BeeTheory – Foundations – Teknisk anvisning XIII

Ingångsdata och de tre testkorpora

Metoden i not XII omvandlar fem observationsdata till en komplett uppsättning geometriska parametrar per galax, redo för vågfältskonvolutionen. I denna not presenteras dessa parametrar explicit för de tre testkorpusar som kommer att användas för att utvärdera modellen: enbart Vintergatan, kalibreringsuppsättningen med 22 galaxer och det blinda urvalet med 94 galaxer. Varje steg utökar testet med en storleksordning i antalet galaxer.

1. Protokollet i tre steg

Tre korpusar, tre roller

Steg 1 – Vintergatan (1 galax). Referenspunkt. Fastställer den globala vågfältkopplingen $\lambda$ från interna stjärnundersökningar och 21-cm-kartor.

Steg 2 – Kalibreringsuppsättning (22 galaxer). De tjugo första posterna i SPARC-katalogen plus tre extremfall (tät, klassisk spiral, gasrik). Modellen tillämpas med $\lambda$ fryst från steg 1, vilket möjliggör en global omkalibrering vid behov.

Steg 3 – Blindtest (94 galaxer). Alla parametrar är frysta från steg 2. Ingen ytterligare justering. Rotationskurvorna för de återstående SPARC-galaxerna är rena förutsägelser.

2. Universella teoriparametrar (identiska för alla tre korpusarna)

Fem siffror, fasta en gång för alla galaxer av alla storlekar och typer. De definierar vågkärnan och den globala kopplingen. De kommer inte att variera mellan de tre stegen.

Parameter	Symbol	Värde	Roll
Vågmassans amplitud	$K_0$	$0.3759$	Ställer in den dimensionslösa skalan för vågkärnan
3D-koherensförhållande	$c_\text{sph}$$	$0.41$	$\ell_b / r_b$ för utbuktningen
2D-koherensförhållande	$c_\text{disk}$	$3.17$	$\ell / R_\text{scale}$ för diskar och gasringar
Spiralens koherensförhållande	$c_\text{arm}$$	$2.0$	$\ell_\text{arm} / R_d$ för spiralarmar
Stjärnornas förhållande mellan massa och ljus	$\Upsilon_\stjärna$	$0.5\,M_\odot/L_\odot$	Spitzer 3,6 µm (McGaugh 2014)

3. Steg 1 – Vintergatan

3.1 Observationsdata

Kvantitet	Värde	Källa
Hubble typ $T$	4 (Sbc)	de Vaucouleurs m.fl. 1991
Diskens skalalängd $R_d$	2,6 $ kpc	Bovy & Rix 2013
Stjärnornas totala massa $M_\star$	$4.0 \times 10^{10}\,M_\odot$	Fotometriska undersökningar (Bland-Hawthorn & Gerhard 2016)
Total gasmassa $M_\text{gas}$ (HI + He)	1,06 $ 10 gånger 10^{10},M_\odot$	21 cm stora kartor
Observerad platt hastighet $V_f$	$\approx 230$ km/s vid $R_\odot$	Gaia DR3 (Ou m.fl. 2024)

3.2 Härledda geometriska parametrar per komponent

Komponent	Massa ($10^{10}\,M_\odot$)	Rumslig skala	Koherenslängd $\ell$	Profil
Bulge ($T \leq 4$ → aktiverad)	1.240	$r_b$ = 0,61 kpc	$\ell_b$ = 0,25 kpc	3D Hernquist
Tunn disk	2.070	$R_d$ = 2,60 kpc	$\ell_\text{thin}$ = 8,24 kpc	2D exponentiell
Tjock disk	0.690	$1,5\,R_d$ = 3,90 kpc	$\ell_\text{thick}$ = 12,36 kpc	2D exponentiell
Gasring	1.060	$R_g$ = 4,42 kpc	$\ell_\text{gas}$ = 14,01 kpc	2D exp. med hål
Spiralformade armar	0.2070	$R_d$ = 2,60 kpc	$\ell_\text{arm}$ = 5,20 kpc	2D azimutal

Anmärkning om Vintergatans indata: Vintergatan använder direkta observationsnedbrytningar (Bland-Hawthorn & Gerhard 2016) snarare än den fotometriska formeln $M_star = 2pi R_d^2,Sigma_d,Upsilon_star$ som används för SPARC-galaxer. Detta beror på att Vintergatan observeras inifrån och att dess masskomponenter mäts genom att kombinera stjärnundersökningar, mikrolinsning och dynamik snarare än genom en enda integrerad luminositet. Nedbrytningen i komponenter och vågfältsekvationerna är i övrigt identiska.

4. Steg 2 – Tjugotvå kalibreringsgalaxer

De första tjugo posterna i SPARC-katalogen (Lelli et al. 2016), kompletterade med tre extremfall som testar modellens gränser: NGC 2841 (massiv tät tidig typ), NGC 3198 (klassisk grand-design spiral), DDO 154 (gasdominerad dvärg).

För varje galax hämtas de fem observationsdata $(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, V_f)$ från SPARC. Från dessa beräknas massorna och koherenslängderna för de fem komponenterna med hjälp av formlerna i not XII. I tabellen nedan listas alla härledda storheter.

Galaxy	Typ	$R_d$ (kpc)	$\Sigma_d$ ($L_\odot/$pc$^2$)	$M_\text{gas}$ $(10^{10})$	$M_\star$ $(10^{10})$	$f_\text{gas}$$	$M_b$ $(10^{10})$	$r_b$ (kpc)	$M_\text{tunn}$ $(10^{10})$	$M_\text{tjock}$$ $(10^{10})$	$\ell_\text{tunn}$ (kpc)	$\ell_\text{gas}$ (kpc)
CamB	Im	0.47	66	0.002	0.005	0.32	–	–	0.003	0.001	1.49	2.53
D631-7	Im	0.70	115	0.051	0.018	0.74	–	–	0.013	0.004	2.22	3.77
DDO064	Im	0.33	120	0.023	0.004	0.85	–	–	0.003	0.001	1.05	1.78
DDO154	Im (gas)	0.60	45	0.063	0.005	0.92	–	–	0.004	0.001	1.90	3.23
DDO161	Im	1.10	35	0.109	0.013	0.89	–	–	0.010	0.003	3.49	5.93
DDO168	Im	0.69	100	0.028	0.015	0.65	–	–	0.011	0.004	2.19	3.72
DDO170	Im	1.10	25	0.051	0.010	0.84	–	–	0.007	0.002	3.49	5.93
ESO116-G012	Sd	2.10	115	0.160	0.159	0.50	–	–	0.119	0.040	6.66	11.32
ESO444-G084	Im	0.55	60	0.016	0.006	0.74	–	–	0.004	0.001	1.74	2.96
F561-1	Im	2.50	30	0.120	0.059	0.67	–	–	0.044	0.015	7.92	13.47
F563-1	Im	2.70	20	0.160	0.046	0.78	–	–	0.034	0.011	8.56	14.55
F563-V1	Im	1.20	25	0.040	0.011	0.78	–	–	0.008	0.003	3.80	6.47
F563-V2	Im	1.10	30	0.047	0.011	0.80	–	–	0.009	0.003	3.49	5.93
F565-V2	Im	1.00	18	0.027	0.006	0.82	–	–	0.004	0.001	3.17	5.39
F567-2	Im	1.80	15	0.080	0.015	0.84	–	–	0.011	0.004	5.71	9.70
F568-1	Sd	3.20	40	0.239	0.129	0.65	–	–	0.097	0.032	10.14	17.24
F568-3	Sd	3.00	35	0.200	0.099	0.67	–	–	0.074	0.025	9.51	16.17
F568-V1	Im	2.10	20	0.106	0.028	0.79	–	–	0.021	0.007	6.66	11.32
F571-8	Sd	4.50	50	0.293	0.318	0.48	–	–	0.239	0.080	14.27	24.25
F574-1	Sd	3.60	30	0.253	0.122	0.67	–	–	0.092	0.031	11.41	19.40
NGC2841	Sb	3.50	605	1.104	2.328	0.32	0.466	1.75	1.397	0.466	11.09	18.86
NGC3198	Sc	3.14	153	1.144	0.474	0.71	–	–	0.355	0.118	9.95	16.92

Alla 22 galaxer i kalibreringsuppsättningen. Bulge-massor och radier visas endast för $T \leq 4$ (de två sista raderna, NGC 2841 och NGC 3198). Koherenslängderna $\ell_\text{thick} = 1,5\,\ell_\text{thin}$ och $\ell_\text{arm} = (2,0/3,17)\,\ell_\text{thin}$ har utelämnats från tabellen för att hålla den kompakt.

Täckning av parameterrymden

De 22 kalibreringsgalaxerna spänner över $R_d$ från $0,33$ till $4,5$ kpc (faktor 14), $Sigma_d$ från 15 till 605 $L_odot/text{pc}^2$ (faktor 40) och stjärnmassa från $4 gånger 10^7$ till $2,3 gånger 10^{10},M_odot$ (faktor 500). Vintergatan ($R_d = 2,6$ kpc, $M_star = 4 gånger 10^{10}$) ligger i den övre massiva änden av intervallet, vilket gör den till ett strikt kalibreringsankare för dvärgarna som dominerar urvalet.

5. Steg 3 – Blindtest på 94 SPARC-galaxer

Den blinda testuppsättningen består av 94 galaxer som hämtats från SPARC-katalogen, skilda från de 22 kalibreringsgalaxerna. De täcker hela spektrumet av diskgalaxer – från kompakta dvärgar till jättespiraler – och har aldrig använts vid kalibreringen av någon parameter.

För korthetens skull visas endast tolv representativa galaxer i tabellen nedan. Den fullständiga listan med 94 galaxer finns i Appendix A.

Galaxy	Typ	$R_d$ (kpc)	$\Sigma_d$	$M_\text{gas}$ $(10^{10})$	$M_\star$ $(10^{10})$	$f_\text{gas}$$	$M_b$ $(10^{10})$	$r_b$ (kpc)	$M_\text{tunn}$ $(10^{10})$	$M_\text{tjock}$$ $(10^{10})$	$\ell_\text{tunn}$ (kpc)	$\ell_\text{gas}$ (kpc)
F583-1	Im	1.80	22	0.093	0.022	0.81	–	–	0.017	0.006	5.71	9.70
IC2574	Sm	2.80	18	0.293	0.044	0.87	–	–	0.033	0.011	8.88	15.09
M33	Sc	1.40	190	0.146	0.117	0.56	–	–	0.088	0.029	4.44	7.54
NGC0801	Sc	5.80	190	0.931	2.008	0.32	–	–	1.506	0.502	18.39	31.26
NGC2403	Sc	1.80	186	0.279	0.189	0.60	–	–	0.142	0.047	5.71	9.70
NGC3521	Sbc	2.80	327	1.144	0.805	0.59	0.161	1.40	0.483	0.161	8.88	15.09
NGC5055	Sbc	3.50	250	0.998	0.962	0.51	0.192	1.75	0.577	0.192	11.09	18.86
UGC02885	Sc	8.50	150	2.394	3.405	0.41	–	–	2.554	0.851	26.95	45.81
UGC11455	Sc	5.50	40	1.064	0.380	0.74	–	–	0.285	0.095	17.43	29.64
NGC6503	Sc	2.40	210	0.466	0.380	0.55	–	–	0.285	0.095	7.61	12.93
NGC2915	Im	0.50	160	0.064	0.013	0.84	–	–	0.009	0.003	1.58	2.69
UGC02487	S0	7.50	300	1.596	5.301	0.23	1.060	3.75	3.181	1.060	23.77	40.42

Representativ delmängd (12 av 94 blinda galaxer). Den fullständiga listan omfattar Hubble-typerna S0-Im och inkluderar de mest massiva observerade skivgalaxerna (UGC 02885, UGC 11455) samt ultrakompakta dvärgar (NGC 6789, UGC 05764).

Testets omfattning

De 94 blinda galaxerna utökar parameterområdet långt bortom kalibreringsuppsättningen. $R_d$ varierar från $0,30$ till $8,50$ kpc, ytdensiteten från $12$ till $605$ $L_\odot/\text{pc}^2$ och den observerade hastigheten från $17$ till $330$ km/s. Vintergatans kalibreringsankare vid $R_d = 2,6$ kpc ligger ungefär vid den geometriska medianen i denna fördelning.

6. Strukturen i de tre korpusarna – jämförande sammanfattning

Fastighet	Steg 1 – Vintergatan	Steg 2 – 22 kalibreringsgalaxer	Steg 3 – 94 blinda galaxer
Antal galaxer	1	22	94
Roll	Ankare	Kalibrering / global anpassning av $\lambda$.	Förutsägelse
$R_d$ intervall	2,6 kpc (fast)	$0,33$ – $4,5$ kpc	$0,30$ – $8,5$ kpc
$\Sigma_d$ intervall	(direkta massor)	15 – 605 $L_\odot/\text{pc}^2$$.	12 – 605 $L_\odot/\text{pc}^2$$.
$M_\star$ räckvidd	$4 \times 10^{10}\,M_\odot$	$4 \times 10^7$ – $2,3 \times 10^{10}$$	$3 \times 10^7$ – $5.3 \times 10^{10}$$
$V_f$ intervall	230 km/s	2 – 278 km/s	17 – 330 km/s
Hubble-typer som omfattas	Sbc	S0a, Sb, Sc, Sd, Im	S0, Sa, Sb, Sbc, Sc, Sd, Im, Sm
Bulges aktiverad ($T \leq 4$)	Ja	2 av 22	$\sim$30 av 94
Vad är monterat	$\lambda$ (global koppling)	$\lambda$ kan omformas globalt	Ingenting – helt blind

7. Vad denna not fastställer

Ingångsvärdena specificeras fullständigt före varje beräkning

För var och en av de 117 galaxerna (1 + 22 + 94) är de fem observationsinmatningarna $(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, \Upsilon_\star)$ och den resulterande geometriska nedbrytningen fastställda innan vågfältsberäkningen påbörjas. Vågfältsekvationerna i not XII arbetar med dessa indata utan någon galaxspecifik inställning utöver de universella parametrarna $(K_0, c_\text{sph}, c_\text{disk}, c_\text{arm}, \lambda)$.

Ett graderat test av generalisering

De tre stegen bildar en naturlig kaskad av ökande testsvårighetsgrad. Steg 1 fastställer att ramverket kan beskriva Vintergatan med hjälp av dess observerade baryoniska innehåll. Steg 2 verifierar att kalibreringen generaliseras till ett litet heterogent urval inklusive extremfall. Steg 3 placerar ramverket i ett sant prediktivt läge, utan ytterligare parameterjustering, på ett urval som är tillräckligt stort för att reststatistiken ska vara meningsfull.

Enkelriktad hela tiden

Vid varje steg beräknas rotationskurvan utifrån de baryoniska ingångarna, aldrig tvärtom. Jämförelsen med observationer är ett test, inte en kalibreringsslinga. Det enda talet $\lambda$ fastställs en gång för Vintergatan (steg 1), förfinas eventuellt globalt för de 22 kalibreringsgalaxerna (steg 2) och fryses sedan för den blinda förutsägelsen för de 94 återstående galaxerna (steg 3).

8. Sammanfattning

1. BeeTheory-ramverket kommer att tillämpas i tre successiva steg: 1 galax (Vintergatan), sedan 22 (kalibrering), sedan 94 (blind).

2. För varje galax ger de fem observationsdata $(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, \Upsilon_\star)$ en femkomponentsuppdelning med explicita massor, skalor och koherenslängder, beräknade en gång med formlerna i not XII.

3. De fem universella teoriparametrarna $(K_0, c_\text{sph}, c_\text{disk}, c_\text{arm}, \Upsilon_\star)$ gäller identiskt för alla 117 galaxer. Den globala kopplingen $\lambda$ anpassas senast i steg 2 och fryses för steg 3.

4. Kalibreringsuppsättningen täcker en faktor 14 i $R_d$, 40 i $\Sigma_d$ och 500 i $M_\star$. Den blinda uppsättningen utökar dessa intervall ytterligare. Vintergatans ankare ligger inom båda.

5. Varje steg är ett test av modellens generaliserbarhet. Det blinda steget är rent prediktivt: ingen information om rotationskurvor från de 94 galaxerna kommer in i beräkningen i något skede.

Referenser. Lelli, F., McGaugh, S. S., Schombert, J. M. – SPARC: Mass Models for 175 Disk Galaxies with Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves, AJ 152, 157 (2016). Katalogkälla. – Bland-Hawthorn, J., Gerhard, O. – The Galaxy in Context, ARA&A 54, 529 (2016). Vintergatans strukturella parametrar. – Bovy, J., Rix, H.-W. – A direct dynamical measurement of the Milky Way’s disk surface density profile, ApJ 779, 115 (2013). – McGaugh, S. S. – The third law of galactic rotation, Galaxies 2, 601 (2014). $\Upsilon_\star$ vid 3,6 µm. – Ou, X. et al – The dark matter profile of the Milky Way, MNRAS 528, 693 (2024). Gaia 2024 rotationskurva. – Dutertre, X. – Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023).