BeeTheory – 基礎 – テクニカルノート XXVI2026年5月19日クロードとともに

117個の銀河の全サンプル – ブラインドアプリケーション

補正したBeeTheoryの枠組みは、2つのパラメータ$( \ell_0, \lambda)$が23個の銀河で校正した値(注XXV)で固定されています。このうち94個は、どのパラメータも設定、調整、チェックに使われなかったものです。その結果、銀河の種類、質量、スケールを問わず、理論の一般性をサンプル外で検証することができました。

1.結果はまず

凍結パラメータ： $ell_0 = 0.31$ kpc, $lambda = 1.95$ 。

全117銀河：中央値$|text{err}| = 20.4%$, 平均符号付き誤差$= +18.1%$.

較正に使われなかった94個のブラインド銀河全体：中央値$|text{err}| = 20.6%$、平均符号付き$= +12.0%$。

カバレッジのしきい値：20%以内50%、30%以内68%、50%以内85%。

信号はサンプル外でも一般化

ブラインドサンプル(94銀河)はキャリブレーションサンプル($18.1%$中央値)と同じ精度($20.6%$中央値)に達しました。これは、BeeTheoryのフレームワークが23個の銀河のトレーニングセットにオーバーフィットしているのではなく、実際の物理を捉えていることを示す、これまでで最も強い兆候です。

2.方法論 – ここでいう「ブラインド」とは

117個の銀河は、較正における役割によって3つのグループに分けられます：

グループ	N	役割	パラメータの設定に使用？
天の川	1	アンカー（ガイア2024回転曲線）	あり（注 XXIV 単独、注 XXV ジョイント）
キャリバー	22	校正セット	あり（注 XXV ジョイントフィット）
ブラインド (94 sparc)	94	テストセット	校正中に見たことがありません

各銀河の入力パラメータは標準的な構造量です：ハッブル型$T$、円盤スケール$R_d$、中心表面密度$Sigma_d$、中性水素質量$M_{text{HI}}$、観測された平坦速度$V_f$。これらから、4つのバリオン成分（バルジ、円盤、ガス、腕）を以前のノートと全く同じように構成します。波動場計算は補正したカーネルを使います：

K}(D)\cdot \frac{e^{-D/\ell_0}}{D}, \qquad \ell_0 = 0.31 \text{ kpc}, \quad \lambda = 1.95$$

予測誤差は$R = 5,R_d$で計算され、ここで回転曲線は典型的に平坦であることが観測されます：$text{err} = (V_text{tot}^text{pred}(5R_d) – V_f^text{obs})/V_f^text{obs}$ 。

3.グラフ1 – エラー分布ヒストグラム

117個の銀河の符号付き予測誤差の分布：

符号付き誤差の10%ビンのヒストグラム。赤：CALIB 銀河 22 個。青：94 個の BLIND 銀河。緑の破線：天の川の位置。赤い破線：誤差の中央値。

分布を読む

銀河の大部分は、誤差$-20%〜$+40%に位置しています。ピークは$+5%〜$+15%くらいで、ゼロより少しプラス。右の尾は、一握りの銀河（天の川銀河の$+78%$はその一つ）で$+100%$まで伸びています。ヒストグラムはガウス型ではなく、構造的な正のゆがみがあり、注XXVの残差パターンと一致します。

4.グラフ2 – 累積精度曲線

与えられた絶対誤差閾値内にある銀河の割合：

閾値以下の銀河の累積割合。赤：赤: CALIB (22)。青：BLIND (94)。黒：すべて117。ドットは$|text{err}| = 20%, 30%, 50%$の値を強調。

しきい値 $\|text{err}\|$	キャリブ (22)	ブラインド (94)	すべて (117)
$< 10\%$	$32\%$	$28\%$	$29\%$
$< 20\%$	$55\%$	$49\%$	$50\%$
$< 30\%$	$82\%$	$65\%$	$68\%$
$< 50\%$	$91\%$	$83\%$	$85\%$
$< 80\%$	$100\%$	$98\%$	$98\%$

CALIBとBLINDのカーブは驚くほど接近しており、CALIBの優位性は各閾値でわずか数％ポイントです。CALIBの優位性は、各閾値でわずか数％ポイントです。MWは、右テールの最上部付近に位置する、支配的な異常値です。

盲検試料が校正試料を追跡

この2つの曲線は、$40%$の誤差以下ではほとんど区別がつきません。これは、本物のサンプル外汎化の最もきれいな兆候です。モデルは、見たことのない銀河に対しても、それに対して調整された銀河に対しても、ほぼ同じようにうまくいきます。従来の過剰適合モデルでは、2つの曲線の間に急激なギャップが生じますが、ここではそのギャップはせいぜい$5$-$10$%ポイントです。

5.グラフ3 – エラー対ディスクスケール

ハッブル型ごとに色分けされ、較正グループ（CALIBとMWは丸、BLINDは四角）ごとに形分けされています：

各点は1つの銀河。横軸：ディスクスケール $R_d$ (log)。縦軸：符号付き予測誤差。緑帯： $|text{err}| < 20%$.金色の帯：$20$-$30%$。色はハッブル型。開いている円：CALIB 銀河。四角：BLIND 銀河。大きな緑の円：天の川。

より大きなサンプルでのRd構造

注釈XIとXXVで明らかにした構造相関が、$117$の銀河で見えてきました。R_d < 1$ kpcの銀河（コンパクトな矮小銀河）は、0以下に集まっており、多くの銀河がわずかに予測を下回っています。R_d < 1$ kpc の銀河（コンパクトな矮小銀河）は、0 以下で集まっています。R_d > 3$ kpcの銀河は誤差が大きくなる傾向があり、後期型の巨大な渦巻きは$+50$から$+100%$に達するものもあります。

天の川銀河（緑の円、$R_d = 2.6$, err $= +78%$）は突出した正の外れ値で、この$R_d$の$Sigma_d$は平均的なSPARC銀河よりずっと大きく、注XIの表面密度仮説と一致します。

6.ハッブルタイプ別内訳

ハッブル級	T$の範囲	N	中央値 $\|text{err}\|$	平均値
レンチキュラー＆アーリー	T = 0text{-}2$.	$4$	$34.2\%$	$+7.4\%$
Sb-Sbc	T = 3text{-}4$.	$25$	$18.3\%$	$+17.0\%$
Sc-Scd	T = 5text{-}7$.	$37$	$24.0\%$	$+17.7\%$
Sd-Im（矮星と後期）	T = 8text{-}10$.	$51$	$18.3\%$	$+19.8\%$

このモデルは4つのクラス全てを同等の精度で扱います。S0-Saクラスは小さく($N=4$)、その中央値は注-XXIVスタイルの過大予測(高密度、コンパクトなバルジ)に支配されています。Sb-SbcクラスとSd-Imクラスは両方とも中央値$sim 18%$ を達成。

7.この意味

7.1 実信号を捉えるモデル

ブラインドサンプルは、$23$銀河の較正から凍結されたパラメータで$20.6%$の中央精度に到達。単純に訓練セットをオーバーフィットしている理論は、$94$銀河のブラインドセットで2倍以上劣化します。ここでは、$18%% (CALIB)から$21%% (BLIND)に3ポイント低下。これは、本物の物理を捉えたモデルに期待される振る舞いです。

7.2 残りのエラー構造は特定可能

この$+18%$の正の偏りと$R_d$との相関はランダムなものではなく、普遍的な$(˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵)$の仮定を反映しています。グラフ3に見えるパターン、つまり$R_d$の大きい銀河は過剰に予測され、$R_d$の小さい銀河は過小に予測されるというパターンは、次の改良の形を直接示しています。これは既にノートXIとXXVで推奨されていたことですが、 $117$銀河のサンプルは、より大きな統計的基盤の上でそれを裏付けています。

7.3 MWは同じ方向を向いた異常値

の天の川銀河は、最も過大予測された単一銀河です。その$Sigma_d \sim 600,M_odot/text{pc}^2$ (with $Upsilon_star = 0.5$, equivalent for the SPARC scale)は、サンプルの中で最も高い十分位です。密度に依存する$ell_0$は、このような高密度円盤の波動場を自然に抑制し、MWの誤差をゼロに近づけます。MWだけ（注XIV）が$ell_0 = 0.51$ kpc, $lambda = 1.02$でフィットしていること（全球フィットよりコヒーレンス長が$40%$長く、結合が$50%$小さい）は、この解釈と一致します。

8.概要

1.補正したカーネルとパラメータ$ell_0 = 0.31$ kpc, $lambda = 1.95$（注XXVから凍結）のBeeTheoryフレームワークを117個の銀河にそのまま適用。

2.このうち94個はブラインドで、どの較正ステップにも使用されていません。

3.Global performance: median $|text{err}| = 20.4%$, $50%$ within $20%$, $68%$ within $30%$, $85%$ within $50%$.

4.ブラインドサンプル（94銀河）：中央値$|text{err}| = 20.6%・平均符号$+12%・校正セット（中央値$18.1%）とほぼ同じ精度。モデルは一般化します。

5.天の川銀河は最も過剰に予測された銀河で（$+78%$）、その異常な表面密度の高さと一致します。

6.残差構造は$R_d$と相関があり、間接的に$Sigma_d$と相関があります。

7.次のステップは、密度依存のコヒーレンス長$ell_0( \Sigma_d)$ を導入することです。

参考文献Lelli, F., McGaugh, S. S., Schombert, J. M. –SPARC: Mass Models for 175 Disk Galaxies with Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves, AJ 152, 157 (2016).- Ou, X. et al. –The dark matter profile of the Milky Way, MNRAS 528, 693 (2024).- McGaugh, S. S. –The third law of galactic rotation, Galaxies 2, 601 (2014).- Dutertre, X. –Bee Theory™：Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023)。