蜜蜂理论 – 基础 – 技术说明 XIII

输入数据和三个测试语料库

注释 XII 中的方法将五个观测输入转化为每个星系的一整套几何参数，为波场卷积做好了准备。本注释明确提出了用于评估模型的三个测试数据集的这些参数：单独的银河系，22 个星系的校准集，以及 94 个星系的盲样。每一步都将测试的星系数量扩大一个数量级。

1.三步协议

三个语料库，三种角色

步骤 1 –银河系（1 个星系）。参考点。根据内部恒星观测和 21 厘米地图确定全球波场耦合 $\lambda$。

步骤 2 – 校准集（22 个星系）。SPARC 星系目录的前二十个条目加上三个极端情况（致密、经典螺旋、富含气体）。模型的应用是在步骤 1 中冻结了 $\lambda$ 的情况下进行的，如果需要的话，可以进行一次全局重新校准。

第 3 步–盲测（94 个星系）。所有参数从步骤2开始冻结。不做进一步调整。其余SPARC 星系的旋转曲线纯粹是预测值。

2.通用理论参数（三个语料库相同）

五个数字，对所有大小和类型的星系都是固定不变的。它们定义了波核和全局耦合。它们在三个步骤中不会发生变化。

参数	符号	价值	角色
波质振幅	$K_0$	$0.3759$	设置波核的无量纲刻度
三维相干比	$c_\text{sph}$	$0.41$	凸起的 $\ell_b / r_b$
二维相干比	$c_\text{disk}$	$3.17$	圆盘和气环的 $\ell / R_text{scale}$
螺旋相干比	$c_\text{arm}$	$2.0$	$\ell_\text{arm}/ R_d$ 表示旋臂
恒星质量光比	$Upsilon_\star$	$0.5\,M_\odot/L_\odot$	Spitzer 3.6 µm（McGaugh，2014 年）

3.步骤 1 – 银河

3.1 观察投入

数量	价值	资料来源
哈勃类型 $T$	4 (Sbc)	de Vaucouleurs 等人，1991 年
磁盘刻度长度 $R_d$	2.6$ 千兆位点	Bovy & Rix 2013
恒星总质量 $M_\star$	$4.0 \times 10^{10}\,M_\odot$	光度测量（Bland-Hawthorn 和 Gerhard，2016 年）
气体总质量 $M_\text{gas}$ (HI + He)	1.06 美元乘以 10^{10}\,M_odot$	21 厘米地图
观测到的平面速度 $V_f$	大约230公里/秒，速度为$R_\odot$	Gaia DR3（Ou 等人，2024 年）

3.2 每个组件的推导几何参数

组件	质量 ($10^{10}\,M_\odot$)	空间尺度	相干长度 $\ell$	简介
凸起（$T \leq 4$ → 激活）	1.240	$r_b$ = 0.61 kpc	$\ell_b$ = 0.25 kpc	3D 赫恩奎斯特
薄磁盘	2.070	$R_d$ = 2.60 kpc	$ell_\text{thin}$ = 8.24 kpc	二维指数
厚圆盘	0.690	$1.5\,R_d$ = 3.90 kpc	$ell_\text{thick}$ = 12.36 kpc	二维指数
气环	1.060	$R_g$ = 4.42 kpc	$ell_\text{gas}$ = 14.01 kpc	带孔的二维实验
螺旋臂	0.2070	$R_d$ = 2.60 kpc	$\ell_\text{arm}$ = 5.20 kpc	二维方位角

关于银河系输入的说明：银河系使用的是直接观测分解公式（Bland-Hawthorn & Gerhard 2016），而不是 SPARC 星系使用的测光公式 $M_star = 2pi R_d^2,Sigma_d,Upsilon_star$。这是因为银河系是从内部进行观测的，其质量成分是通过恒星测量、微透镜和动力学综合测量的，而不是通过单一的综合光度测量的。除此之外，各部分的分解和波场方程是相同的。

4.步骤 2 – 22 个校准星系

SPARC 目录（Lelli 等人，2016 年）的前二十个条目，以及三个测试模型极限的极端案例：NGC 2841（大质量致密早期型）、NGC 3198（经典大设计螺旋型）、DDO 154（气体为主的矮星）。

每个星系的五个观测输入值$(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, V_f)$都来自SPARC。根据这些数据，利用注释 XII 中的公式计算出五个分量的质量和相干长度。下表列出了所有的推导量。

银河系	类型	$R_d$ (kpc)	$Sigma_d$ ($L_\odot/$pc$^2$)	$M_\text{gas}$ $(10^{10})$	$M_\star$ $(10^{10})$	$f_\text{gas}$	$M_b$ $(10^{10})$	r_b$ (kpc)	$M_\text{thin}$ $(10^{10})$	$M_\text{thick}$ $(10^{10})$	$ell_\text{thin}$ (kpc)	$ell_\text{gas}$ (kpc)
CamB	Im	0.47	66	0.002	0.005	0.32	–	–	0.003	0.001	1.49	2.53
D631-7	Im	0.70	115	0.051	0.018	0.74	–	–	0.013	0.004	2.22	3.77
DDO064	Im	0.33	120	0.023	0.004	0.85	–	–	0.003	0.001	1.05	1.78
DDO154	Im (gas)	0.60	45	0.063	0.005	0.92	–	–	0.004	0.001	1.90	3.23
DDO161	Im	1.10	35	0.109	0.013	0.89	–	–	0.010	0.003	3.49	5.93
DDO168	Im	0.69	100	0.028	0.015	0.65	–	–	0.011	0.004	2.19	3.72
DDO170	Im	1.10	25	0.051	0.010	0.84	–	–	0.007	0.002	3.49	5.93
ESO116-G012	Sd	2.10	115	0.160	0.159	0.50	–	–	0.119	0.040	6.66	11.32
ESO444-G084	Im	0.55	60	0.016	0.006	0.74	–	–	0.004	0.001	1.74	2.96
F561-1	Im	2.50	30	0.120	0.059	0.67	–	–	0.044	0.015	7.92	13.47
F563-1	Im	2.70	20	0.160	0.046	0.78	–	–	0.034	0.011	8.56	14.55
F563-V1	Im	1.20	25	0.040	0.011	0.78	–	–	0.008	0.003	3.80	6.47
F563-V2	Im	1.10	30	0.047	0.011	0.80	–	–	0.009	0.003	3.49	5.93
F565-V2	Im	1.00	18	0.027	0.006	0.82	–	–	0.004	0.001	3.17	5.39
F567-2	Im	1.80	15	0.080	0.015	0.84	–	–	0.011	0.004	5.71	9.70
F568-1	Sd	3.20	40	0.239	0.129	0.65	–	–	0.097	0.032	10.14	17.24
F568-3	Sd	3.00	35	0.200	0.099	0.67	–	–	0.074	0.025	9.51	16.17
F568-V1	Im	2.10	20	0.106	0.028	0.79	–	–	0.021	0.007	6.66	11.32
F571-8	Sd	4.50	50	0.293	0.318	0.48	–	–	0.239	0.080	14.27	24.25
F574-1	Sd	3.60	30	0.253	0.122	0.67	–	–	0.092	0.031	11.41	19.40
NGC2841	Sb	3.50	605	1.104	2.328	0.32	0.466	1.75	1.397	0.466	11.09	18.86
NGC3198	Sc	3.14	153	1.144	0.474	0.71	–	–	0.355	0.118	9.95	16.92

校准集的全部 22 个星系。凸起质量和半径只出现在 $T \leq 4$（最后两行，NGC 2841 和 NGC 3198）。为了保持紧凑，表格中省略了相干长度 $\ell_text{thick} = 1.5\,\ell_text{thin}$ 和 $\ell_text{arm} = (2.0/3.17)\,\ell_text{thin}$ 。

参数空间覆盖范围

22 个校准星系的 $R_d$ 范围从 0.33$ 到 4.5$ kpc（系数 14），$Sigma_d$ 范围从 15 到 605 $L_odot/text{pc}^2$（系数 40），恒星质量范围从 4 乘以 10^7$ 到 2.3 乘以 10^{10},M_odot$ （系数 500）。银河系（$R_d = 2.6$ kpc，$M_star = 4 times 10^{10}$）位于该范围的上限，因此对于样本中占主导地位的矮星来说是一个严格的校准锚。

5.步骤 3 – 对 94 个 SPARC 星系进行盲测

盲测试集包括从 SPARC 目录中提取的 94 个星系，与 22 个校准星系不同。它们涵盖了整个盘状星系的范围–从紧凑矮星系到巨型螺旋星系–并且从未用于任何参数的校准。

为简洁起见，下表只列出了 12 个具有代表性的星系。附录 A 列出了 94 个星系的完整列表。

银河系	类型	$R_d$ (kpc)	$\Sigma_d$	$M_\text{gas}$ $(10^{10})$	$M_\star$ $(10^{10})$	$f_\text{gas}$	$M_b$ $(10^{10})$	r_b$ (kpc)	$M_\text{thin}$ $(10^{10})$	$M_\text{thick}$ $(10^{10})$	$ell_\text{thin}$ (kpc)	$ell_\text{gas}$ (kpc)
F583-1	Im	1.80	22	0.093	0.022	0.81	–	–	0.017	0.006	5.71	9.70
IC2574	Sm	2.80	18	0.293	0.044	0.87	–	–	0.033	0.011	8.88	15.09
M33	Sc	1.40	190	0.146	0.117	0.56	–	–	0.088	0.029	4.44	7.54
NGC0801	Sc	5.80	190	0.931	2.008	0.32	–	–	1.506	0.502	18.39	31.26
NGC2403	Sc	1.80	186	0.279	0.189	0.60	–	–	0.142	0.047	5.71	9.70
NGC3521	Sbc	2.80	327	1.144	0.805	0.59	0.161	1.40	0.483	0.161	8.88	15.09
NGC5055	Sbc	3.50	250	0.998	0.962	0.51	0.192	1.75	0.577	0.192	11.09	18.86
UGC02885	Sc	8.50	150	2.394	3.405	0.41	–	–	2.554	0.851	26.95	45.81
UGC11455	Sc	5.50	40	1.064	0.380	0.74	–	–	0.285	0.095	17.43	29.64
NGC6503	Sc	2.40	210	0.466	0.380	0.55	–	–	0.285	0.095	7.61	12.93
NGC2915	Im	0.50	160	0.064	0.013	0.84	–	–	0.009	0.003	1.58	2.69
UGC02487	S0	7.50	300	1.596	5.301	0.23	1.060	3.75	3.181	1.060	23.77	40.42

代表性子集（94 个盲星系中的 12 个）。完整的列表涵盖了哈勃类型 S0-Im，包括观测到的质量最大的盘状星系（UGC 02885，UGC 11455）以及超紧凑矮星系（NGC 6789，UGC 05764）。

测试范围

94 个盲星系的参数空间远远超出了校准集。R_d$范围从$0.30$到$8.50$ kpc，表面密度从$12$到$605$ $L_\odot/\text{pc}^2$，观测平面速度从$17$到$330$ km/s。位于 $R_d = 2.6$ kpc 的银河校准锚大致位于这一分布的几何中值。

6.三个语料库的结构–比较摘要

财产	步骤 1 –银河	步骤 2 – 22 个校准星系	步骤 3 – 94 个盲星系
星系数量	1	22	94
角色	锚	校准/全局拟合 $\lambda$	预测
$R_d$ 范围	2.6 kpc（固定）	0.33 美元 – 4.5 美元千兆位点	0.30 美元 – 8.5 美元千兆位点
$\Sigma_d$ 范围	（直接质量）	15 – 605 $L_\odot/\text{pc}^2$	12 – 605 $L_\odot/\text{pc}^2$
$M_\star$ 范围	$4 \times 10^{10}\,M_\odot$	$4 times 10^7$ – $2.3 times 10^{10}$	3 元乘以 10^7 元 – 5.3 元乘以 10^{10} 元
$V_f$ 范围	230 公里/秒	2 – 278 公里/秒	17 – 330 公里/秒
涵盖的哈勃类型	Sbc	S0a、Sb、Sc、Sd、Im	S0、Sa、Sb、Sbc、Sc、Sd、Im、Sm
凸起被激活（$T \leq 4$）	是	2 of 22	$\sim$30 of 94
安装了什么	$\lambda$（全球耦合）	$lambda$ 可以在全球范围内重新拟合	什么都没有 – 完全失明

7.本说明所确定的内容

计算前完全指定输入

对于 117 个星系（1 + 22 + 94）中的每一个星系，在波场计算开始之前，五个观测输入参数 $(T,R_d,\Sigma_d,M_\text{HI},\Upsilon_\star)$ 和由此产生的几何分解都是固定的。除了通用参数 $(K_0,c_\text{sph},c_\text{disk},c_\text{arm},\lambda)$之外，注 XII 中的波场方程对这些输入进行运算时不需要任何特定星系的调整。

渐进式概括能力测试

这三个步骤形成了一个自然的级联，测试的严重程度依次递增。第 1 步确定该框架可以利用观测到的重子含量来描述银河系。第 2 步验证校准是否适用于包括极端情况在内的小型异质样本。第 3 步将该框架置于真正的预测模式，无需进一步调整参数，样本足够大，残差统计数据才有意义。

全程单向

每一步都是根据重子输入计算旋转曲线，而不是相反。与观测结果的比较是一种测试，而不是校准循环。单个数字 $\lambda$ 在银河系上固定一次（第 1 步），可能会在 22 个校准星系上全面改进（第 2 步），然后冻结，以便对剩余的 94 个星系进行盲预测（第 3 步）。

8.摘要

1. 蜜蜂理论框架将分三个步骤连续应用：1 个星系（银河系），然后是 22 个星系（校准），最后是 94 个星系（盲星系）。

2.对于每个星系，五个观测输入$(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, \Upsilon_\star)$会产生一个具有明确质量、尺度和相干长度的五分量分解，通过注十二的公式计算一次。

3.五个通用理论参数 $(K_0,c_text{sph},c_text{disk},c_text{arm},\Upsilon_\star)$ 完全适用于所有 117 个星系。全局耦合 $\lambda$ 最迟在步骤 2 中拟合，并在步骤 3 中冻结。

4.校准集涵盖了 $R_d$ 中的 14 个因子，$\Sigma_d$ 中的 40 个因子，以及 $M_\star$ 中的 500 个因子。盲集进一步扩大了这些范围。银河锚位于这两个范围之内。

5.每一步都是对模型通用性的测试。盲法步骤纯粹是预测性的：在任何阶段，94 个星系的旋转曲线信息都不会进入计算。

参考文献Lelli，F.、McGaugh，S.S.、Schombert，J.M. –SPARC：利用斯皮策测光和精确旋转曲线建立的 175 个盘状星系质量模型，AJ 152，157 (2016)。目录来源。- Bland-Hawthorn, J., Gerhard, O. –The Galaxy in Context, ARA&A 54, 529 (2016).银河系结构参数。- Bovy, J., Rix, H.-W. – 银河系盘面密度曲线的直接动力学测量，ApJ 779, 115 (2013).- McGaugh, S. S. –The third law of galactic rotation, Galaxies 2, 601 (2014).$\Upsilon_\star$ at 3.6 µm.- Ou, X. et al. –The dark matter profile of the Milky Way, MNRAS 528, 693 (2024).Gaia 2024旋转曲线。- Dutertre, X. –Bee Theory™：Wave-BasedModeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023).