 4.5×10⁻⁵ | ≈ 0 | 4.3×10⁻⁵ | ≈ 0 |
Le laplacien régularisé reste fini partout, avec une magnitude de l’ordre de $1/a^2$ près de l’origine, et converge vers l’expression originale au-delà de $r \approx 5a$. L’affinement est strictement local : confiné à un voisinage de la particule de taille $\sim a$, et totalement invisible à toute échelle supérieure.
4. Le laplacien analytique
La dérivation est directe. En posant $s(r) = \sqrt{r^2 + a^2}$ et $\psi(r) = N^{-1}\,e^{-s/a}$, les dérivées radiales sont :
Dérivées de s(r)
$$s'(r) = \frac{r}{s}, \qquad s »(r) = \frac{a^2}{s^3}$$
En appliquant la règle de la chaîne et le laplacien en coordonnées sphériques $\nabla^2 = \partial_r^2 + (2/r)\partial_r$ pour une fonction radiale symétrique, on obtient la forme fermée compacte :
Laplacien de la fonction d’onde BeeTheory
$$\boxed{\;\nabla^2 \psi(r) = \psi(r) \cdot \left[\frac{r^2}{a^2 s^2} – \frac{3}{a\,s} + \frac{r^2}{a\,s^3}\right]\;}$$
Cette expression est finie partout, y compris à $r = 0$. Évaluation aux deux limites naturelles :
| Limite | $s(r)$ | $\nabla^2 \psi(r)$ |
|---|---|---|
| $r \to 0$ | $s \to a$ | $\psi(0) \cdot (-3/a^2) = -3\,e^{-1}/a^2$ |
| $r \to \infty$ | $s \to r$ | $\psi(r) \cdot (1/a^2 – 3/(r\,a))$ |
À grande distance, le laplacien retrouve la forme de l’expression originale de BeeTheory $\psi \cdot (1/a^2 – 2/(r\,a))$ à une correction en $1/r$ près qui s’annule rapidement. La différence est négligeable au-delà de $r$ supérieur à $5a$ — bien à l’intérieur de tout régime physique pertinent pour les applications gravitationnelles ou astrophysiques.
5. Ce que cela débloque pour BeeTheory
Une théorie désormais bien définie à toute échelle
L’équation de Schrödinger de BeeTheory, appliquée à la $\psi$ régularisée, possède une énergie cinétique finie $-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi$ en tout point de l’espace. Le mécanisme gravitationnel fondé sur les ondes est désormais mathématiquement rigoureux depuis l’intérieur d’une seule particule jusqu’aux plus grandes échelles galactiques. C’est la base technique qui relie l’atomique au cosmique dans un cadre unique et cohérent.
Toutes les prédictions à longue portée sont préservées
Le comportement asymptotique de $\psi$ est identique à la fonction d’onde BeeTheory originale. Toute prédiction à des échelles de longueur supérieures au rayon atomique est préservée sans modification — y compris la loi gravitationnelle en inverse carré dérivée du laplacien sphérique, le théorème de la coque permettant de traiter les corps macroscopiques comme des particules ponctuelles, et l’extension aux distributions étendues de matière à l’échelle galactique. Le raffinement renforce la base sans perturber la structure qui s’y appuie.
La suite
Avec une fonction d’onde désormais définie rigoureusement partout, la dérivation centrale de BeeTheory — l’application de l’équation de Schrödinger à une paire d’ondes interagissantes donnant le potentiel gravitationnel en $1/R$ — peut être reformulée avec une rigueur mathématique complète, chaque étape étant explicite et chaque coefficient déterminé à partir des premiers principes. C’est l’objet de la prochaine note technique de cette série.
6. Résumé en trois lignes
1. La fonction d’onde BeeTheory est $\psi(r) = N^{-1}\,\exp\!\left(-\sqrt{r^2+a^2}/a\right)$.
2. Son laplacien est fini partout, prenant la valeur $-3\,e^{-1}/a^2$ à l’origine.
3. Au-delà de $r \approx 5a$, elle est numériquement indiscernable de l’originale $e^{-r/a}$.
Références. Dutertre, X. — Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023). Postulat original. · Schwabl, F. — Quantum Mechanics, 4e éd., Springer (2007). Régularisation des potentiels singuliers. · Hellmann, H. — A New Approximation Method in the Problem of Many Electrons, J. Chem. Phys. 3, 61 (1935). Origine historique des pseudopotentiels régularisés en mécanique quantique.
BeeTheory.com — Gravité quantique fondée sur les ondes · Fondations techniques · © Technoplane S.A.S. 2026