蜜蜂理论 – 基础 – 技术说明 XXVI2026 年 3 月 19 日与克劳德

117 个星系的完整样本 – 盲法应用

修正后的蜜蜂理论（BeeTheory）框架，其两个参数$(\ell_0, \lambda)$被冻结在23个星系的校准值上（注释二十五），无需进一步拟合，就被应用于全部SPARC样本加上银河系–总共117个星系。其中有 94 个完全是盲区：它们从未被用来设置、调整或检查任何参数。结果是对该理论在不同星系类型、质量和尺度上的普遍性进行了一次真正的样本外检验。

1.第一项结果

冻结参数：$ell_0 = 0.31$ kpc，$\lambda = 1.95$

所有117个星系：中位数 $|\text{err}| = 20.4\%$, 平均符号误差 $= +18.1/%$。

从未用于校准的94个盲星系：中位数 $|text{err}| = 20.6\%$, 平均符号误差 $= +12.0/%$。

覆盖阈值50%在20%以内，68%在30%以内，85%在50%以内。

样本外的信号泛化

盲样本（94 个从未见过的星系）达到了与校准样本（中位数为 18.1 美元）相同的精度（中位数为 20.6 美元）。这是迄今为止最有力的证据，表明蜜蜂理论框架捕捉到了真实的物理现象，而不是过度拟合 23 个星系的训练集：尽管参数被严格固定，样本外的性能并没有崩溃。

2.方法–“盲目 “在这里的含义

这 117 个星系按其在校准中的作用分为三组：

组别	N	角色	用于设置参数？
银河	1	锚（盖亚 2024 旋转曲线）	有（单独注 XXIV、联合注 XXV）
口径	22	校准装置	是（注 XXV 接头配合）
盲点（94 SPARC）	94	测试装置	否 – 校准过程中从未见过

每个星系的输入参数都是标准结构量：哈勃类型 $T$，盘尺度 $R_d$，中心表面密度 $\Sigma_d$，中性氢质量 $M_{text/{HI}}$，以及观测到的平速度 $V_f$。根据这些数据，可以构建出四个重子成分（凸起、圆盘、气体、臂），与之前的注释完全相同。波场计算使用的是修正后的内核：

$$\mathcal{K}(D) \;=\; \frac{1}{4\pi\,\ell_0^2}\cdot \frac{e^{-D/\ell_0}}{D}, \qquad \ell_0 = 0.31 \text{ kpc}, \quad \lambda = 1.95$$

预测误差是在 $R = 5\,R_d$ 时计算的，在这里通常观测到的旋转曲线是平坦的：$\text{err} = (V_\text{tot}^\text{pred}(5R_d) – V_f^text{obs})/V_f^\text{obs}$ 。

3.图 1 – 误差分布柱状图

按校准组叠加的 117 个星系的符号预测误差分布：

以 10%为单位的符号误差柱状图。红色：22 个 CALIB 星系。蓝色：94 个 BLIND 星系（在校准中从未见过）。绿色虚线：银河系位置。红色虚线：中值误差。

读取分布

大部分星系的误差在 $-20\%$ 和 $+40\%$ 之间。峰值大约在 $+5\%$ 到 $+15/%$之间，略微大于零。少数星系的右侧尾部延伸到了+100%$（银河系就是其中之一，为+78%$）；左侧尾部较短，但对于预测最不足的矮星系来说，达到了50%$。直方图不是高斯分布的–有一个结构性的正偏斜，与注释 XXV 中的残差模式一致。

4.图 2 – 累积精度曲线

在给定绝对误差阈值内的星系比例：

$|\{err}|$低于阈值的星系累计比例。红色：CALIB (22).蓝色BLIND (94).黑色全部 117 个。点突出显示了 $|\text{err}| = 20\%, 30\%, 50\%$ 时的值。

阈值 $\|\text{err}\|$	CALIB (22)	盲人 (94)	全部 (117)
$< 10\%$	$32\%$	$28\%$	$29\%$
$< 20\%$	$55\%$	$49\%$	$50\%$
$< 30\%$	$82\%$	$65\%$	$68\%$
$< 50\%$	$91\%$	$83\%$	$85\%$
$< 80\%$	$100\%$	$98\%$	$98\%$

CALIB 和 BLIND 曲线非常接近：在每个临界值上，CALIB 的优势只有几个百分点。MW 是主要的离群值，位于右尾部顶端附近。

盲样跟踪校准样

这两条曲线在低于 40%$ 误差的情况下几乎没有区别。这是真正的样本外泛化的最明显的标志：模型在它从未见过的星系上的表现，几乎与在它被校准过的星系上的表现一样好。传统的过拟合模型会在两条曲线之间显示出明显的差距；而在这里，差距最多只有 5 美元-10 美元的百分点。

5.图 3 – 误差与磁盘刻度

117 个星系中每个星系的误差，与圆盘尺度 $R_d$ 的关系图，按哈勃类型着色，按校准组排列（CALIB 和 MW 为圆形，BLIND 为方形）：

每个点代表一个星系。横轴：磁盘刻度 $R_d$（对数）。纵轴：符号预测误差。绿带：$|text{err}| < 20/%$。金色带：$20$-$30/%$。颜色遵循哈勃类型。开圆：CALIB星系。正方形：盲星系。绿色大圆银河系。

更大样本上的 Rd 结构

注释 XI 和 XXV 中确定的结构相关性现在可以在 117$ 个星系上看到。R_d < 1$ kpc的星系（紧凑矮星系）聚集在零点及零点以下–许多预测值略低。1 < R_d < 3$ kpc的星系（中等大小的螺旋星系）在绿色带附近分布均匀。R_d > 3$ kpc的星系倾向于正误差；一些大质量晚期螺旋星系的误差达到了+50$到+100%$。

银河系（$R_d = 2.6$时的绿色圆圈，err $= +78\%$）是一个突出的正离群值–它的$\Sigma_d$远远高于这个$R_d$的SPARC星系的平均值，这与注释XI中的表面密度假说是一致的。

6.按哈勃类型分列

哈勃级	$T$ 范围	N	中位数 $\|\text{err}\|$	平均签名
透镜和早期	$T = 0\text{-}2$	$4$	$34.2\%$	$+7.4\%$
Sb-Sbc	$T = 3\text{-}4$	$25$	$18.3\%$	$+17.0\%$
Sc-Scd	$T = 5\text{-}7$	$37$	$24.0\%$	$+17.7\%$
Sd-Im（矮星和晚星）	$T = 8\text{-}10$	$51$	$18.3\%$	$+19.8\%$

该模型处理所有四个类别的精确度相当。S0-Sa类很小（$N=4$），其中位数主要是Note-XXIV式的过度预测（高密度、紧凑隆起）。Sb-Sbc类和Sd-Im类的中值都达到了$\sim 18\%$–模型大体上是质量盲的。

7.这意味着什么

7.1 模型捕捉真实信号

在 23 美元星系校准参数冻结的情况下，盲样本的中位精度达到了 20.6% 美元。如果一个理论仅仅是过度拟合训练集，那么它在 94 美元星系盲样本集上的准确度就会下降 2 倍或更多。这里的退化是从 18 美元（CALIB）到 21 美元（BLIND）–三个百分点。这是一个捕捉到真正物理的模型的预期行为。

7.2 其余误差结构可识别

$+18\%$正偏差以及与$R_d$的相关性并不是随机的；它们反映了普遍的$(\ell_0, \lambda)$假设。图3中可见的模式–大$R_d$星系预测过高，小$R_d$星系预测过低–直接表明了下一步改进的形式：相干长度必须取决于当地重子密度。这已经是注释 XI 和注释 XXV 提出的建议；117 美元星系样本在更大的统计基础上证实了这一点。

7.3 MW 是指向同一方向的异常现象

银河系的预测值为 $+78\%$，是被高估最多的单个星系。它的$\Sigma_d \sim 600\,M_\odot/\text{pc}^2$ （$\Upsilon_\star = 0.5$，相当于SPARC尺度）是样本中最高的十分之一。与密度相关的 $\ell_0$ 会自然而然地抑制这样一个高密度磁盘中的波场，从而使 MW 误差趋于零。事实上，单独的 MW（注 XXIV）拟合值为 $\ell_0 = 0.51$ kpc，$\lambda = 1.02$–相干长度比全局拟合值长 40%$，耦合度比全局拟合值小 50%$–与这一解释是一致的。

8.摘要

1.蜜蜂理论（BeeTheory）框架的校正核和参数$\ell_0 = 0.31$ kpc，$\lambda = 1.95$（从注释 XXV 中冻结）被应用到 117 个星系上，没有做任何进一步的拟合。

2.其中 94 个是盲点：它们从未用于任何校准步骤。

3.全球绩效：中位数 $|\text{err}| = 20.4\%$, $50\%$ within $20\%$, $68\%$ within $30\%$, $85\%$ within $50\%$.

4.盲样本（94 个星系）：中位数 $|\text{err}| = 20.6\%$ ，平均符号为 $+12\%$ – 与校准集（中位数 $18.1/%$）的精度基本相同。该模型具有普适性。

5.银河系是被高估最多的单个星系（+78\%$），这与其异常高的表面密度是一致的。

6.残余误差结构与 $R_d$ 相关，并间接与 $\Sigma_d$ 相关，在 117$ 银河系统计基础上证实了注 XI 在较小的 CALIB 样本上所确定的结果。

7.显然，下一步是引入与密度相关的相干长度 $\ell_0(\Sigma_d)$ – 这是能够消除图 3 中可见的残余结构的最简单的物理修改。

参考文献Lelli，F.、McGaugh，S.S.、Schombert，J.M. –SPARC：利用斯皮策测光和精确旋转曲线建立的175个盘状星系质量模型，AJ 152，157 (2016)。- Ou, X. et al. –The dark matter profile of the Milky Way, MNRAS 528, 693 (2024).- McGaugh, S. S. – 银河旋转第三定律，《星系》2, 601 (2014).- Dutertre, X. –Bee Theory™：基于波的引力建模，v2，BeeTheory.com (2023).