Η μάζα του Γαλαξία μας ως συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο του

Ορατή μάζα δίσκου – Λείπουσα μάζα – Εξισώσεις με βάση τους δακτυλίους – Γαλαξιακή ακτίνα

Η ορατή μάζα του δίσκου του Γαλαξία μας μπορεί να μοντελοποιηθεί προσθέτοντας τη μάζα των κύριων συστατικών του δίσκου: του λεπτού αστρικού δίσκου, του παχιά αστρικού δίσκου, του ατομικού αερίου υδρογόνου HI και του μοριακού αερίου υδρογόνου H₂.

Η μάζα του ορατού δίσκου γράφεται ως:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Το απλούστερο και πιο χρήσιμο μέρος είναι η μάζα του αστρικού δίσκου:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)
  • r είναι η απόσταση από το Γαλαξιακό Κέντρο σε kiloparsecs ή kpc.
  • M είναι η μάζα σε ηλιακές μάζες, M⊙.

Αυτή η εξίσωση δίνει την ορατή αστρική μάζα του δίσκου του Γαλαξία μας εντός της ακτίνας r.

Η μάζα που λείπει προκύπτει από τη σύγκριση της ορατής μάζας με τη δυναμική μάζα:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

Σε πρακτικές αστρονομικές μονάδες:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5\,v_c^2(r)\,r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

με vc(r) σε km/s, r σε kpc και μάζα σε M⊙.

Η τελική εξίσωση μάζας του ορατού δίσκου

Ο ορατός δίσκος του Γαλαξία μας αποτελείται από αστέρια και αέρια. Γράφουμε:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Οι δύο κύριες αστρικές συνιστώσες είναι ο λεπτός αστρικός δίσκος και ο παχύς αστρικός δίσκος.

Τα δύο συστατικά του αερίου είναι το ατομικό υδρογόνο, HI, και το μοριακό υδρογόνο, H₂.

Η πιο καθαρή εξίσωση είναι η εξίσωση του αστρικού δίσκου:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)

Πλήρως γραμμένο:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Αυτή είναι η κύρια εξίσωση για τη μάζα του ορατού αστρικού δίσκου του Γαλαξία μας.

Γιατί ο δίσκος του Γαλαξία μας μοντελοποιείται με δακτυλίους

Ο δίσκος του Γαλαξία μας δεν είναι μια συμπαγής σφαίρα. Είναι περισσότερο ένας μεγάλος πεπλατυσμένος δίσκος.

Για να υπολογίσουμε τη μάζα του, το διαιρούμε σε πολλούς λεπτούς κυκλικούς δακτυλίους.

Ένας δακτύλιος με ακτίνα r έχει περιφέρεια:

\(2\pi r\)

Εάν ο δακτύλιος έχει μικρό πλάτος dr, τότε το εμβαδόν του είναι:

\(dA=2\pi r\,dr\)

Αν η πυκνότητα μάζας της επιφάνειας είναι Σ(r), τότε η μάζα του δακτυλίου είναι:

\(dM=\Sigma(r)\,2\pi r\,dr\)

Αυτή είναι η βασική ιδέα.

Η συνολική μάζα εντός της ακτίνας r προκύπτει από την πρόσθεση όλων των δακτυλίων από το Γαλαξιακό Κέντρο έως το r:

\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma(R)\,R\,dR\)

Έτσι, η μάζα του δίσκου δεν αποτελείται από σφαιρικά κελύφη. Είναι δομημένη από κυκλικούς δακτυλίους.

Ο εκθετικός δίσκος

Η επιφανειακή πυκνότητα των αστέρων σε ένα γαλαξιακό δίσκο συχνά μοντελοποιείται ως εκθετική συνάρτηση:

\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)
  • Σ0 είναι η πυκνότητα μάζας της κεντρικής επιφάνειας.
  • Rd είναι το μήκος κλίμακας του δίσκου.
  • r είναι η απόσταση από το Γαλαξιακό Κέντρο.

Αυτό σημαίνει ότι ο δίσκος είναι πιο πυκνός κοντά στο κέντρο και γίνεται λιγότερο πυκνός καθώς αυξάνεται το r.

Αντικαθιστώντας την εκθετική επιφανειακή πυκνότητα στην εξίσωση του δακτυλίου προκύπτει:

\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)

Η επίλυση του ολοκληρώματος δίνει:

\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)

Αυτός είναι ο θεμελιώδης τύπος δίσκου-μάζας.

Στοιχείο 1 – Ο λεπτός αστρικός δίσκος

Ο λεπτός δίσκος είναι το φωτεινό, επίπεδο, αστροπαραγωγικό τμήμα του Γαλαξία μας. Περιέχει νεαρά αστέρια, πολλά αστέρια που μοιάζουν με τον Ήλιο, σπειροειδείς βραχίονες, αέριο, σκόνη και ενεργές περιοχές αστρογένεσης.

Για τον λεπτό δίσκο, χρησιμοποιούμε:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)

Από τότε:

\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)

μετατρέπουμε:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Η μάζα του λεπτού δίσκου εντός της ακτίνας r είναι:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)

Επομένως:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)

Σε πολύ μεγάλη ακτίνα:

\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)

Στοιχείο 2 – Ο παχύς αστρικός δίσκος

Ο παχύς δίσκος είναι παλαιότερος και πιο κατακόρυφα εκτεταμένος. Περιέχει παλαιότερα αστέρια που κινούνται πιο μακριά πάνω και κάτω από το γαλαξιακό επίπεδο.

Για τον παχύ δίσκο, χρησιμοποιούμε:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)

Μετατροπή της επιφανειακής πυκνότητας:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Η μάζα του πυκνού δίσκου εντός της ακτίνας r είναι:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Επομένως:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)

Σε πολύ μεγάλη ακτίνα:

\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)

Συνολική μάζα αστρικού δίσκου

Προσθήκη των λεπτών και παχιών δίσκων:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)

Λοιπόν:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Η συνολική μάζα του αστρικού δίσκου είναι:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)

Έτσι, ο ορατός αστρικός δίσκος του Γαλαξία μας περιέχει περίπου 45,7 δισεκατομμύρια ηλιακές μάζες.

Προσθήκη του δίσκου αερίου

Ο δίσκος του Γαλαξία μας περιέχει επίσης ορατό αέριο. Τα δύο κύρια συστατικά του αερίου είναι το ατομικό υδρογόνο, HI, και το μοριακό υδρογόνο, H₂.

Το αέριο δεν μοντελοποιείται ως ένας απλός εκθετικός δίσκος επειδή έχει μια κεντρική κοιλότητα. Μια χρήσιμη μορφή είναι:

\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)
  • Rm είναι η κλίμακα κεντρικής οπής.
  • Rd είναι το ακτινικό μήκος κλίμακας.

Η μάζα εντός της ακτίνας r είναι:

\(M_{\mathrm{gas}}(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{R}-\frac{R}{R_d}\right)R\,dR\)

Ατομικό αέριο υδρογόνο: HI

Για το ατομικό υδρογόνο:

\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)

Μια κανονικοποιημένη εξίσωση είναι:

\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}M_\odot\)

Αυτό δίνει το κλάσμα της συνολικής μάζας του αερίου HI που περιέχεται εντός της ακτίνας r.

Μοριακό αέριο υδρογόνο: H₂

Για μοριακό υδρογόνο:

\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)

Η κανονικοποιημένη εξίσωση μάζας είναι:

\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}M_\odot\)

Πλήρης εξίσωση ορατού δίσκου

Η πλήρης εξίσωση του ορατού δίσκου είναι:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Γράφτηκε πλήρως:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}+1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\)
  • Τα r και R είναι σε kpc.
  • Το Μ είναι στο Μ⊙.

Αυτή η εξίσωση δίνει τη μάζα του ορατού δίσκου του Γαλαξία μας μέσα σε μια ακτίνα r.

Δυναμική μάζα από περιστροφή

Η παρατηρούμενη ταχύτητα περιστροφής του Γαλαξία μας δείχνει πόση μάζα απαιτείται βαρυτικά.

Για κυκλική κίνηση:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)
  • vc(r) είναι η κυκλική ταχύτητα στην ακτίνα r.
  • G είναι η βαρυτική σταθερά.

Σε πρακτικές μονάδες:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)

Εάν η ταχύτητα περιστροφής είναι περίπου επίπεδη:

\(v_c(r)\approx233\,\mathrm{km/s}\)

τότε:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq2.325\times10^5(233)^2r\,M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq1.26\times10^{10}r\,M_\odot\)

με r σε kpc.

Αυτό σημαίνει ότι αν η καμπύλη περιστροφής παραμένει σχεδόν επίπεδη, η δυναμική μάζα αυξάνεται σχεδόν γραμμικά με την ακτίνα.

Η εξίσωση της ελλείπουσας μάζας

Η μάζα που λείπει είναι η διαφορά μεταξύ της δυναμικής μάζας και της ορατής μάζας:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση περιστροφής:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

Σε πρακτικές μονάδες:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)
  • vc(r) είναι σε km/s.
  • Το r είναι σε kpc.
  • Το Μ είναι στο Μ⊙.

Αν επικεντρωθούμε μόνο στον ορατό δίσκο:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)\simeq2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)

Αυτή είναι η κεντρική εξίσωση που συνδέει την παρατηρούμενη περιστροφή του Γαλαξία μας με την ορατή μάζα του δίσκου του.

Μια κυματο-βασισμένη επέκταση της ελλείπουσας μάζας

Ένα μοντέλο δίσκου εξηγεί την ορατή μάζα. Η μάζα που λείπει είναι αυτή που απομένει μετά τη σύγκριση αυτής της ορατής μάζας με τη δυναμική μάζα.

Ένα μοντέλο βασισμένο στα κύματα μπορεί να περιγράψει τη μάζα που λείπει ως μια αποτελεσματική πυκνότητα που δημιουργείται από τον ορατό δίσκο.

Η βασική ιδέα είναι ότι κάθε ορατό στοιχείο μάζας δημιουργεί ένα αποτελεσματικό πεδίο που μειώνεται με την απόσταση.

Έστω η απόσταση μεταξύ ενός σημείου πηγής r′ και ενός σημείου παρατήρησης r:

\(D=|r-r’|\)

Τότε μια στοιχειώδης συνεισφορά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

\(d\rho_{\mathrm{wave}}(r)=\rho_{\mathrm{visible}}(r’)\,\lambda e^{-D/\ell}\,dV\)
  • λ είναι ένας παράγοντας σύζευξης χωρίς διαστάσεις.
  • Τοℓ είναι ένα μήκος συνοχής.
  • D είναι η απόσταση μεταξύ της πηγής και του σημείου παρατήρησης.

Αυτή η μορφή σημαίνει ότι η πραγματική συνεισφορά μειώνεται εκθετικά με την απόσταση:

\(e^{-D/\ell}\)

Η παράμετρος ℓ ελέγχει πόσο μακριά εκτείνεται το εφέ.

Αποτελεσματική πυκνότητα από ολόκληρο το δίσκο

Για ένα δίσκο, η συνολική πραγματική πυκνότητα σε ένα σημείο (R,z) μπορεί να γραφεί ως συνέλιξη του ορατού δίσκου με έναν εκθετικό πυρήνα.

Ο αρχικός δίσκος έχει επιφανειακή πυκνότητα:

\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)

Ένα σημείο της πηγής του δίσκου βρίσκεται σε ακτίνα R′ και γωνία φ.

Η απόσταση από αυτό το σημείο πηγής σε ένα σημείο παρατήρησης (R,z) είναι:

\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)

Η πραγματική πυκνότητα είναι τότε:

\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)

με:

\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)

Αυτή η εξίσωση λέει ότι κάθε δακτύλιος ορατής μάζας συνεισφέρει στην αποτελεσματική πυκνότητα στο (R,z), με μια ισχύ που φθίνει ως e-D/ℓ.

Ερμηνεία δακτυλίου προς δακτύλιο

Ο δίσκος μπορεί και πάλι να γίνει κατανοητός μέσω των δακτυλίων.

Ένας ορατός δακτύλιος σε ακτίνα R′ έχει μάζα:

\(dM_{\mathrm{visible}}=2\pi R’\Sigma(R’)\,dR’\)

Στην επέκταση με βάση τα κύματα, αυτός ο δακτύλιος συμβάλλει στην αποτελεσματική πυκνότητα γύρω του.

Η συμβολή είναι ισχυρότερη κοντά στον δακτύλιο και μειώνεται με την απόσταση:

\(e^{-D/\ell}\)

Έτσι, η πραγματική πυκνότητα δεν εισάγεται με το χέρι ως σφαιρικό φωτοστέφανο. Δημιουργείται από τη γεωμετρία του ίδιου του δίσκου.

Σε μικρές αποστάσεις, ακολουθεί τη γεωμετρία του δίσκου. Σε μεγαλύτερες αποστάσεις, μετά την ολοκλήρωση σε πολλούς δακτυλίους, η αποτελεσματική κατανομή μπορεί να γίνει πιο ομαλή και πιο εκτεταμένη.

Συμπαγής τύπος για την αποτελεσματική πυκνότητα με βάση τα κύματα

Χρησιμοποιώντας τον εκθετικό δίσκο:

\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)

μπορεί κανείς να γράψει την αποτελεσματική πυκνότητα σχηματικά ως εξής:

\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda\Sigma_0}{\ell}\int_0^\infty R’e^{-R’/R_d}\left[\int_0^{2\pi}e^{-\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}/\ell}\,d\phi\right]dR’\)

Αυτή είναι η πιο καθαρή γενική μορφή. Διατηρεί την πραγματική γεωμετρία του δίσκου:

  • R′ είναι η ακτίνα του δακτυλίου της πηγής.
  • R είναι η ακτίνα παρατήρησης στο γαλαξιακό επίπεδο.
  • z είναι το ύψος πάνω ή κάτω από το γαλαξιακό επίπεδο.
  • φ είναι η γωνία γύρω από τον δακτύλιο της πηγής.

Από την Αποτελεσματική Πυκνότητα στην Αποτελεσματική Μάζα

Αφού είναι γνωστή η πραγματική πυκνότητα, η αντίστοιχη πραγματική μάζα εντός της ακτίνας r μπορεί να γραφτεί ως εξής:

\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_{V(r)}\rho_{\mathrm{wave}}(\mathbf{x})\,d^3x\)

Σε σφαιρικές συντεταγμένες:

\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_0^r\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\rho_{\mathrm{wave}}(s,\theta,\phi)s^2\sin\theta\,d\phi\,d\theta\,ds\)

Αυτή η αποτελεσματική μάζα μπορεί στη συνέχεια να συγκριθεί με την παρατηρούμενη ελλείπουσα μάζα:

\(M_{\mathrm{wave}}(<r)\approx M_{\mathrm{missing}}(<r)\)

Αυτό δίνει μια ελέγξιμη συνθήκη.

Ο βασικός φυσικός περιορισμός

Οι επίπεδες γαλαξιακές καμπύλες περιστροφής απαιτούν περίπου:

\(v_c(r)\approx\mathrm{constant}\)

Εάν η vc(r) είναι περίπου σταθερή, τότε:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2}{G}\)

έτσι:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\propto r\)

Αυτός είναι ο βασικός λόγος που εμφανίζεται η ελλείπουσα μάζα.

Η μάζα του ορατού δίσκου δεν αυξάνεται γραμμικά για πάντα. Πλησιάζει μια πεπερασμένη συνολική μάζα:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\rightarrow M_{\mathrm{disk,visible}}(\infty)\)

Αλλά η δυναμική μάζα που προκύπτει από μια επίπεδη καμπύλη περιστροφής συνεχίζει να αυξάνεται:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\propto r\)

Επομένως:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

αυξάνεται επίσης με την ακτίνα.

Απλό αριθμητικό παράδειγμα στην ακτίνα του ήλιου

Ο Ήλιος βρίσκεται σε περίπου:

\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση του αστρικού δίσκου:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)

Αυτό δίνει περίπου:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\approx3.7\times10^{10}M_\odot\)

Εάν η κυκλική ταχύτητα είναι:

\(v_c\simeq233\,\mathrm{km/s}\)

τότε η δυναμική μάζα μέσα στα 8,2 kpc είναι:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)=2.325\times10^5(233)^2(8.2)M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)\approx1.03\times10^{11}M_\odot\)

Η διαφορά δείχνει γιατί η ορατή μάζα από μόνη της δεν μπορεί να εξηγήσει την παρατηρούμενη περιστροφή.

Τι περιλαμβάνει και τι δεν περιλαμβάνει αυτό το μοντέλο

ΣτοιχείοΣυμπεριλαμβάνεται στην εξίσωση δίσκου;
Λεπτός αστρικός δίσκοςΝαι
Παχύς αστρικός δίσκοςΝαι
Ατομικό αέριο υδρογόνο, HIΝαι
Μοριακό αέριο υδρογόνο, H₂Ναι
Κεντρικό εξόγκωμα/μπαρΌχι
Αστρικό φωτοστέφανοΌχι
Φωτοστέφανο σκοτεινής ύληςΌχι
Πραγματική μάζα με βάση τα κύματαΠροαιρετική επέκταση

Οι παραπάνω εξισώσεις επικεντρώνονται στο δίσκο.

Ένα πλήρες μοντέλο μάζας του Γαλαξία μας θα περιλάμβανε επίσης:

\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{disk}}+M_{\mathrm{bulge}}+M_{\mathrm{stellar\,halo}}+M_{\mathrm{missing}}\)

ή, σε μια διατύπωση βασισμένη σε κύματα:

\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{visible}}+M_{\mathrm{wave}}\)

Τελική σύνοψη των κύριων εξισώσεων

Ορατός αστρικός δίσκος

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Πλήρης ορατός δίσκος

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}+M_{\mathrm{thick}}+M_{\mathrm{HI}}+M_{\mathrm{H_2}}\)

Δυναμική μάζα

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)

Λείπει μάζα

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

Μάζα δακτυλίου

\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)

Εκθετικός δίσκος

\(\Sigma(r)=\Sigma_0e^{-r/R_d}\)

Αποτελεσματική πυκνότητα με βάση τα κύματα

\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)

με:

\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)

Γλωσσάριο

Γαλαξιακό Κέντρο
Η κεντρική περιοχή του Γαλαξία μας.

Ακτίνα r
Απόσταση από το Γαλαξιακό Κέντρο, συνήθως μετριέται σε kiloparsecs.

Kiloparsec, kpc
Μονάδα γαλαξιακής απόστασης. Ένα kpc είναι περίπου 3.260 έτη φωτός.

Ηλιακή μάζα, M⊙
Η μάζα του Ήλιου.

Επιφανειακή πυκνότητα, Σ(r)
Μάζα ανά μονάδα επιφάνειας του γαλαξιακού δίσκου.

Λεπτός δίσκος
Το επίπεδο, φωτεινό, αστροπαραγωγικό τμήμα του Γαλαξία μας.

Παχύς δίσκος
Ένα παλαιότερο, πιο κατακόρυφα εκτεταμένο αστρικό στοιχείο.

HI
Ατομικό αέριο υδρογόνο.

H₂
Μοριακό αέριο υδρογόνο.

Δυναμική μάζα
Η μάζα που απαιτείται για να εξηγηθεί η παρατηρούμενη ταχύτητα περιστροφής.

Λείπει μάζα
Η διαφορά μεταξύ δυναμικής μάζας και ορατής μάζας.

Μήκος συνοχής, ℓ
Στην επέκταση με βάση τα κύματα, η κλίμακα απόστασης κατά την οποία η αποτελεσματική συνεισφορά μειώνεται.

Συντελεστής σύζευξης, λ
Μια παράμετρος χωρίς διαστάσεις που ελέγχει την ισχύ της συνεισφοράς του πραγματικού κύματος.

Συχνές ερωτήσεις

Ποια είναι η πιο σημαντική εξίσωση;

Η πιο σημαντική εξίσωση του ορατού δίσκου είναιη Mdisk,visible(<r)=Mthin+Mthick+MHI+MH₂. Η πιο σημαντική εξίσωση για τη μάζα που λείπει είναι Mmissing(<r)=rvc²(r)/G-Mvisible(<r).

Γιατί χρησιμοποιούμε δακτυλίους;

Επειδή ο δίσκος του Γαλαξία μας είναι επίπεδος. Ένας δίσκος είναι φυσικά κατασκευασμένος από κυκλικούς δακτυλίους, οπότε η μάζα των δακτυλίων είναι dM=2πrΣ(r)dr.

Γιατί η ορατή μάζα σταματά να αυξάνεται γρήγορα;

Επειδή η πυκνότητα του δίσκου μειώνεται εκθετικά. Σε μεγάλη ακτίνα, υπάρχει όλο και λιγότερη ορατή ύλη.

Γιατί εμφανίζεται η μάζα που λείπει;

Επειδή η παρατηρούμενη καμπύλη περιστροφής παραμένει σχεδόν επίπεδη σε μεγάλες αποστάσεις. Μια επίπεδη καμπύλη περιστροφής συνεπάγεται ότι η δυναμική μάζα αυξάνεται περίπου γραμμικά με την ακτίνα, ενώ η ορατή μάζα του δίσκου όχι.

Αποδεικνύει αυτή η σελίδα ένα συγκεκριμένο μοντέλο σκοτεινής ύλης;

Όχι. Οι εξισώσεις του δίσκου περιγράφουν την ορατή ύλη. Η εξίσωση της ελλείπουσας μάζας δείχνει το χάσμα μεταξύ της ορατής μάζας και της δυναμικής μάζας. Το μέρος που βασίζεται στα κύματα είναι ένα πρόσθετο μοντέλο που μπορεί να ελεγχθεί με βάση την παρατηρούμενη καμπύλη περιστροφής.

Σημειώσεις προσβασιμότητας

Προτεινόμενο κείμενο alt εικόνας:

  • Εικόνα 1: “Διάγραμμα από πάνω προς τα κάτω του δίσκου του Γαλαξία μας χωρισμένο σε κυκλικούς δακτυλίους γύρω από το Γαλαξιακό Κέντρο”.
  • Εικόνα 2: “Πλευρική άποψη του Γαλαξία μας που δείχνει έναν λεπτό δίσκο που περιβάλλεται από έναν παχύτερο αστρικό δίσκο”.
  • Εικόνα 3: “Γραφική παράσταση της μάζας του ορατού δίσκου και της δυναμικής μάζας που αυξάνεται με την απόσταση από το Γαλαξιακό Κέντρο”.
  • Εικόνα 4: “Απεικόνιση ενός εκθετικού πεδίου που μειώνεται με την απόσταση από ένα ορατό στοιχείο μάζας”.