Die Masse der Milchstraßenscheibe als Funktion des Radius
TL;DR
Die sichtbare Masse der Milchstraßenscheibe kann als Summe mehrerer Komponenten modelliert werden: die dünne stellare Scheibe, die dicke stellare Scheibe, das atomare Wasserstoffgas HI und das molekulare Wasserstoffgas H₂.
Die nützlichste Gleichung ist:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)wobei r die Entfernung vom Galaktischen Zentrum in Kiloparsec oder kpc ist.
Für den stellaren Teil der Scheibe beträgt die Masse innerhalb des Radius r unter Verwendung der allgemein angenommenen Milchstraßenparameter aus dem galaktischen Massenmodell von McMillan:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)mit r in kpc und Masse in Sonnenmassen, M⊙.
Diese Gleichung beschreibt die sichtbare stellare Masse der Milchstraßenscheibe als Funktion der Entfernung vom galaktischen Zentrum.
Endgültige Gleichung für die Masse der sichtbaren Scheibe
Die sichtbare Scheibe der Milchstraße kann wie folgt beschrieben werden:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Der stellare Teil ist der sauberste:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)Mit numerischen Parametern:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)wo:
- r = Entfernung vom Galaktischen Zentrum in kpc
- Mdisk,stars = Sternscheibenmasse innerhalb des Radius r
- M⊙ = eine Sonnenmasse
Die hier verwendeten Parameter stammen aus McMillans Milchstraßen-Massenmodell von 2017, das einen Sonnenradius R₀ = 8,20 ± 0,09 kpc, eine Kreisgeschwindigkeit v₀ = 232,8 ± 3,0 km/s und eine stellare Gesamtmasse von (54,3 ± 5,7) × 10⁹ M⊙ ergibt.
Die Milchstraßenscheibe ist aus Ringen aufgebaut
Eine einfache Möglichkeit, die Massengleichung zu verstehen, besteht darin, sich vorzustellen, dass die galaktische Scheibe in viele dünne kreisförmige Ringe unterteilt ist.
Jeder Ring hat:
\(\mathrm{Umfang}=2\pi r\) \(\mathrm{Breite}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)Wenn die Oberflächenmassendichte der Scheibe Σ(r) ist, dann ist die Masse eines dünnen Rings:
\(dM=2\pi r\,\Sigma(r)\,dr\)Die Masse innerhalb des Radius r erhält man, indem man alle Ringe vom Zentrum bis r addiert:
\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)Dies ist die mathematische Grundidee hinter der Gleichung der Scheibenmasse.
Die Exponentialscheibengleichung
Die stellare Scheibe der Milchstraße wird normalerweise durch eine exponentielle Oberflächendichte approximiert:
\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)wo:
- Σ₀ = Massendichte der zentralen Oberfläche
- Rd = Skalenlänge der Scheibe
- r = Entfernung vom galaktischen Zentrum
Die Skalenlänge Rd sagt uns, wie schnell die Scheibe an Dichte verliert, wenn wir uns nach außen bewegen.
Setzt man diese Dichte in die Ringgleichung ein, erhält man:
\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)Die Lösung des Integrals ergibt:
\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)Dies ist die wichtigste Gleichung, die für die stellare Scheibe verwendet wird.
Komponente 1 – Die dünne Stellarscheibe
Die dünne Scheibe ist der helle, flache, sternbildende Teil der Milchstraße. Sie enthält junge Sterne, viele sonnenähnliche Sterne, Gas, Staub und die Spiralarme.
Für die dünne stellare Scheibe:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)Seitdem:
\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)schreiben wir:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)Die Masse innerhalb des Radius r ist:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)Deshalb:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)Die Gesamtmasse der dünnen Scheibe erhält man, indem man r → ∞ nimmt:
\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)Komponente 2 – Die dicke Stellarscheibe
Die dicke Scheibe ist älter, vertikal ausgedehnter und diffuser als die dünne Scheibe. Ihre Sterne bewegen sich weiter über und unter der galaktischen Ebene.
Für die dicke stellare Scheibe:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)Also:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)Die Masse innerhalb des Radius r ist:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Deshalb:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)Die Gesamtmasse der dicken Scheibe ist:
\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)Stellare Scheibenmasse: Dünne Scheibe + Dicke Scheibe
Die Addition der beiden stellaren Komponenten ergibt:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)oder:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Bei sehr großem Radius:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)In diesem Modell enthält die sichtbare stellare Scheibe der Milchstraße also etwa:
45,7 Milliarden Sonnenmassen
Komponente 3 – Atomares Wasserstoffgas, HI
Die Scheibe der Milchstraße enthält auch sichtbares Gas. Die erste große Gaskomponente ist atomarer Wasserstoff, kurz HI.
Im Gegensatz zur stellaren Scheibe wird das Gas nicht gut durch eine einfache exponentielle Scheibe beschrieben. Es hat eine zentrale Vertiefung oder ein „Loch“, daher ist eine bessere Form:
\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)Für HI:
\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)Die Masse innerhalb des Radius r ist:
\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)Diese Gleichung besagt: Nehmen Sie die gesamte HI-Masse und multiplizieren Sie sie mit dem Anteil der HI-Scheibe, der innerhalb des Radius r liegt.
Komponente 4 – Molekulares Wasserstoffgas, H₂
Die zweite große Gaskomponente ist molekularer Wasserstoff, geschrieben H₂. Dieses Gas ist enger mit kalten Wolken und der Sternbildung verbunden.
Für H₂:
\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)Die Masse innerhalb des Radius r ist:
\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)Vollständige Gleichung der sichtbaren Scheibenmasse
Die Kombination von Sternen und Gas:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Vollständig geschrieben:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)wo:
- r und R sind in kpc
- M ist in M⊙
Diese Gleichung gibt die sichtbare Scheibenmasse der Milchstraße innerhalb eines Radius r, gemessen vom galaktischen Zentrum, an.
Beispiel: Masse innerhalb der Sonnenumlaufbahn
Die Sonne befindet sich ungefähr auf der Höhe:
\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)Verwenden Sie nur die Gleichung für die stellare Scheibe:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)Rechnerisch ergibt dies ungefähr:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)Innerhalb der Sonnenumlaufbahn enthält die Sternscheibe also bereits den größten Teil der Gesamtmasse der Sonne.
Warum Ringe verwenden?
Die Ringmethode ist nützlich, weil eine Galaxienscheibe keine Kugel ist.
Bei einem kugelförmigen Objekt hat die Massenschale am Radius r eine Fläche:
\(4\pi r^2\)Aber bei einer dünnen Scheibe ist die Masse über kreisförmige Ringe verteilt:
\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)Deshalb sehen die Gleichungen für die Scheibenmasse anders aus als die Gleichungen für die kugelförmige Masse.
In einer Diskette:
Masse kommt von Ringen
In einer Kugel:
Die Masse kommt von den Muscheln
Die Milchstraße enthält sowohl scheibenförmige als auch kugelförmige Komponenten, aber diese Seite konzentriert sich auf die Scheibe.
Was diese Gleichung beinhaltet
Die Gleichung enthält:
| Komponente | Bedeutung | Eingeschlossen? |
|---|---|---|
| Dünne stellare Scheibe | Junge und mittelalte Sterne in der Nähe der galaktischen Ebene | Ja |
| Dicke stellare Scheibe | Ältere Sterne, die weiter vom Flugzeug entfernt sind | Ja |
| HI-Gas | Atomarer Wasserstoff | Ja |
| H₂-Gas | Molekularer Wasserstoff | Ja |
| Wulst/Balken | Zentrale stellare Struktur | Nein |
| Halo der dunklen Materie | Unsichtbare Gravitationskomponente | Nein |
| Stellarer Halo | Sehr diffuse alte Sterne | Nein |
Deshalb nennen wir sie die sichtbare Scheibenmasse und nicht die gesamte Masse der Milchstraße.
Wie dies mit der fehlenden Masse zusammenhängt
Sobald die sichtbare Scheibenmasse bekannt ist, vergleichen die Astronomen sie mit der Masse, die für die beobachtete Rotation der Galaxie erforderlich ist.
Die aus der Kreisbewegung abgeleitete dynamische Masse ist:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)In praktischen Einheiten:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)Die fehlende Masse ist dann:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Für diese Seite ist der Beitrag der Festplatte:
\(M_{\mathrm{visible}}(<r)\approx M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)Ein vollständiges Milchstraßenmodell würde auch den zentralen Bulge/Balken und andere kleinere baryonische Komponenten hinzufügen.
Wichtige Beschränkungen
Dieses Modell ist nützlich, aber es ist nicht perfekt.
Erstens ist die Milchstraße keine vollkommen glatte, achsensymmetrische Scheibe. Sie hat Spiralarme, einen zentralen Balken, Sternentstehungsgebiete und lokale Strukturen.
Zweitens ist Gas schwer zu modellieren, weil wir es aus dem Inneren der Galaxie beobachten. Seine Entfernung und Rotation müssen aus Geschwindigkeitsdaten rekonstruiert werden.
Drittens hat die Scheibe eine vertikale Dicke. Bei den obigen Gleichungen handelt es sich hauptsächlich um Gleichungen für die Oberflächendichte, die sich hervorragend für radiale Massenprofile eignen, aber nicht jedes vertikale Detail beschreiben.
Viertens hängen die Parameter von dem gewählten galaktischen Modell ab. Das Modell von McMillan ist ein starker Bezugspunkt, aber verschiedene Studien können leicht unterschiedliche Scheibenmassen, Skalenlängen und Gasprofile angeben. McMillan gibt ausdrücklich statistische Unsicherheiten für wichtige globale Parameter wie R₀, v₀, Sternmasse, Virialmasse und lokale Dichte der dunklen Materie an.
Glossar
Galaktisches Zentrum
Die zentrale Region der Milchstraße, um das supermassive Schwarze Loch Sagittarius A*.
Kiloparsec, kpc
Eine Entfernungseinheit, die in der galaktischen Astronomie verwendet wird. Ein Kiloparsec entspricht etwa 3.260 Lichtjahren.
Sonnenmasse, M⊙
Die Masse der Sonne. Sie wird in der Astronomie als Standardmasseneinheit verwendet.
Oberflächendichte, Σ(r)
Masse pro Flächeneinheit der galaktischen Scheibe bei Radius r.
Skalenlänge, Rd
Die Entfernung, über die die Scheibendichte um einen Faktor e abnimmt.
Dünne Scheibe
Die flache, dichte, sternbildende Scheibe der Milchstraße.
Dicke Scheibe
Eine ältere, vertikal ausgedehnte stellare Scheibe, die die dünne Scheibe umgibt.
HI
Atomares Wasserstoffgas.
H₂
Molekulares Wasserstoffgas.
Dynamische Masse
Die Masse, die erforderlich ist, um die beobachtete Umlaufgeschwindigkeit von Sternen und Gas zu erklären.
Fehlende Masse
Die Differenz zwischen der dynamischen Masse und der sichtbaren Masse.
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- Alt-Text für Diagramm 1: „Frontalansicht der Milchstraßenscheibe, die in kreisförmige Ringe um das galaktische Zentrum unterteilt ist.“
- Alt-Text für Diagramm 2: „Seitenansicht der Milchstraße, die eine dünne stellare Scheibe zeigt, die in eine dickere, ältere stellare Scheibe eingebettet ist.“
- Alt-Text für die Grafik: „Die Grafik zeigt die kumulative sichtbare Scheibenmasse, die mit dem Radius vom galaktischen Zentrum zunimmt.“
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Vorgeschlagene interne Links
- Rotationskurve der Milchstraße
- Dunkle Materie und fehlende Masse
- Was ist ein Kiloparsec?
- Das Galaktische Zentrum erklärt
- Dünne Scheibe vs. dicke Scheibe
Empfohlene externe Referenzen
Lesen Sie weiter:
- McMillan, P. J. „Die Massenverteilung und das Gravitationspotenzial der Milchstraße“. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2017.
- McMillan, P. J. „Massenmodelle der Milchstraße.“ arXiv, 2011.
- Cautun et al. „The Milky Way total mass profile as inferred from Gaia DR2“. Das Papier modelliert die Milchstraße mit einem Bulge, einer dünnen Scheibe, einer dicken Scheibe, einer HI-Scheibe, einer Molekulargasscheibe, zirkumgalaktischem Gas und einem dunklen Halo.
- Marasco et al. „Distribution and kinematics of atomic and molecular gas inside the Solar circle“. Diese Studie modelliert das galaktische Gas anhand von Ringen und passt HI- und CO-Daten an.
Sichtbare Masse
Um die sichtbare Masse der Milchstraße bei einem beliebigen Radius zu schätzen, wählen Sie einen Wert für r in kpc und setzen ihn in:
Verwenden Sie für eine erste Berechnung die einfachere Stern-Scheiben-Gleichung. Fügen Sie dann HI- und H₂-Gas hinzu, um ein vollständigeres Modell der sichtbaren Scheibe zu erhalten.