BeeTheory – 基礎 – テクニカルノート XV

ステップ2 – 23個の銀河：
湯川カーネルの適用、3つの正規化

天の川銀河とSPARCの較正銀河22個を加えた23個のテスト銀河に、注14の湯川カーネルBeeTheory形式論を適用します。各銀河は、成分ごとに計算された完全な自転曲線 $V(R)$ を得ます。この回転曲線は、モデルの予測と残差の根本的な構造を明らかにするために、3つの異なる正規化で表示されます。

1.結果はまず

23個の銀河、3つの正規化

22個のSPARC銀河（λ = 0.496）：中央値｜err｜ = 14.6%、平均符号付きerr = -4.7%、18/21が30%以内、14/21が20%以内。

天の川 (λ = 0.189):err = +14.9% at $R = 5R_d$。

正規化回転曲線：$R/R_d$でスケーリングした場合、23個の銀河の予測曲線は1つのバンドに重なり、その分散は主に表面密度によるもの（注XIと一致）。

2.計算方法

23個の銀河のそれぞれについて、注XIVのBeeTheoryの完全な機械が実行されます：

(a)公開されている観測データ（$T$, $R_d$, $Sigma_d$, $M_text{HI}$, $Upsilon_star$）から5つのバリオン成分を作成。天の川については、測光式の代わりに直接質量を測定。

(b)各成分を湯川波カーネル$mathcal{K}(D) = K_0,(1+alpha D) \,e^{-alpha D}/D^2$に対して、それぞれのコヒーレンス長$ell_i = c_i,R_text{scale}$を用いて、幾何学的に適切な積分（バルジはシェル、円盤、ガス、腕はリング）を用いて畳み込みます。

(c)全波動場密度を積和して$M_text{wave}(R)$を求め、$V_c^2 = V_text{bar}^2+GM_text{wave}/R$から、$0.2$ kpcから$7,R_d$までの$R$の格子で評価すると、予測される円速が得られます。

大域的な波動場結合$lambda$は、天の川では$0.189$（ガイア2024の注Ⅶ較正）、SPARC銀河では$0.496$（注Ⅷ較正）に設定されています。銀河ごとの調整は行っていません。

3.R = 5,R_d$における銀河ごとの結果。

各銀河の評価は、$R_text{eval} = \max(5,R_d, 5,text{kpc})$、つまり回転曲線が平坦領域に達した半径で行います。下の表は$R_d$の大きい順に並べたものです。行の網掛けは予測誤差を表しています：緑｜err｜< 20%, gold 20–30%, orange 30–50%, red > 50%。

ギャラクシー	タイプ $T$	R_d$ (kpc)	$M_\text{bar}/10^{10}$	V_f$ obs	pred	エラー
DDO064	10	0.33	0.03	26	29	+13.1%
ESO444-G084	10	0.55	0.02	27	29	+5.9%
DDO154	10	0.60	0.07	47	49	+3.8%
DDO168	10	0.69	0.04	52	41	-21.0%
D631-7	10	0.70	0.07	58	51	-11.6%
F565-V2	10	1.00	0.03	53	33	-38.6%
DDO161	10	1.10	0.12	55	61	+11.0%
DDO170	10	1.10	0.06	38	44	+14.6%
F563-V2	10	1.10	0.06	59	43	-26.5%
F563-V1	10	1.20	0.05	64	41	-36.5%
F567-2	10	1.80	0.10	67	52	-22.5%
ESO116-G012	8	2.10	0.32	93	106	+13.7%
F568-V1	10	2.10	0.13	82	62	-24.5%
F561-1	10	2.50	0.18	87	74	-15.0%
ミルキーウェイ	4	2.60	5.06	230	264	+14.9%
F563-1	10	2.70	0.21	92	76	-17.6%
F568-3	8	3.00	0.30	108	95	-12.4%
NGC3198	5	3.14	1.62	151	217	+43.5%
F568-1	8	3.20	0.37	115	105	-8.3%
NGC2841	3	3.50	3.43	278	329	+18.3%
F574-1	8	3.60	0.37	107	105	-2.0%
F571-8	8	4.50	0.61	125	142	+13.7%

22個のSPARC銀河と天の川銀河（太字）。天の川銀河は、同じ円盤の広がりを持つ SPARC 銀河の中では $R_d = 2.6$ kpc に位置していますが、質量ははるかに大きい（$M_text{bar} = 5 ㌽ 10^{10}M_odot$）ことがわかります。

4.正規化回転曲線 – 3つのビュー

R$（0.3$から$sim 30$まで）と$V$（$sim 25$から$sim 330$km/sまで）の両方において、23の個々の自転曲線は広い範囲に及びます。モデルの予測が首尾一貫した構造パターンに従っているかどうかを明らかにするために、3つの正規化のもとで曲線をプロットしました。

どのプロットでも、各銀河はハッブル型によって色分けされた連続線で示され、最後の点は観測された平坦速度 $V_f$ の位置にあります。天の川銀河は強調するために太く描かれています。R/R_d = 5$ の縦破線は、平坦速度比較の標準評価半径。

5.正規化 1 – 質量

最初の正規化は、速度をバリオンの力学スケール$V_text{dyn} = Γsqrt{G,M_text{bar}/R_d}$で割ります。これは、自己重力円盤の自然な速度単位で、目に見える物質だけが、それ自身の特徴的なスケールでどれだけの回転を起こすかを表しています。半径は$R_d$でスケーリングされます。

R/R_d, Γqquad y Γ;=; V_text{tot}(R)Γ,/Γ,V_text{dyn}.\with} quadad V_text{dyn} = \sqrt{G,M_text{bar}/R_d}$.

バリオン動力学速度による正規化。各銀河の自転曲線は、目に見えるバリオンだけで生成される速度でスケーリングされています。

この正規化では、低質量の矮星（青、Sd-Im）は高い$y$に位置し、観測される自転速度は目に見える質量が生み出す力学速度を2〜4倍も大きく上回ります。大質量渦巻き（赤、Sb-Sbc）は$y ⊖1$に近い位置にあります。天の川銀河（赤い太線）は、バリオン質量が大きいので、その下半分に位置しています。R/R_d$を固定したときの上下の広がりは、低質量の銀河はバリオン量に比例して暗黒物質を多く必要とする、というよく知られた事実を反映しています。

6.正規化2 – サイズ別

二つ目の正規化は半径を$R_d$でスケールしますが、速度は物理単位(km/s)のままです。同じような大きさの銀河が同じような水平領域を占めているのに対して、垂直方向の分離は絶対回転振幅を反映しています。

R/R_d, ￤qquad y ￤ =; V_text ￤tot}(R) ￤text{ in km/s}$$.

R/R_d$に対する物理単位での速度。天の川と最も重いSPARC渦巻きは$sim 250$-$330$ km/s、矮星は$sim 100$ km/s以下。

この図では、銀河を絶対回転数で縦に区切っています。大質量の渦巻き銀河（一番上がNGC2841、次に天の川銀河とNGC3198）が上の帯を占めています。Sd-Im矮星は下の3分の1に集まっています。BeeTheoryの予測はどの銀河も同じような形をしており、曲線が交差することはありません。

7.正規化 3 – 観測 $V_f$ による

三番目の正規化は、予測された速度を、観測された各銀河の平坦速度 $V_f$ で割ったものです。これは最も厳密な比較で、完璧な予測であれば、どの曲線も $y = 1$ の平坦領域で同じ水平線上に位置します。y = 1$ からのずれは、予測誤差を直接視覚化したものです。

x Γ = R/R_d, Γqquad y Γ = V_text{tot}(R)Γ,/Γ,V_f^text{obs}$.

予測速度を観測された$V_f$で割ったもの。完全に一致すると、すべての端点が $y = 1$ になります。

モデルの最強のテスト

R/R_d=5$では、自転曲線が平坦領域に達しており、予測値と観測値の比は予測誤差そのものです。銀河の大部分は $y = 0.7$ から $y = 1.2$ の間に集まっており、14.6%という中央値の誤差を裏付けています。y = 1.43$ の NGC 3198 は大質量渦巻銀河で、$y = 0.6$ の銀河は低密度円盤銀河です。このことから、残差構造はランダムな散らばりではなく、系統的な包絡線であることがわかります。

8.3つの正規化を一緒に読む

それぞれの正規化によって、23の銀河が異なる軸に投影され、予測の補完的な側面が明らかになります：

ノーマライゼーション	そこから見えてくるもの	隠されたもの
1. 質量による($V/V_text{dyn}$)	質量と光の緊張：低質量銀河はバリオンが提供する以上の重力を必要とし、大質量渦巻銀河はそうではない	観測との一致は、スケーリングが可視質量のみによるものであるため
2.サイズ別（$V$と$R/R_d$の比較）	銀河全体の自転振幅の絶対値と、予測される曲線の形状の形態学的一貫性	予測誤差 – すべての曲線は絶対スケールによって支配されます。
3. 観測された $V_f$ によって	予測誤差は直接、$y = 1$からの垂直方向の偏差として表します。	各銀河の絶対的なスケール（すべての銀河が「等しく」見える）

3つの見方すべてに一貫した図

どの見方も、モデルが他の銀河とは質的に異なる銀河のクラスを扱っていることを明らかにしていません。予測される曲線の形は一様で、中心からのバリオン上昇、波動場が支配する平坦領域、そして$R/R_d$が大きくなるとゆっくりと平坦化します。天の川は同じような大きさの渦巻きの中に自然に収まり、SPARCの矮星はより小さなスケールで同じ形態に従っています。残差は、視野3で最もはっきり見えますが、系統的で、観測された速度の$0.7$から$1.3$倍の間にある銀河が大部分です。

9.このステップで確立されるもの

質量における60年にわたる統一的な予測

天の川銀河($M_text{bar} ∕ 5 ∕times 10^{10}, M_odot$, $V_f ∕ 230$ km/s)と、較正セットの中で最も小さい矮星DDO 064 ($M_text{bar} ∕ 4 ∕times 10^{8}, M_odot$, $V_f = 26$ km/s)、M_odot$, $V_f = 26$ km/s）は、バリオン質量で5桁以上、回転振幅で1桁以上離れています。同じ幾何定数$(c_text{sph}, c_text{disk}, c_text{arm})$を持つ同じ湯川カーネルが両者を記述しますが、中央値のずれは14.6%です。

残差の構造

図3に示すように、残差はランダムではなく、$y = 1$付近で$0.6$から$1.4$の間の系統的な包絡線を形成しています。シグネチャーは注XIで示したものと同じで、$Sigma_d$が高い円盤は過大予測、$Sigma_d$が低い円盤は過小予測です。天の川 ($Sigma_d^text{eff})\L_odot/text{pc}^2$, SPARCの矮小銀河よりずっと密度が高い）は過大予測銀河の一つです。このように、MWの振る舞いとSPARCのサンプルが一致していることは、表面密度が欠けている変数であるという結論を補強しています。

ブラインドステップの準備

形式論が明らかになり、幾何学的積分が検証され、残差シグネチャが特徴付けられたので、次のステップは、同じカーネル、同じパラメータ、同じ手順で、同じ機械を校正に使われなかった94個のSPARC銀河に適用することです。これがステップ3の課題です。

10.概要

1.天の川銀河と22個のSPARC較正銀河を加えた23個の銀河に対して、注XIVのBeeTheory湯川カーネル形式論を適用しました。

2.22個のSPARC銀河について、モデルは観測された平坦速度を18個(86%)で30%以内、14個(67%)で20%以内に復元しました。絶対誤差の中央値は14.6%、符号付き平均誤差は$-4.7%です。

3.天の川銀河（銀河別較正$lambda = 0.189$）では、SPARCサンプルの密度が高い方と同じ$+15%$の過大予測。

4.質量、サイズ、観測速度という3つの独立した正規化のもとで、予測された曲線は首尾一貫したファミリーを形成。単一の形態学的クラスが質的に誤って扱われることはありません。

5.残差エンベロープは、注XIで同定されたミッシングパラメータ（$Sigma_d$）が一様に働いていることを確認します。

6.これで、残りの94個のSPARC銀河のブラインドステップの準備ができました。

参考文献Lelli, F., McGaugh, S. S., Schombert, J. M. –SPARC: Mass Models for 175 Disk Galaxies with Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves, AJ 152, 157 (2016).- Ou, X. et al. –The dark matter profile of the Milky Way, MNRAS 528, 693 (2024).- Bland-Hawthorn, J., Gerhard, O. –The Galaxy in Context, ARA&A 54, 529 (2016).- McGaugh, S. S., Lelli, F., Schombert, J. M. –Radial Acceleration Relation in Rotationally Supported Galaxies, PRL 117, 201101 (2016).銀河間の質量の不一致。- Dutertre, X. –Bee Theory™：Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023)。

ステップ2 – 23個の銀河：湯川カーネルの適用、3つの正規化