蜜蜂理论 – 基础 – 技术说明 XVII
五个几何构件
完整参数清单
在将蜜蜂理论框架扩展到大型星系样本之前，本注释先对建模层进行了整合：对于用于描述盘状星系的五个几何组成部分中的每一个，都明确列出了所需的参数、密度剖面、波场相干长度和积分几何。从注释 VII 开始，BeeTheory 的每一次计算都是按照这个操作规范进行的。
1.结果第一–一目了然
每个星系：5 个观测输入→5 个重子成分→波场
每个星系由五个观测输入来描述，这五个观测输入驱动着一个五成分重子分解：凸起（三维）、薄盘（二维）、厚盘（二维）、气环（二维，带中心洞）和旋臂过度（二维，较窄的内核）。加上四个通用理论参数 $(K_0,c_text{sph},c_text{disk},c_text{arm})$ 和一个全局耦合 $\lambda$，这就完全指定了波场计算。
总参数：5 个观测输入+多达 18 个派生成分参数+5 个通用理论参数。除此以外，不按星系进行调整。
2.观测投入（每个星系）
| 符号 | 数量 | 资料来源 |
|---|---|---|
| $T$ | 哈勃形态类型 | 目录 (de Vaucouleurs, SPARC) |
| $R_d$ | 恒星盘尺度长度（kpc） | 斯皮策 3.6 µm 测光 |
| $\Sigma_d$ | 中心圆盘表面亮度 ($L_\odot/\text{pc}^2$) | 斯皮策 3.6 µm 测光 |
| $M_\text{HI}$ | 原子氢总质量 ($M_odot$) | 21 厘米无线电观测 |
| $Upsilon_\star$ | 3.6 µm 处的恒星质量光比 | 固定普及率：0.5\,M_\odot/L_\odot$ (McGaugh 2014) |
根据这些输入，一次计算出两个综合质量量：
$$M_star \;=\; 2\pi\,R_d^2\,\Sigma_d\,\Upsilon_\star \qquad\text{(stellar mass)}$$
$$M_\text{gas}\1.33,M_text{HI}\（气体质量，He 校正）}$$
3.组件 1 – 隆起（3D Hernquist）
隆起是星系中心的一个三维球形聚集体。只有早期和中期类型的星系才会出现隆起。在晚期螺旋星系和不规则星系中，则不存在隆起。
激活：$T\leq 4$ （S0、Sa、Sb、Sbc 螺旋）。$T \geq 5$ 时禁用（Sc、Sd、Im）。
| 参数 | 符号 | 计算公式 |
|---|---|---|
| 凸起块 | M_b$ | $0.20 \cdot M_\star$ |
| 刻度半径 | $r_b$ | $\max(0.5\,R_d,\;0.3\text{ kpc})$ |
| 相干长度 | $\ell_b$ | $c_text{sph}\cdot r_b$ |
密度曲线
$$\rho_b(r) =\; \frac{M_b\,r_b}{2\pi\,r\,(r + r_b)^3}$$
波场积分 – 球壳
$$\rho_\text{wave}^{(b)}(r) \;=\; \int_0^{6r_b}\cdot K_0\frac{(1 +\alpha_b D)\,e^{-\alpha_b D}}{D^{\cdot K_0\frac{(1 +\alpha_b D)\,e^{-\alpha_b D}}{D^2}\4\pi r’^2\,dr’, \quad D = \sqrt{r^2 + r’^2}, \quad \alpha_b = 1/\ell_b$$
参数数：激活时为3（$M_b$, $r_b$, $\ell_b$），否则为 0。
4.成分 2 – 薄恒星盘（二维指数型）
薄盘容纳了大部分不在隆起中的恒星质量。它是几何上最薄的恒星部分，垂直范围最小。始终处于激活状态。
| 参数 | 符号 | 计算公式 |
|---|---|---|
| 薄盘质量 | $M_text{thin}$ | $0.75 \cdot (M_\star – M_b)$ |
| 音阶长度 | $R_d$ | 观测（输入） |
| 相干长度 | $ell_\text{thin}$ | $c_text{disk}\R_d$ |
密度曲线和整合
$$\Sigma_\text{thin}(R) \;=\; \frac{M_\text{thin}}{2\pi\,R_d^2}\,e^{-R/R_d}$$
$$rho_\text{wave}^{(\text{thin})}(r) \;=\; \int_0^{8R_d}$\cdot K_0\frac{(1 + \alpha_\text{thin} D)\,e^{-\alpha_\text{thin} }{D^2}D}{D^2}\2\pi R’\,dR’$$
参数数：3($M_\text{thin}$, $R_d$, $\ell_\text{thin}$)。同心圆上的积分 $R’$.
5.成分 3 – 厚恒星盘（二维指数，较宽）
厚圆盘由较老、动态温度较高的恒星组成，其径向分布比薄圆盘更广。始终处于激活状态。携带 25% 的非暴涨恒星质量。
| 参数 | 符号 | 计算公式 |
|---|---|---|
| 厚圆盘质量 | $M_text{thick}$ | $0.25 \cdot (M_\star – M_b)$ |
| 音阶长度 | $R_text{thick}$ | 1.5 \cdot R_d$ |
| 相干长度 | $ell_\text{thick}$ | $c_text{disk}\R_text{thick} = 1.5\,c_\text{disk}\,R_d$ |
密度曲线和整合
$$\Sigma_\text{thick}(R) \;=\; \frac{M_\text{thick}}{2\pi\,R_\text{thick}^2}\,e^{-R/R_\text{thick}}$$
$$\rho_\text{wave}^{(\text{thick})}(r) \;=\; \int_0^{8R_\text{thick}}\cdot K_0\frac{(1 + \alpha_\text{thick} D)\,e^{-\alpha_\text{thick}D}{D^2}\2\pi R’\,dR’$$
参数数：3($M_text{thick}$, $R_text{thick}$, $\ell_\text{thick}$)。与薄圆盘的环几何形状相同。
6.成分 4 – 气体环（HI + He，2D，带中心孔）
银河系的中性原子气体（含氦校正）的分布范围比恒星盘更广，而且是中心贫化的。它是最外延的重子成分，通常远远超出了光学盘。
| 参数 | 符号 | 计算公式 |
|---|---|---|
| 气体质量 | $M_\text{gas}$ | 1.33 美元 |
| 气体尺度长度 | $R_g$ | 1.7 \cdot R_d$ (Broeils & Rhee 1997) |
| 中心孔半径 | $R_\text{hole}$ | $0.5 \cdot R_g$ |
| 相干长度 | $ell_\text{gas}$ | $c_text{disk}\R_g = 1.7\,c_text{disk}\,R_d$ |
密度曲线和整合
$$\Sigma_\text{gas}(R) \;=\; \frac{M_\text{gas}}{2\pi\,R_g^2}\,\exp\!\left(-\frac{R_\text{hole}}{R} – \frac{R}{R_g}\right)$$
$$\rho_\text{wave}^{(\text{gas})}(r) \;=\; \int_{R_\text{hole}}^{8R_g}\cdot K_0\frac{(1 + \alpha_\text{gas} D)\,e^{-\alpha_\text{gas} }{D^2}D}{D^2}\2\pi R’\,dR’$$
双指数形式同时捕捉到了中心损耗（$-R_\text{hole}/R$项抑制了小$R时的剖面，此时中性氢通常被光离子化或以分子形式存在）和外围下降（$-R/R_g$项）。积分的下限始于 $R_\text{holhole}$，在这里剖面变得不可忽略。
参数数：4($M_\text{gas}$, $R_g$, $R_\text{hole}$, $\ell_\text{gas}$).带截断内半径的环形积分。
7.部件 5 – 螺旋臂过度（二维，内核较窄）
旋臂是薄盘表面密度的方位调制。在轴对称蜂论单极近似中，它们被视为薄盘轮廓在 10%水平上的有效均匀增强，但有一个明显的相干长度，反映了与光滑盘相比，旋臂结构的角度范围更窄。
| 参数 | 符号 | 计算公式 |
|---|---|---|
| 手臂有效质量 | $M_\text{arm}$ | $0.10 \cdot M_text{thin}$ |
| 径向刻度 | $R_d$ | 跟踪薄圆盘 |
| 相干长度 | $ell_\text{arm}$ | $c_\text{arm｝\R_d$ （比 $\ell_\text{thin}$ 窄） |
密度曲线和整合
0.10 \Sigma_text{thin}(R) \;=\; \frac{0.10\,M_\text{thin}}{2\pi\,R_d^2}\,e^{-R/R_d}$$
$$rho_\text{wave}^{(\text{arm})}(r) \;=\; \int_0^{8R_d}$\cdot K_0\frac{(1 + \alpha_\text{arm} D)\,e^{-\alpha_\text{arm}D}{D^2}\2\pi R’\,dR’$$
因为 $c_\text{arm} < c_\text{disk}$< c_\text{disk}$，旋臂核比薄盘核更加局部化--场在短距离内增强，但在几千兆赫之外则呈指数衰减。这反映了一个事实，即真正的旋臂会产生强烈的局部引力特征，但不会将相干性扩展到整个磁盘。
参数数：3($M_\text{arm}$, $R_d$, $\ell_\text{arm}$)。与薄圆盘的环形几何形状相同。
8.总表–所有组成部分一目了然
| # | 组件 | 几何学 | 质量 | 径向刻度 | 一致性 $\ell$ | 激活 | 参数 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 凸起 | 3D 赫尔奎斯特球 | $0.20\,M_\star$ | $r_b = \max(0.5R_d,\,0.3)$ | $c_text{sph}\,r_b$ | $T \leq 4$ | 3 |
| 2 | 薄磁盘 | 二维指数 | $0.75\,(M_\star – M_b)$ | $R_d$ | $c_text{disk}\,R_d$ | 始终如一 | 3 |
| 3 | 厚圆盘 | 二维指数 | $0.25\,(M_\star – M_b)$ | $1.5\,R_d$ | $1.5\,c_\text{disk}\,R_d$ | 始终如一 | 3 |
| 4 | 气环 | 带中心孔的 2D Exp. | 1.33 美元 | $1.7\,R_d$, $R_text{hole} = 0.85\,R_d$ | $1.7\,c_\text{disk}\,R_d$ | 始终如一 | 4 |
| 5 | 螺旋臂 | 二维方位超差 | $0.10\,M_\text{thin}$ | R_d$（跟着变薄） | $c_text{arm}\,R_d$ | 始终如一 | 3 |
9.通用理论参数（对所有星系都相同）
五个数字固定了蜜蜂理论的波核。它们是通用的–同样的数值适用于银河系、矮星系和大质量螺旋星系。它们不会因星系而异，而且是在一个校准样本上一次性确定的。
| 符号 | 价值 | 角色 |
|---|---|---|
| $K_0$ | $0.3759$ | 波质振幅 – 设置内核的无量纲尺度 |
| $c_\text{sph}$ | $0.41$ | 三维相干比：球形（隆起）光源的 $\ell_b / r_b$ |
| $c_\text{disk}$ | $3.17$ | 二维相干比：盘和气环的 $\ell / R_text{scale}$ |
| $c_\text{arm}$ | $2.0$ | 螺旋相干比：臂调制的内核更窄 |
| $\lambda$ | $0.4957$ | 全局波场耦合（缩放总波密度） |
每个分量的波形内核本身是相同的：
$$\mathcal{K}(D) \;=\; K_0 \cdot \frac{(1 +\alpha D)\,e^{-\alpha D}}{D^2}, \qquad \alpha = 1/\ell$$
10.从部件到旋转曲线
半径 $r$ 处的总波场密度是五个分量的总和，按全局耦合比例缩放：
$$ \rho_\text{wave}(r) \;=\; \lambda \cdot \!\!\sum_{i \in \{b,\text{thin},\text{thick},\text{gas},\text{arm}\}}!!\rho_\text{wave}^{(i)}(r)$!
封闭波质量和预测圆周速度如下：
$$M_text{wave}(R)\;=\; \int_0^R 4\pi r^2 \rho_\text{wave}(r)\,dr$$
$$V_c^2(R) =; V_text{bar}^2(R) +\; \frac{G\,M_text{wave}(R)}{R}$$
其中，$V_\text{bar}(R)$ 是可见重子的牛顿圆周速度（弗里曼 1970 年公式用于指数盘各部分，赫恩奎斯特封闭质量用于凸起部分，所有这些都是正交组合）。
11.参数核算 – 概述
每个星系，输入什么，得出什么
观测输入（每个星系）：5 个量（$T$, $R_d$, $\Sigma_d$, $M_\text{HI}$, $\Upsilon_\star$）。
推导出的成分参数（每个星系）：如果 $T > 4$（无隆起），则为 13 个；如果 $T \leq 4$（有隆起），则为 16 个。全部由上述 5 个输入参数通过确定性公式计算得出。
通用理论参数：5个数字（$K_0$, $c_\text{sph}$, $c_\text{disk}$, $c_\text{arm}$, $\lambda$）。每个星系都相同。
每个星系的自由拟合参数：$\mathbf{0}$。模型没有逐星系调整。
12.摘要
1.每个星系都由五个几何部分描述：凸起（三维赫恩奎斯特，可选）、薄恒星盘、厚恒星盘、带中心孔的气体环和旋臂过度（后四个部分都是二维指数）。
2.凸起仅在 $T \leq 4$ （S0 到 Sbc）时被激活。四个二维分量始终存在。
3.每个分量都对波场密度进行单独积分：凸起部分进行球壳积分，四个二维分量进行环形积分。
4.每个星系的推导参数最多为 16 个（有凸起）或 13 个（无凸起），都是根据 5 个观测输入确定计算出来的。
5.五个通用理论参数 $(K_0，c_text{sph}，c_text{disk}，c_text{arm}，lambda)$ 对所有星系都是相同的—它们不会根据每个星系的情况进行调整。
6.模型中不存在每个星系的自由参数。一旦 $lambda$ 固定在一个校准样本上，随后的所有旋转曲线都是纯粹的预测值。
参考文献Lelli，F.、McGaugh，S.S.、Schombert，J.M. –SPARC：利用斯皮策测光和精确旋转曲线建立的175个盘状星系质量模型，AJ 152，157 (2016)。- Hernquist, L. –An analytical model for spherical galaxies and bulges, ApJ 356, 359 (1990).凸起密度曲线。- Freeman, K. C. –On the disks of spiral and S0 galaxies, ApJ 160, 811 (1970).Exponential disk circular velocity.- Broeils, A. H., Rhee, M.-H.-Short 21-cm WSRT observations of spiral and irregular galaxies, A&A 324, 877 (1997).Gas-to-stellar disk scale ratio.- McGaugh, S. S. –The third law of galactic rotation, Galaxies 2, 601 (2014).$\Upsilon_\star$ at 3.6 µm.- Bland-Hawthorn, J., Gerhard, O. –The Galaxy in Context, ARA&A 54, 529 (2016).银河系结构分解。- Dutertre, X. –Bee Theory™：Wave-BasedModeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023).
BeeTheory.com – 波基量子引力 – 模型层 – © Technoplane S.A.S. 2026