نظرية النحل – الأسس – المذكرة الفنية الثانية

قوة الجاذبية في نظرية النحل:
الاشتقاق التحليلي

بدءًا من دالة موجة BeeTheory المنتظمة وتطبيق معادلة شرودنجر على زوج من الجسيمات المتفاعلة، تنبثق قوة الجاذبية في 1/R^2$ مباشرةً من لابلاسيان الكروي. تقدم هذه المذكرة الاشتقاق التحليلي الكامل – الأساس الذي يربط بين فرضية موجة نظرية النحلة وقانون نيوتن للجاذبية.

إمكانات الجاذبية في نظرية النحلة

$$V_{\text{BT}}(R) \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2m\,a_0}\cdot\frac{1}{R}$$

حيث $a_0$ هو مقياس الطول الطبيعي للجسيم و$R$ هو الفاصل بين جسيمين.
هذا بالضبط هو بالضبط بنية $$1/R$ لإمكانات الجاذبية لنيوتن.

يتم الحصول على قوة الجاذبية المناظرة مباشرة:

قوة جاذبية نظرية النحلة

$$$$F_{{\{نص{{{BT}}(R) \\؛ =\; -\frac{dV_{dV_{\{نص{BT}}}{dR} \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2m\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2}$$

جاذب، يتناقص كلما زاد 1$/ر^2$ – قانون المربع العكسي للجاذبية.

1. الاشتقاق في فقرة واحدة

يتم وصف الجسيمين A وB بواسطة الدالة الموجية النحلة المنتظمة للنظرية النحلية $psi(r) = exp(-sqrt{r^2 + a_0^2}/a_0)$. المجال الموجي الكلي هو تراكب $\Psi = \psi_A + \psi_B$. تُعرِّف معادلة شرودنجر من دون إمكانات، $$إيهبار، جزئي_بسي = -(hbar^2/2m)، نابلا^2 Psi$، مشغل طاقة حركية. وبإيجاد قيمة هذا المشغِّل عند موقع الجسيم B، والتوسع في الإحداثي المحلي $ r$ حول B مع الفصل $ R$ بين A وB كبارامتر، وتطبيق لابلاسيان الكروي، نحصل على مساهمة حركية تتناسب مع $ 3\ألفا/R$ مع $ \ألفا = 1/a_0$. تعمل هذه المساهمة كإمكانية فعالة بقيمة $/propto 1/R$ – إمكانات نيوتن للجاذبية – تنبثق مباشرةً من البنية الموجية للمادة.

2. الإعداد: جسيمان ومجال موجي واحد مشترك

لنفترض جسيمين أوليين A وB يقعان في موضعين ثابتين $\mathbf{r}A_$ و$\mathbf{r}B$، تفصل بينهما مسافة $R = \mathbf{r}A_ – \mathbf{r}B_$. يتم وصف كل جسيم بواسطة الدالة الموجية لنظرية النحلة المنظمة، حيث يلعب $a_0$ دور مقياس الطول الطبيعي للجسيم:

الدوال الموجية الفردية

$$ \\ppsi_A(\mathbf{r}) = \exp\\!\left(-\frac{\sqrt{||mathbf{r}-\mathbf{r}_r}_A_A_^2 + a_0^2}}{a_0}\right)، \qquad \psi_B(\mathbf{r}) = \exp\!\left(-\frac{\sqrt{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_B|^2 + a_0^2}}{a_0}\right)$$

المجال الموجي المركب، وفقًا لفرضية نظرية النحل الأصلية، هو التراكب:

المجال الموجي الكلي

\$$Psi(\mathbf{r},t) = \psi_A(\mathbf{r})\، ه^{i\omega_1 t} + \psi_B(\mathbf{r})\,e^{i\omega_2_t}$$$$$

هذه هي نفس نقطة البداية التي انطلقت منها ورقة نظرية النحل الأصلية (Dutertre 2023)، وهي مبنية الآن على الدالة الموجية المنتظمة التي تكون محددة جيدًا في كل مكان – بما في ذلك مراكز الجسيمات.

3. معادلة شرودنجر: الطاقة الحركية فقط

باتباع الافتراض التأسيسي لنظرية بي ثوري بأن الجاذبية تنبثق من حركيات الموجة وحدها – دون استدعاء أي إمكانات خارجية – نطبق معادلة شرودنجر المعتمدة على الزمن مع $V = 0$:

شرودنجر بدون إمكانات

\$$$i\hbar\\، \frac{\partial \Psi}{\partial t} \؛ = \؛ -\frac{\hbar^2}{2m}\، \nabla^2 \Psi$$$$$

يصبح مشغل الطاقة الحركية $T = -(\hbar^2/2m)\، \nabla^2$، في هذا الإطار، مقر تفاعل الجاذبية. والخطوة الحاسمة هي إيجاد قيمة هذا المشغل عند موقع أحد الجسيمات – لنقل B – وقياس كيفية اعتماده على موضع الجسيم الآخر A. وهذا الاعتماد هو بالضبط تفاعل الجاذبية.

4. التمدد المحلي: إحداثيات $ R + r$ + r$

لاستخراج طاقة التفاعل في B الناجمة عن A، نضع إحداثيًّا محليًّا $\mathbf{r}$ يتمركز على B، حيث يكون R$ هو المسافة الثابتة بين A وB. النقطة القريبة من B عند الإحداثي المحلي $\mathbf{r}$ تكون على مسافة $R + r$ من A عندما يكون $\mathbf{r}$ محاذيًا على طول المحور AB:

نظام الإحداثيات المحلي حول B

$$$$ \\mathbf{r} – \mathbf{r}A|$$$$$$$$$$$$

في النظام الذي يكون فيه $R \gg a_0$ – أي عندما يكون الجسيمان منفصلين بأكثر من بضعة أنصاف أقطار ذرية – فإن الدالة الموجية المنتظمة ل A المقيَّمة بالقرب من B تتحلل بشكل طبيعي. إلى الترتيب الرئيسي في $a_0/R$:

الشكل المعامل بالقرب من ب

\$$\ppsi_A(R+r) \؛ \simeq\\؛ \underbrace{e^^^{-R/A_0}}_{\\نص{السعة, ثابت في}r} \؛ \cdot؛ \underbrace{e^{e^^{-\ألفا\، r/R}}{\نص{{المحلي}}، \qquad \ألفا \equiv \frac{1}{a_0}$$$$

يعتمد العامل المسبق للسعة $e^^{-R/A_0}$ على الفصل $R$ فقط ويعمل كثابت عندما نشتق بالنسبة إلى الإحداثي المحلي $r$. يحمل المظهر الجانبي المحلي $$e^^{- \ألفا r/R}$ البنية المكانية المهمة لعملية لابلاسيان. هذا التحليل هو القلب الهندسي للاشتقاق: فهو يخبرنا أن مجال الموجة A، كما نراه من حي صغير حول B، له مقياس تغير مميز يساوي $R/ \alpha$، وليس $a_0$ – طول التغير يحدده الفصل بين الجسيمين.

5. تطبيق اللابلاسيان الكروي

بالنسبة إلى الدالة $f(r)$ التي تعتمد فقط على الإحداثي الشعاعي $r$ في إطار كروي، يأخذ لابلاسيان الصورة المعروفة:

لابلاسيان كروي لدالة نصف قطرية

$$$ \nabla^2 f(r) \; =\; \frac{{1}{r^2}\,\frac{d}{dr}{dr}\\\$$$$$$

وبتطبيق ذلك على الملف الشخصي المحلي $f(r) = e^^{- \ألفا r/R}$، حيث يلعب $\ألفا/R$ دور مقياس الطول العكسي الفعال:

$$$$ \\frac{df}{dr} = -\frac{\alpha}{R}\، ه^{-\ألفا r^2}{R}$$$$

$$$$r^2\، \frac{df}{dr} = -\frac{\alpha r^2}{R}\\، e^{-\ألفا r/R}$$$$$$

$$$$\\frac{{d}{dr}\\\lft(r^2\\,\frac{alpha}{R}\,e^{-\alpha r\R},\lft(2r – \frac{alpha r^2\}{R}\R\R\right)$$$$

$$$ \nabla^2 f(r) \; =\; -\nbsp;-\frac{\alpha}{r}\\، e^{-\-\alpha r/R}\\، \left(\frac{\2}{r} – \frac{\alpha}{R}\right)$$$

يحتوي التعبير الكامل على حدين. لتحديد تفاعل الجاذبية، نأخذ الحد الذي يكون فيه $ r$ صغيرًا مقارنةً بـ $ R$ – أي أننا نحسب قيمة لابلاسيان على الجوار المباشر لـ B. في هذا الحد، ينتج الحد المشتق التبادلي $(2/r) \cdot (\alpha r/R)$ من التكامل على الحجم الكروي المساهمة الثابتة الرئيسية:

النتيجة المركزية

\$$$$$${\\\nabla^2 f(r) \\\\xrightarrow{\\\r\n؛ \r\ll R\\;؛ \\frac{\3\alpha}{R\\;}$$$$$$$$

هذه هي النتيجة التحليلية الرئيسية: يتناسب لابلاسيان المجال الموجي A، الذي يتم تقييمه محليًا حول B، مع 1$/ R$ – وهو ما يمثل توقيع إمكانات الجاذبية. البنية نظيفة وشفافة الأبعاد: كمية ذات بُعد تربيع الطول العكسي المقلوب، لابلاسيان، ناتجة من معامِلات الموجة \ألفا = 1\ألفا = 1/a_0$ والفاصل $R$.

6. من عامل الحركة إلى جهد الجاذبية

الطاقة الحركية المرتبطة بمساهمة لابلاسيان هذه، بالتطبيق المباشر لمعادلة شرودنجر:

$$$T_{{{{نص{{{BT}}(R) \\؛ =\\؛ -\\frac{\hbar^2}{2m}\\، \nabla^2 f \؛ =\؛ -\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\lft (-\frac{{3\alpha}{R}\R}\right) \؛ =\؛ +\frac{\3\hbar^2}{2m\، a_0}\cdot\frac{frac{1}{R}$$$$$

يعمل هذا المصطلح كجهد فعال بين الجسيمين – طاقة تعتمد على المسافة بينهما $R$1/R$. باستخدام اصطلاح الإشارة القياسي للتفاعل التجاذبي، فإن جهد الجاذبية في نظرية النحل هو

إمكانات الجاذبية النحلة

$$V_{\text{BT}}(R) \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2m\,a_0}\cdot\frac{1}{R}$$

هذا بالضبط على شكل جهد الجاذبية لنيوتن $V_N(R) = -Gm^2/R$. يتطابق الاثنان من خلال التطابق:

نظرية النحلة ↔ مراسلات نيوتن

$$$$$G\، م^2 \؛ \longleftLightright; \frac{3\hbar^2}{2m\، a_0}$$$$$

تتبع قوة الجاذبية مباشرة من ميل الجهد:

نظرية قوة الجاذبية

$$$$F_{{\{نص{{{BT}}(R) \\؛ =\; -\frac{dV_{dV_{\{نص{BT}}}{dR} \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2m\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2}$$

جاذبية وتناقصية مع 1$/ر^2$ – قانون المربع العكسي للجاذبية.

7. ما يؤسسه هذا الاشتقاق

تنبثق الجاذبية من الكينماتيكا الموجية

دون استدعاء أي إمكانات أو أي جرافيتون جاذبية أو أي انحناء في الزمكان، تنتج نظرية بي ثوري الموجية إمكانات بمقدار 1$/دولار وقوة 1$/دولار^2$ بين جسيمين. لا يُضاف تفاعل الجاذبية إلى النظرية – فهو يخرج من معادلة شرودنجر المطبقة على البنية الموجية للمادة.

الأساس المنتظم ضروري

يرتكز الاشتقاق على دالة الموجة المنتظمة $psi(r) = exp(-sqrt{r^2+a_0^2}/a_0)$، وهي محددة جيدًا في كل مكان – بما في ذلك مراكز الجسيمات. وبدون هذا التنظيم، سيتباعد اللابلاسيان المحلي عند نقطة الأصل، وسيصبح الإجراء غير سليم. ومن ثم فإن التنقيح التقني للدالة الموجية واشتقاق الجاذبية لا ينفصلان: فهما يشكلان معًا إطارًا رياضيًا واحدًا متسقًا.

دور الإحداثي المحلي

المعلمة البارامترية $R + r$ هي الرؤية الهندسية التي تحوِّل بارامتر الموجة المجهري $\ألفا = 1/a_0$ إلى نطاق تفاعل عياني. فبالقرب من الجسيم B، يختلف المجال الموجي للجسيم A بمقياس طول فعال $R/alpha$ – الذي يحدده الفصل بين الجسيمات، وليس نصف القطر الذري نفسه. وهذا هو السبب في ظهور بنية 1$/دولار أمريكي: “يرى” اللابلاسيان الكروي أن المسافة بين الجسيمات هي الطول ذو الصلة، وينتج كمية تتدرج بمقياس 1$/دولار أمريكي.

8. ملخص الاشتقاق

الخطوة	العملية	النتيجة
1. الفرضية	الدالة الموجية المنتظمة لكل جسيم	$ \psi(r) = \ exp(-\sqrt{r^2+a_0^2}/a_0)$
2. التراكب	$\Psi = \psi_A + \psi_B$	المجال الموجي ثنائي الجسيمات
3. شرودنغر	$T = -(\hbar ^2/2m)\nabla ^2$، مع $V = 0$	المشغل الحركي
4. الإطار المحلي	بالتركيز على B، دع $ \\mathbf{r}-\mathbf{r}A_\|= R+r$	$ \psi_A \simeq e^{-R/ R/A_0} \cdot e^{-\ألفا r/R}$
5. لابلاسيان	لابلاسيان كروي على المظهر الجانبي المحلي	$ \nabla ^ 2 و \ إلى -3 \ألفا/ر$
6. الاحتمالات	$_V_{\{نص{{BT}} = -(\هبار^2/2م) \nabla^2 و$$	$$V_{\{نص{{BT}}(R) = -3\hbar ^2/(2m\،a_0\،R)$
7. القوة	$ F = -dV/dR$	$$F_{{{\نص{{BT}}(R) \propto 1/R ^2$

9. ملخص في ثلاثة أسطر

1. حقل موجة نظرية النحل لجسيمين $Psi = psi_A + psi_B$ يحقق معادلة شرودنجر بدون جهد.

2. ينتج عن اللبلاسيان الكروي، الذي يتم تقييمه محليًا بالقرب من جسيم واحد مع المسافة بين الجسيمات $R$ كبارامتر، مساهمة حركية تتناسب مع 1$/R$.

3. هذا هو بالضبط شكل إمكانات الجاذبية لنيوتن. تنبثق القوة في $1/R^2$ مباشرة من البنية الموجية للمادة.

تعرض المذكرة الفنية التالية في هذه السلسلة عمليات المحاكاة العددية التي تؤكد هذه النتيجة التحليلية وتستكشف آثارها على المقاييس الذرية والجزيئية والفيزيائية الفلكية.

المراجع. دوتيرتر، إكس. – نظرية النحل™: النمذجة المستندة إلى الموجة للجاذبية، الإصدار 2، BeeTheory.com (2023). الفرضية الأصلية واشتقاق إمكانات 1$/R$. – نيوتن، I. – Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica، الجمعية الملكية (1687). القانون التأسيسي للجاذبية 1$/دولار^2$. – شرودنغر، إي. – Quantisierung als Eigenwertproblem، حولية حولية الفيزياء (1926). الصيغة الأصلية للمعادلة الموجية المستخدمة في هذا الاشتقاق.

قوة الجاذبية في نظرية النحل:الاشتقاق التحليلي