技术说明 XXXVIII

蜜蜂理论对径向加速度关系的首次测试

BeeTheory.com – Xavier Dutertre – Technoplane S.A.S. – 2026年5月20日

结果我们将BeeTheory的3参数模型（\(\lambda = 12.696\), \(c = 0.163\), \(\ell_\{rm floor} = 3.00\) kpc）与McGaugh, Lelli & Schombert（2016）的径向加速度关系（RAR）进行了对比。在101个SPARC无球星系的909个采样点上评估预测的\(g_{\rm obs}(g_{\rm bar})\), BeeTheory云的整体形状是正确的–它在低\(g_{\rm bar}\) 时遵循McGaugh曲线–但是平均偏高了+0.25dex，离散度为0.39dex（经验值为0.13dex）。这种偏差并不均匀：在低加速度时（\(g_\rm bar} < 10^{-12}\) m/s²），BeeTheory与RAR一致，而在高加速度时（\(g_\dagger\)左右或以上），它的预测偏高了0.4到0.5 dex。该模型捕捉到了类似于MOND的渐近行为，但在小半径时未能恢复牛顿极限。这是一个局部的成功，也是下一步改进的明确指针。

1.测试

径向加速度关系表达了在旋转曲线上测量到的两个量之间惊人的紧密经验相关性：\g_{\rm bar}(R)（仅由可见物质产生的牛顿加速度）和 \(g_{\rm obs}(R)（从旋转速度推断出的总向心加速度）。McGaugh、Lelli 和 Schombert（2016 年）的研究表明，约有 150 个 SPARC 星系落在一条曲线上：

\frac{g_{\rm bar}}{1 -exp\!\left(-sqrt{g_{\rm bar}/g_\dagger}\right)},\qquad g_\dagger = (1.20\pm 0.02)乘以 10^{-10}\;{\rm m/s}^2 \].

这条曲线周围的离散度只有 ~0.13 dex，几乎没有大于观测的不确定性。任何声称要取代暗物质的修正引力理论都必须逐点重现这一关系。RAR是市场上最严格的经验过滤器。

蜜蜂理论的预测很直接。在星系内的每一个半径（R）上，可见物质都会产生波场，波场的包围质量与重子包围质量的耦合度（）相加：

\g_{rm obs}^{rm BT}(R) &= g_{rm bar}(R) + G\lambda,M_{\rm wave}(<\!M_{rm wave}(<\! R) &= M,\bigl[（1 - （1 + x + x^2/2））\e^{-x}\bigr],\quad x = R/\ell_{rm wave}.\ell_{rm wave} &= c\,R_d + \ell_{rm floor}\end{aligned}\]

我们使用与校准相同的重子分解：\M_{\rm disk} = \Upsilon\cdot 2\pi\,\Sigma_d\,R_d^2\) with \(\Upsilon = 0.5\),\(M_{\rm gas} = 1.33\,M_{\rm HI}\),\(R_{d,{\rm gas}} = 2.5\,R_{d,\star}\).所有三个通用参数都保持在稳定值。云是在每个星系从（0.5\,R_d\）到（10\,R_d\）的九个半径处采样生成的，在101个盘中有909个点。

2.图表

g_bar - g_obs 平面上的蜜蜂理论云和麦高经验 RAR 曲线 — 图 1 – \(g_{\rm bar}\)-\(g_{\rm obs}\) 平面上的 BeeTheory 模型云（绿色点）和 McGaugh 经验 RAR（红色曲线）。根据测得的\(V_f\)计算出的在\(R = 5\,R_d\) 处的观测点被叠加在一起，以进行正确性检查：校准点（金色圆圈，20 个星系）和盲点（蓝色三角形，81 个星系）。

有三个突出特点。

(a)观测点接近 McGaugh 曲线。SPARC \(V_f\)值在经验RAR周围的离散度为0.17 dex，有一个+0.10 dex的小偏差–与McGaugh+2016报告的0.13 dex相当。我们的 101 个星系样本是健康的，与公布的 RAR 一致。这并不是保证：它证实了我们在这里使用的 SPARC 派生的 \((g_{\rm bar}, g_{\rm obs})\) 对追踪的是相同的经验关系。

(b) “蜜蜂理论 “云在全球范围内追踪麦高曲线。它并不平坦（没有坍缩到牛顿上），而且在低\(g_\{rm bar}\)时向正确方向弯曲。函数形式在质量上是正确的。

(c)云层系统地位于曲线上方，中位偏移+0.25dex，总分散度为0.39dex–是经验分散度的三倍。这种形式的蜜蜂理论高估了 \(g_{\rm obs}\).

3.蜜蜂理论》与《RAR》的不同之处

蜜蜂理论残差与气压比值的对比显示，高气压比值时会出现系统性上升 — 图 2 – 残差 \(log_{10}(g_{\rm obs}^{\rm BT} / g_{\rm obs}^{\rm McGaugh})\) 与 \(g_{\rm bar}\) 的函数关系。McGaugh 分散带（\(\pm 0.13\) dex）为红色阴影。蓝点：BeeTheory残差的分档中值；蓝带：第 25-75 百分位数。

这种结构并不是随机的。在最低的（g_{rm bar}\ ）（大约是（3乘以10^{-13}\ ）m/s²，即LSB盘的最外围区域），BeeTheory残差聚集在（\pm 0.15\ ）dex的零范围内–模型落在经验离散范围内的McGaugh曲线上。这正是进行校准的地方（（V_f\ ）在 \(R \approx 5\,R_d\) 时达到，此时 \(g_{\rm bar}\) 很低），因此这里的一致性是意料之中的。

然后，趋势随着 \(g_\rm bar}\) 稳步上升。在 \(g_\dagger = 1.2/times 10^{-10}\) m/s² （经验 RAR 中的过渡加速度）附近，二进制中值位于 +0.45 到 +0.50 dex。以线性单位计算，\(g_{/rm obs}^{rm BT}\)大约是相应的\(g_{/rm bar}\) 的 McGaugh 值的 3 倍。这里是星系的内部区域，与\(R_d\)相比，\(R\)很小。

为什么会向内失效？经验RAR要求，在高（g_{rm bar}）（圆盘深处），（g_{rm obs} （到g_{rm bar}）–可见物质占主导地位，波场的贡献必须变得次主导。在当前的 “蜜蜂理论 “参数化中，几乎所有星系的\(ell_{rm wave} = c\,R_d + \ell_{rm floor}\) 都大约是3千帕（因为\(c = 0.16\) 很小）。在 \(R \ll \ell_{\rm wave}\) 时， \(x = R/\ell_{\rm wave}\) 是很小的，并且 \(M_{\rm wave}(<\!R) \approx M\,x^3/6\) - 波的质量随着 \(R\) 的增长而增长，但是它是从耦合 \(\lambda = 12.7\) 开始增长的。乘积\(\lambda \cdot M_{\rm wave}(<\!R)\) 的消失速度不足以在小\(R\)时恢复牛顿。模型向内 "泄露 "了波的贡献。

4.综述和今后的步骤

公制	蜂论云	观察（\(V_f\) 点）	麦高+2016
中位偏移（dex）	+0.25	+0.10	0.00 （定义）
Dispersion \(\sigma\) (dex)	0.39	0.17	~0.13
点数	909（101 加仑）	101	~2700（~150 加仑）
形状的定性是否正确？	是	是	–
牛顿极限在高\(g_{/rm bar}\)?	否（+0.5 dex）	–	有（内置）

阅读。BeeTheory在低加速度时渐近地通过了RAR–这是驱动平直旋转曲线的机制，校准就在此机制中进行。而在高加速度条件下，RAR收敛于牛顿，而BeeTheory则没有。这是一个明显的局部缺陷，而不是全面的不兼容性。因为 \(V_f\) 设定为 \(R \sim 5\,R_d\) ，所以 3 参数形式从来不需要重现内盘行为。遇到 RAR 会迫使模型在每个半径上都是正确的，而不仅仅是在\(V_f\)处。

探索之路

(i) 在小\(R\)时使\(ell_\rm wave}\) 饱和。一个自然的改进是使有效波场范围成为局部条件的函数，例如，\(ell_\rm wave}(R)\) 随着\(R\)增长，而不是固定在\(c\,R_d + \ell_\rm floor}\) 。这将抑制小（R）时的波耦合，让牛顿在高（g_{rm bar}）时占主导地位。

(ii) \(g\)-dependent coupling.如果（\lambda）本身依赖于（g_{\rm bar}\）–例如，（\lambda \to \lambda \cdot f(g_{\rm bar}/g_\dagger) \）在高（g_{\rm bar}\）时为（f\to 0\），而在低（g_{\rm bar}/g_\dagger ）时为（f\to 1\）–那么模型就可以精确地再现麦高曲线。我们面临的挑战是如何从波函数微观物理学中激发这种依赖性，而不是从现象学上强加这种依赖性。

(iii)大质量星系的\(ell_{/rm floor}\)约束。在这里产生高（g_{\rm bar}）偏差的同样的缺陷，可能与校准中对NGC3198的+43%的高预测以及对几个Sc/Sbc盲星系的+25-45%的高预测有关。饱和的\(ell_{/rm floor}\)（或者取决于\(M_{/rm visible}\)的\(ell_{/rm floor}\)）可以同时解决这两个问题。

方法说明。所有计算101个SPARC无球星系（(T\geq 4\)），909个\((R, g_{\rm bar}, g_{\rm obs})\) trilets at \(R/R_d \in \{0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 7.0, 10.0\}\).稳定参数 \((\lambda, c, \ell_{\rm floor}) = (12.696,\, 0.163,\, 3.00\ {\rm kpc})\).McGaugh经验RAR，(g_\dagger = 1.20乘以10^{-10}\) m/s²。下一步自然是与已发表的 “McGaugh+2016 “单个SPARC测量结果（此处未从原始自转曲线样本中复制）进行比较。