BeeTheory — Основы — Техническая заметка II

Гравитационная сила в BeeTheory:
Аналитический вывод

Начиная с регуляризованной волновой функции BeeTheory и применяя уравнение Шредингера к паре взаимодействующих частиц, гравитационная сила в $1/R^2$ возникает непосредственно из сферического лапласиана. В этой заметке представлен полный аналитический вывод — основа, которая связывает волновой постулат BeeTheory с законом тяготения Ньютона.

Гравитационный потенциал BeeTheory

$$V_{\text{BT}}(R) \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2m\,a_0}\cdot\frac{1}{R}$$

где $a_0$ — естественный масштаб длины частицы, а $R$ — расстояние между двумя частицами.
Именно такова структура гравитационного потенциала Ньютона с коэффициентом $1/R$.

Соответствующая гравитационная сила получается напрямую:

Сила гравитации по теории Би

$$F_{\text{BT}}(R)\;=\; -\frac{dV_{\text{BT}}{dR} \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2m\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2}$$

Притяжение, уменьшающееся с ростом $1/R^2$ — обратно-квадратичный закон гравитации.

1. Вывод в одном параграфе

Две частицы A и B описываются регуляризованной волновой функцией BeeTheory $psi(r) = exp(-sqrt{r^2 + a_0^2}/a_0)$. Общее волновое поле представляет собой суперпозицию $\Psi = \psi_A + \psi_B$. Уравнение Шредингера без потенциала, $ihbar,partial_t Psi = -(hbar^2/2m),nabla^2 Psi$, определяет оператор кинетической энергии. Вычисление этого оператора в месте нахождения частицы B, расширение в локальной координате $r$ вокруг B с расстоянием $R$ между A и B в качестве параметра и применение сферического лапласиана дает кинетический вклад, пропорциональный $-3\alpha/R$ с $\alpha = 1/a_0$. Этот вклад действует как эффективный потенциал $propto 1/R$ — гравитационный потенциал Ньютона — возникающий непосредственно из волновой структуры материи.

2. Установка: две частицы, одно общее волновое поле

Рассмотрим две элементарные частицы A и B, расположенные в фиксированных положениях $\mathbf{r}_A$ и $\mathbf{r}_B$, разделенные расстоянием $R = |\mathbf{r}_A — \mathbf{r}_B|$. Каждая частица описывается регуляризованной волновой функцией BeeTheory, при этом $a_0$ играет роль естественного масштаба длины частицы:

Индивидуальные волновые функции

$$\psi_A(\mathbf{r}) = \exp\!\left(-\frac{\sqrt{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_A|^2 + a_0^2}}{a_0}\right), \qквадрат \psi_B(\mathbf{r}) = \exp\!\left(-\frac{\sqrt{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_B|^2 + a_0^2}}{a_0}\right)$$

Комбинированное волновое поле, в духе оригинального постулата BeeTheory, представляет собой суперпозицию:

Полное волновое поле

$$\Psi(\mathbf{r},t) = \psi_A(\mathbf{r})\,e^{i\omega_1 t} + \psi_B(\mathbf{r})\,e^{i\omega_2 t}$$.

Это та же отправная точка, что и в оригинальной статье BeeTheory (Dutertre 2023), теперь она построена на регуляризованной волновой функции, которая хорошо определена везде — в том числе и в центрах частиц.

3. Уравнение Шредингера: только кинетическая энергия

Следуя основополагающему предположению BeeTheory о том, что гравитация возникает только из волновой кинематики — без привлечения внешнего потенциала — мы применяем зависящее от времени уравнение Шредингера с $V = 0$:

Шредингер без потенциала

$$i\hbar\,\frac{\partial \Psi}{\partial t} \;=\; -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2 \Psi$$.

Оператор кинетической энергии $T = -(\hbar^2/2m)\,\nabla^2$ становится, в этих рамках, местом гравитационного взаимодействия. Решающим шагом является оценка этого оператора в месте расположения одной частицы — скажем, B — и измерение того, как он зависит от положения другой частицы A. Эта зависимость и есть гравитационное взаимодействие.

4. Локальное расширение: координаты $R + r$

Чтобы определить энергию взаимодействия в точке B, вызванную A, мы задаем локальную координату $\mathbf{r}$ с центром на B, а $R$ — фиксированное расстояние между A и B. Точка вблизи B с локальной координатой $\mathbf{r}$ находится на расстоянии $R + r$ от A, когда $\mathbf{r}$ выровнена вдоль оси AB:

Локальная система координат вокруг B

$$||\mathbf{r} — \mathbf{r}_A| = R + r, \qquad r \ll R$$.

В режиме, когда $R \gg a_0$ — то есть, когда две частицы разделены более чем несколькими атомными радиусами — регуляризованная волновая функция A, оцененная вблизи B, факторизуется естественным образом. До ведущего порядка по $a_0/R$:

Факторизованная форма вблизи B

$$\psi_A(R+r)\;\simeq\; \underbrace{e^{-R/a_0}}_{\text{амплитуда, постоянная в }r} \;\cdot\; \underbrace{e^{-\alpha\,r/R}}_{\text{локальный профиль}}, \qquad \alpha \equiv \frac{1}{a_0}$$.

Амплитудный префактор $e^{-R/a_0}$ зависит только от разделения $R$ и действует как константа, когда мы дифференцируем относительно локальной координаты $r$. Локальный профиль $e^{-\alpha r/R}$ несет в себе пространственную структуру, которая важна для операции Лапласиана. Эта факторизация является геометрическим сердцем вывода: она говорит нам, что волновое поле A, наблюдаемое из небольшой окрестности B, имеет характерный масштаб изменения $R/\alpha$, а не $a_0$ — длина изменения задается расстоянием между двумя частицами.

5. Применение сферического Лапласиана

Для функции $f(r)$, которая зависит только от радиальной координаты $r$ в сферической рамке, лапласиан принимает хорошо известный вид:

Сферический лапласиан для радиальной функции

$$\nabla^2 f(r)\;=\; \frac{1}{r^2}\,\frac{d}{dr}\!\left(r^2\,\frac{df}{dr}\right)$$

Примените это к локальному профилю $f(r) = e^{-\alpha r/R}$, где $\alpha/R$ играет роль эффективного обратного масштаба длины:

$$\frac{df}{dr} = -\frac{\alpha}{R}\,e^{-\alpha r/R}$$$

$$r^2\,\frac{df}{dr} = -\frac{\alpha r^2}{R}\,e^{-\alpha r/R}$$.

$$\frac{d}{dr}\!\left(r^2\,\frac{df}{dr}\right) = -\frac{\alpha}{R}\,e^{-\alpha r/R}\,\left(2r — \frac{\alpha r^2}{R}\right)$$

$$\nabla^2 f(r)\;=\; -\frac{\alpha}{R}\,e^{-\alpha r/R}\,\left(\frac{2}{r} — \frac{\alpha}{R}\right)$$

Полное выражение содержит два члена. Чтобы определить гравитационное взаимодействие, мы возьмем предел, в котором $r$ мал по сравнению с $R$ — то есть, мы оцениваем лапласиан в непосредственной окрестности B. В этом пределе перекрестный производный член $(2/r) \cdot (\alpha r/R)$ от интегрирования по сферическому объему дает ведущий постоянный вклад:

Центральный результат

$$\boxed{\;\nabla^2 f(r)\;\xrightarrow{\;r \ll R\;}\; -\frac{3\alpha}{R}\;}$$$

Это ключевой аналитический результат: лапласиан волнового поля A, оцененный локально вокруг B, пропорционален $1/R$ — подпись гравитационного потенциала. Структура чиста и размерно прозрачна: величина с размерностью, обратной квадрату длины, лапласиан, образованный из волновых параметров $\alpha = 1/a_0$ и разделения $R$.

6. От кинетического оператора к гравитационному потенциалу

Кинетическая энергия, связанная с этим вкладом лапласиана, определяется прямым применением уравнения Шредингера:

$$T_{\text{BT}}(R)\;=\; -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2 f \;=\; -\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\left(-\frac{3\alpha}{R}\right) \;=\; +\frac{3\hbar^2}{2m\,a_0}\cdot\frac{1}{R}}$$.

Этот член действует как эффективный потенциал между двумя частицами — энергия, которая зависит от их расстояния $R$ как $1/R$. При стандартном значении знака для притягивающего взаимодействия гравитационный потенциал BeeTheory имеет вид:

Гравитационный потенциал BeeTheory

$$V_{\text{BT}}(R) \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2m\,a_0}\cdot\frac{1}{R}$$

Это в точности соответствует форме гравитационного потенциала Ньютона $V_N(R) = -Gm^2/R$. Эти два понятия отождествляются в соответствии:

Теория пчел ↔ Соответствие Ньютона

$$G\,m^2 \;\longleftrightarrow\; \frac{3\hbar^2}{2m\,a_0}$$$

Гравитационная сила немедленно вытекает из градиента потенциала:

Теория гравитационной силы BeeTheory

$$F_{\text{BT}}(R)\;=\; -\frac{dV_{\text{BT}}{dR} \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2m\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2}$$

Притяжение и убывание с ростом $1/R^2$ — обратно-квадратичный закон гравитации.

7. Что устанавливает это выведение

Гравитация возникает из волновой кинематики

Не ссылаясь ни на какой потенциал, ни на какой гравитон, ни на какую кривизну пространства-времени, волновой формализм BeeTheory создает потенциал $1/R$ и силу $1/R^2$ между двумя частицами. Гравитационное взаимодействие не добавляется в теорию — оно выпадает из уравнения Шредингера, примененного к волновой структуре материи.

Регуляризованная основа очень важна

Вывод опирается на регуляризованную волновую функцию $psi(r) = exp(-sqrt{r^2+a_0^2}/a_0)$, которая хорошо определена везде — в том числе и в центрах частиц. Без этой регуляризации локальный лапласиан расходился бы в начале координат, и процедура была бы плохо поставлена. Таким образом, техническое уточнение волновой функции и гравитационный вывод неразделимы: вместе они образуют единую, непротиворечивую математическую структуру.

Роль локальной координаты

Параметризация $R + r$ — это геометрическое представление, которое преобразует микроскопический волновой параметр $\alpha = 1/a_0$ в макроскопический диапазон взаимодействия. Вблизи частицы B волновое поле A изменяется с эффективным масштабом длины $R/\alpha$ — он задается расстоянием между частицами, а не атомным радиусом как таковым. Вот почему возникает структура $1/R$: сферический лапласиан «видит» межчастичное расстояние как соответствующую длину и производит величину, масштабирующуюся как $1/R$.

8. Краткое изложение вывода

Шаг	Операция	Результат
1. Постулат	Регуляризованная волновая функция для каждой частицы	$\psi(r) = \exp(-\sqrt{r^2+a_0^2}/a_0)$
2. Суперпозиция	$\Psi = \psi_A + \psi_B$	Волновое поле двух частиц
3. Шредингер	$T = -(\hbar^2/2m)\nabla^2$, при $V = 0$	Кинетический оператор
4. Локальная рамка	С центром на B, пусть $\|\mathbf{r}-\mathbf{r}_A\| = R+r$.	$\psi_A \simeq e^{-R/a_0}\cdot e^{-\alpha r/R}$.
5. Лапласиан	Сферический лапласиан на локальном профиле	$\nabla^2 f \to -3\alpha/R$
6. Потенциал	$V_{\text{BT}} = -(\hbar^2/2m)\nabla^2 f$	$V_{\text{BT}}(R) = -3\hbar^2/(2m\,a_0\,R)$
7. Усилие	$F = -dV/dR$	$F_{\text{BT}}(R) \propto 1/R^2$

9. Резюме в три строки

1. Волновое поле двух частиц $Psi = psi_A + psi_B$ в теории Би удовлетворяет уравнению Шредингера без потенциала.

2. Сферический лапласиан, оцененный локально вблизи одной частицы с межчастичным расстоянием $R$ в качестве параметра, дает кинетический вклад, пропорциональный $1/R$.

3. Именно такова форма гравитационного потенциала Ньютона. Сила в $1/R^2$ возникает непосредственно из волновой структуры материи.

В следующей технической заметке этой серии представлено численное моделирование, подтверждающее этот аналитический результат, и рассматриваются его последствия для атомных, молекулярных и астрофизических масштабов.

Ссылки. Дютертр, X. — Bee Theory™: Волновое моделирование гравитации, v2, BeeTheory.com (2023). Оригинальный постулат и вывод потенциала $1/R$. — Ньютон, И. — Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Королевское общество (1687 г.). Основополагающий $1/R^2$ закон гравитации. — Шредингер, Э. — Quantisierung als Eigenwertproblem, Annalen der Physik (1926). Оригинальная формулировка волнового уравнения, используемая в этом выводе.

Гравитационная сила в BeeTheory:Аналитический вывод