蜂理論のための正則化された波動関数

この公式は、BeeTheoryを素粒子から銀河系まで、あらゆるスケールで完全かつ明確に定義された理論にする3つの特性を備えています：

プロパティ	r = 0$ での値	a$ に対する振る舞い
波動関数 $psi(r)$	約0.368$ (有限)	to e^{-r/a}$ （元のビー理論の仮定と一致）
ラプラシアン	3,e^{-1}/a^2$ (有限)	to e^{-r/a}/a^2$ (漸近的に同じ)
無料パラメータ	つ（$a$だけ）	長さスケールの追加なし

2.正則化の原理

原理は簡単で、$r$を指数内部で$sqrt{r^2 + a^2}$に置き換えるだけです。この置き換えは、理論物理学でよく使われる古典的な正則化手法で、特に素粒子物理学の湯川ポテンシャルや量子化学の擬ポテンシャルで使われています。正則化の長さは粒子自身の特徴的な長さ$a$です。

物理的な解釈は自然で、拡張された波動構造としての粒子というBeeTheoryの基礎的な見方と一致しています。粒子の核の波動場は、それ自身のコヒーレンス長のスケールで滑らかです。これは元の定理の強化であり、定理からの逸脱ではありません。

両極端での挙動

原点付近($r Ⅾ a$)：$sqrt{r^2+a^2}を使います。\approx a + r^2/(2a)$ を使うと、次のようになります。

波動関数は中心付近で滑らかにガウス型に遷移し、$r = 0$で有限値$e^{-1}$となります。確率密度は粒子内部全体でよく定義されています。

原点から遠い($r ゙ a$)：$rsqrt{r^2+a^2}=rsqrt{1+(a/r)^2}を使うと、以下のようになります。\approx r + a^2/(2r)$, 以下のようになります。

元のBeeTheoryの定理の指数関数的減衰を正確に復元します。粒子自身のスケールよりも大きな距離におけるBeeTheoryのすべての予測は、原子、惑星、天体物理学的な応用も含めて、修正されることなく保存されています。

4.解析的ラプラシアン

導出は直接的です。s(r) = \sqrt{r^2 + a^2}$、$psi(r) = N^{-1}\,e^{-s/a}$とすると、半径方向の導関数は次のようになります：

半径対称関数の鎖法則と球座標のラプラシアン $nabla^2 = \partial_r^2 + (2/r)Γpartial_r$ を適用すると、コンパクトな閉形式が得られます：

この式は、$r = 0$のときを含めて、どこでも有限です。つの自然極限での評価

制限	s(r)$	nabla^2 \psi(r)$
r	s	psi(0) \cdot (-3/a^2) = -3,e^{-1}/a^2$.
＄r	s	psi(r) \cdot (1/a^2 – 3/(r,a))$.

大きな距離では、ラプラシアンは元のBeeTheoryの式$psi \cdot (1/a^2 – 2/(r,a))$の形を$1/r$の補正まで回復し、その補正は急速に消えます。この差は$r$が$5a$より大きいと無視できます。

6.3行で要約

1.BeeTheoryの波動関数は$psi(r) = N^{-1}, \exp!left(-sqrt{r^2+a^2}/aright)$です。

2.そのラプラシアンはどこでも有限で、原点で$-3,e^{-1}/a^2$の値をとります。

3.rが約5a$を超えると、数値的には元の$e^{-r/a}$と区別がつきません。