Масса Млечного Пути как функция расстояния от его центра
Видимая масса диска — Недостающая масса — Уравнения на основе колец — Галактический радиус
Видимая масса диска Млечного Пути может быть смоделирована путем сложения масс его основных компонентов: тонкого звездного диска, толстого звездного диска, атомарного водородного газа HI и молекулярного водородного газа H₂.
Масса видимого диска записывается как:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Самая простая и полезная часть — это масса звездного диска:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)- r — это расстояние от Галактического центра в килопарсеках, или кпк.
- M — это масса в солнечных массах, M⊙.
Это уравнение дает видимую звездную массу диска Млечного Пути внутри радиуса r.
Недостающая масса затем получается путем сравнения видимой массы с динамической массой:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)В практических астрономических единицах:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5\,v_c^2(r)\,r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)с vc(r) в км/с, r в кпк и массой в M⊙.
Окончательное уравнение массы видимого диска
Видимый диск Млечного Пути состоит из звезд и газа. Мы пишем:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Два основных звездных компонента — это тонкий звездный диск и толстый звездный диск.
Два газовых компонента — это атомарный водород, HI, и молекулярный водород, H₂.
Самое чистое уравнение — это уравнение звездного диска:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)Полностью написан:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Это основное уравнение для видимой массы звездного диска Млечного Пути.
Почему диск Млечного Пути моделируется с помощью колец
Диск Млечного Пути не является сплошной сферой. Он больше похож на большой сплюснутый диск.
Чтобы рассчитать его массу, мы разделим его на множество тонких круговых колец.
Кольцо радиусом r имеет окружность:
\(2\pi r\)Если кольцо имеет небольшую ширину dr, то его площадь составляет:
\(dA=2\pi r\,dr\)Если поверхностная плотность массы равна Σ(r), то масса кольца составляет:
\(dM=\Sigma(r)\,2\pi r\,dr\)Это ключевая идея.
Общая масса внутри радиуса r получается путем сложения всех колец от Галактического центра до r:
\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma(R)\,R\,dR\)Таким образом, масса диска не состоит из сферических оболочек. Она состоит из круговых колец.
Экспоненциальный диск
Поверхностная плотность звезд в галактическом диске часто моделируется как экспоненциальная функция:
\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)- Σ0 — это плотность массы центральной поверхности.
- Rd — это длина шкалы диска.
- r — это расстояние от Галактического центра.
Это означает, что диск имеет наибольшую плотность вблизи центра и становится менее плотным по мере увеличения r.
Подстановка экспоненциальной поверхностной плотности в уравнение кольца дает:
\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)Решение интеграла дает:
\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)Это фундаментальная формула массы диска.
Компонент 1 — Тонкий звездный диск
Тонкий диск — это яркая, плоская, звездообразующая часть Млечного Пути. Он содержит молодые звезды, множество звезд, похожих на Солнце, спиральные рукава, газ, пыль и активные звездообразующие области.
Для тонкого диска мы используем:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)С тех пор:
\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)Мы преобразуем:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)Масса тонкого диска радиусом r составляет:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)Поэтому:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)При очень большом радиусе:
\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)Компонент 2 — Толстый звездный диск
Толстый диск старше и более вытянут по вертикали. Он содержит более старые звезды, которые движутся дальше над и под галактической плоскостью.
Для толстого диска мы используем:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)Преобразование поверхностной плотности:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)Масса толстого диска внутри радиуса r составляет:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Поэтому:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)При очень большом радиусе:
\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)Общая масса звездного диска
Добавление тонких и толстых дисков:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)Итак:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Общая масса звездного диска составляет:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)Таким образом, видимый звездный диск Млечного Пути содержит около 45,7 миллиардов солнечных масс.
Добавление газового диска
Диск Млечного Пути также содержит видимый газ. Два основных компонента газа — это атомарный водород, HI, и молекулярный водород, H₂.
Газ не моделируется как простой экспоненциальный диск, потому что у него есть центральная депрессия. Полезной формой является:
\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)- Rm — это шкала центральных отверстий.
- Rd — это радиальная длина шкалы.
Масса внутри радиуса r равна:
\(M_{\mathrm{gas}}(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{R}-\frac{R}{R_d}\right)R\,dR\)Атомарный газообразный водород: HI
Для атомарного водорода:
\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)Нормализованное уравнение — это:
\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}M_\odot\)Это дает долю общей массы газа HI, содержащуюся внутри радиуса r.
Молекулярный газообразный водород: H₂
Для молекулярного водорода:
\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)Уравнение нормализованной массы имеет вид:
\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}M_\odot\)Полное уравнение видимого диска
Полное уравнение видимого диска таково:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Написано полностью:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}+1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\)- r и R указаны в кпк.
- M — это в M⊙.
Это уравнение дает видимую массу диска Млечного Пути внутри радиуса r.
Динамическая масса от вращения
Наблюдаемая скорость вращения Млечного Пути говорит нам о том, сколько массы требуется для гравитации.
Для круговых движений:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)- vc(r) — это круговая скорость на радиусе r.
- G — это гравитационная постоянная.
В практических единицах:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)Если скорость вращения приблизительно равна:
\(v_c(r)\approx233\,\mathrm{km/s}\)Затем:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq2.325\times10^5(233)^2r\,M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq1.26\times10^{10}r\,M_\odot\)с r в кпк.
Это означает, что если кривая вращения остается почти плоской, то динамическая масса растет почти линейно с радиусом.
Уравнение недостающей массы
Недостающая масса — это разница между динамической и видимой массой:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Используйте уравнение вращения:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)В практических единицах:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)- vc(r) — в км/с.
- r — в кпк.
- M — это в M⊙.
Если мы сосредоточимся только на видимом диске:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)\simeq2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)Это центральное уравнение, связывающее наблюдаемое вращение Млечного Пути с видимой массой его диска.
Расширение пропавшей массы на основе волн
Модель диска объясняет видимую массу. Недостающая масса — это то, что остается после сравнения видимой массы с динамической массой.
Модель, основанная на волнах, может описать недостающую массу как эффективную плотность, создаваемую видимым диском.
Основная идея заключается в том, что каждый видимый элемент массы генерирует эффективное поле, уменьшающееся с расстоянием.
Пусть расстояние между исходной точкой r′ и точкой наблюдения r равно:
\(D=|r-r’|\)Тогда элементарный вклад можно записать как:
\(d\rho_{\mathrm{wave}}(r)=\rho_{\mathrm{visible}}(r’)\,\lambda e^{-D/\ell}\,dV\)- λ — безразмерный коэффициент связи.
- ℓ — это длина когерентности.
- D — это расстояние между источником и точкой наблюдения.
Эта форма означает, что эффективный вклад уменьшается экспоненциально с расстоянием:
\(e^{-D/\ell}\)Параметр ℓ управляет тем, насколько далеко распространяется эффект.
Эффективная плотность всего диска
Для диска полная эффективная плотность в точке (R,z) может быть записана как свертка видимого диска с экспоненциальным ядром.
Исходный диск имеет поверхностную плотность:
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)Точка дискового источника расположена на радиусе R′ и под углом φ.
Расстояние от этой исходной точки до точки наблюдения (R,z) равно:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Тогда эффективная плотность составляет:
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)с:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Это уравнение говорит, что каждое кольцо видимой массы вносит вклад в эффективную плотность в точке (R,z) с силой, которая затухает как e-D/ℓ.
Интерпретация по кольцам
Диск снова можно понять через кольца.
Видимое кольцо радиусом R′ имеет массу:
\(dM_{\mathrm{visible}}=2\pi R’\Sigma(R’)\,dR’\)В волновом расширении это кольцо вносит свой вклад в эффективную плотность вокруг него.
Вклад наиболее силен вблизи кольца и уменьшается с расстоянием:
\(e^{-D/\ell}\)Таким образом, эффективная плотность не вставляется вручную в виде сферического ореола. Она генерируется из геометрии самого диска.
На малых расстояниях оно повторяет геометрию диска. На больших расстояниях, после интегрирования по многим кольцам, эффективное распределение может стать более гладким и вытянутым.
Компактная формула для эффективной плотности на основе волн
Использование экспоненциального диска:
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)можно схематично записать эффективную плотность как:
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda\Sigma_0}{\ell}\int_0^\infty R’e^{-R’/R_d}\left[\int_0^{2\pi}e^{-\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}/\ell}\,d\phi\right]dR’\)Это самая чистая общая форма. Она сохраняет реальную геометрию диска:
- R′ — это радиус кольца источника.
- R — радиус наблюдения в галактической плоскости.
- z — это высота над или под галактической плоскостью.
- φ — угол вокруг кольца источника.
От эффективной плотности к эффективной массе
Когда эффективная плотность известна, соответствующая эффективная масса внутри радиуса r может быть записана как:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_{V(r)}\rho_{\mathrm{wave}}(\mathbf{x})\,d^3x\)В сферических координатах:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_0^r\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\rho_{\mathrm{wave}}(s,\theta,\phi)s^2\sin\theta\,d\phi\,d\theta\,ds\)Затем эту эффективную массу можно сравнить с наблюдаемой недостающей массой:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)\approx M_{\mathrm{missing}}(<r)\)Это дает проверяемое условие.
Ключевое физическое ограничение
Для плоских галактических кривых вращения требуется приблизительно:
\(v_c(r)\approx\mathrm{constant}\)Если vc(r) приблизительно постоянна, то:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2}{G}\)Итак:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\propto r\)Это основная причина появления недостающей массы.
Масса видимого диска не растет линейно бесконечно. Она приближается к конечной общей массе:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\rightarrow M_{\mathrm{disk,visible}}(\infty)\)Но динамическая масса, выведенная на основании плоской кривой вращения, продолжает расти:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\propto r\)Поэтому:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)также растет с увеличением радиуса.
Простой численный пример на радиусе Солнца
Солнце расположено примерно на:
\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)Используйте уравнение звездного диска:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)Это дает приблизительно:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\approx3.7\times10^{10}M_\odot\)Если круговая скорость составляет:
\(v_c\simeq233\,\mathrm{km/s}\)тогда динамическая масса внутри 8,2 кпк составляет:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)=2.325\times10^5(233)^2(8.2)M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)\approx1.03\times10^{11}M_\odot\)Это различие показывает, почему одна лишь видимая масса не может объяснить наблюдаемое вращение.
Что включает и не включает эта модель
| Компонент | Включены ли они в уравнение диска? |
|---|---|
| Тонкий звездный диск | Да |
| Толстый звездный диск | Да |
| Атомарный газообразный водород, HI | Да |
| Молекулярный газообразный водород, H₂ | Да |
| Центральная выпуклость/полоса | Нет |
| Звездный ореол | Нет |
| Ореол темной материи | Нет |
| Эффективная масса, основанная на волнах | Дополнительное расширение |
Приведенные выше уравнения относятся к диску.
Полная модель массы Млечного Пути также включает в себя:
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{disk}}+M_{\mathrm{bulge}}+M_{\mathrm{stellar\,halo}}+M_{\mathrm{missing}}\)или в формулировке, основанной на волнах:
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{visible}}+M_{\mathrm{wave}}\)Заключительное резюме основных уравнений
Видимый звездный диск
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Полный видимый диск
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}+M_{\mathrm{thick}}+M_{\mathrm{HI}}+M_{\mathrm{H_2}}\)Динамическая масса
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)Недостающая масса
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Масса кольца
\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)Экспоненциальный диск
\(\Sigma(r)=\Sigma_0e^{-r/R_d}\)Эффективная плотность на основе волн
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)с:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Глоссарий
Галактический центр
Центральная область Млечного Пути.
Радиус r
Расстояние от галактического центра, обычно измеряется в килопарсеках.
Килопарсек, кпк
Единица измерения галактического расстояния. Один кпк равен примерно 3 260 световым годам.
Солнечная масса, M⊙
Масса Солнца.
Поверхностная плотность, Σ(r)
Масса на единицу площади галактического диска.
Тонкий диск
Плоская, яркая, звездообразующая часть Млечного Пути.
Толстый диск
Более старый, более вертикально вытянутый звездный компонент.
HI
Атомарный газообразный водород.
H₂
Молекулярный газообразный водород.
Динамическая масса
Масса, необходимая для объяснения наблюдаемой скорости вращения.
Недостающая масса
Разница между динамической и видимой массой.
Длина когерентности, ℓ
В волновом расширении — масштаб расстояния, на котором эффективный вклад уменьшается.
Коэффициент связи, λ
Безразмерный параметр, контролирующий силу эффективного волнового вклада.
Часто задаваемые вопросы
Какое уравнение является наиболее важным?
Самое важное уравнение видимого диска — Mdisk,visible(<r)=Mthin+Mthick+MHI+MH₂. Самое важное уравнение недостающей массы —Mmissing(<r)=rvc²(r)/G-Mvisible(<r).
Почему мы используем кольца?
Потому что диск Млечного Пути плоский. Диск естественным образом строится из круговых колец, поэтому масса кольца равна dM=2πrΣ(r)dr.
Почему видимая масса быстро перестает расти?
Потому что плотность диска уменьшается экспоненциально. При большом радиусе видимой материи становится все меньше и меньше.
Почему появляется недостающая масса?
Потому что наблюдаемая кривая вращения остается почти плоской на больших расстояниях. Плоская кривая вращения подразумевает, что динамическая масса растет примерно линейно с радиусом, а видимая масса диска — нет.
Доказывает ли эта страница какую-то конкретную модель темной материи?
Нет. Уравнения диска описывают видимую материю. Уравнение недостающей массы показывает разрыв между видимой массой и динамической массой. Волновая часть — это дополнительная модель, которую можно проверить на наблюдаемой кривой вращения.
Примечания по доступности
Предлагаемый текст alt изображения:
- Изображение 1: «Нисходящая диаграмма диска Млечного Пути, разделенного на круговые кольца вокруг галактического центра».
- Изображение 2: «Вид сбоку Млечного Пути, показывающий тонкий диск, окруженный более толстым звездным диском».
- Изображение 3: «График увеличения видимой массы диска и динамической массы с расстоянием от Галактического центра».
- Изображение 4: «Иллюстрация экспоненциального поля, уменьшающегося с расстоянием от видимого элемента массы».