Linnunradan kiekon massa säteen funktiona

TL;DR

Linnunradan kiekon näkyvä massa voidaan mallintaa useiden komponenttien summana: ohut tähtikiekko, paksu tähtikiekko, atomivetykaasu HI ja molekyylivetykaasu H₂.

Hyödyllisin yhtälö on:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

jossa r on etäisyys galaktisesta keskuksesta kiloparekkeina eli kpc:nä.

Kiekon tähtiosan massa säteen r sisällä on McMillanin galaktisen massamallin yleisesti hyväksyttyjä Linnunradan parametreja käyttäen:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

jossa r on kpc:nä ja massa aurinkomassana, M⊙.

Tämä yhtälö kuvaa Linnunradan kiekon näkyvää tähtimassaa etäisyyden funktiona galaktisesta keskuksesta.

Näkyvän kiekon massan lopullinen yhtälö

Linnunradan näkyvä kiekko voidaan kirjoittaa seuraavasti:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Tähtiosa on puhtain:

\(M_{\mathrm{levy,tähdet}}(<r)=M_{\mathrm{ohut}}(<r)+M_{\mathrm{paksu}}(<r)\)

Numeeristen parametrien käyttö:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

missä:

  • r = etäisyys galaktisesta keskuksesta kpc:nä.
  • Mdisk,stars = tähtikiekon massa säteen r sisällä.
  • M⊙ = yksi auringon massa

Tässä käytetyt parametrit ovat peräisin McMillanin vuoden 2017 Linnunradan massamallista, jonka mukaan Auringon säde on R₀ = 8,20 ± 0,09 kpc, kiertonopeus v₀ = 232,8 ± 3,0 km/s ja tähtien kokonaismassa (54,3 ± 5,7) × 10⁹ M⊙.

Linnunradan kiekko on rakennettu renkaista

Yksinkertainen tapa ymmärtää massayhtälö on kuvitella, että galaktinen kiekko leikataan moneksi ohueksi pyöreäksi renkaaksi.

Jokaisessa renkaassa on:

[lateksi]\mathrm{ympärysmitta}=2\pi r[/lateksi] \(\mathrm{leveys}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)

Jos kiekon pinnan massatiheys on Σ(r), niin yhden ohuen renkaan massa on:

\(dM=2\pi r\,\Sigma(r)\,dr\)

Säteen r sisällä oleva massa saadaan laskemalla yhteen kaikki renkaat keskipisteestä r:ään:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)

Tämä on levyn massayhtälön matemaattinen perusajatus.

Eksponentiaalisen levyn yhtälö

Linnunradan tähtikiekkoa approksimoidaan yleensä eksponentiaalisella pintatiheydellä:

\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)

missä:

  • Σ₀ = keskipinnan massatiheys
  • Rd = levyn mittakaavan pituus
  • r = etäisyys galaktisesta keskuksesta

Mittakaavan pituusRd kertoo, kuinka nopeasti kiekon tiheys vähenee, kun siirrymme ulospäin.

Kun tämä tiheys korvataan rengasyhtälöön, saadaan:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)

Ratkaisemalla integraali saadaan:

\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)

Tämä on tärkein yhtälö, jota käytetään tähtikiekon tapauksessa.

Komponentti 1 – Ohut tähtikiekko

Ohut kiekko on Linnunradan kirkas, tasainen, tähtiä muodostava osa. Se sisältää nuoria tähtiä, monia Auringon kaltaisia tähtiä, kaasua, pölyä ja spiraalihaaroja.

Ohuen tähtikiekon osalta:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)

Siitä lähtien:

\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)

kirjoitamme:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Säteen r sisällä oleva massa on:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)

Siksi:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)

Ohuen kiekon kokonaismassa saadaan ottamalla r → ∞:

\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)

Komponentti 2 – Paksu tähtikiekko

Paksu kiekko on vanhempi, vertikaalisesti laajempi ja hajanaisempi kuin ohut kiekko. Sen tähdet liikkuvat kauempana galaktisen tason ylä- ja alapuolella.

Paksun tähtikiekon osalta:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)

Niinpä:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Säteen r sisällä oleva massa on:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Siksi:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)

Paksun levyn kokonaismassa on:

\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)

Tähtikiekon massa: Ohut kiekko + Paksu kiekko

Kun molemmat tähtikomponentit lasketaan yhteen, saadaan:

\(M_{\mathrm{levy,tähdet}}(<r)=M_{\mathrm{ohut}}(<r)+M_{\mathrm{paksu}}(<r)\)

tai:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Hyvin suurella säteellä:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)

Tässä mallissa Linnunradan näkyvä tähtikiekko sisältää siis noin:

45,7 miljardia aurinkomassaa

Komponentti 3 – Atomivetykaasu, HI

Linnunradan kiekossa on myös näkyvää kaasua. Ensimmäinen merkittävä kaasukomponentti on atomivety, HI.

Toisin kuin tähtikiekkoa, kaasua ei kuvaa hyvin yksinkertainen eksponentiaalinen kiekko. Siinä on keskeinen painauma eli ”reikä”, joten parempi muoto on:

\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)

HI:lle:

\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)

Säteen r sisällä oleva massa on:

\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)

Tämä yhtälö sanoo: otetaan HI:n kokonaismassa ja kerrotaan se säteen r sisällä olevan HI-kiekon osuudella.

Komponentti 4 – molekyylivetykaasu, H₂

Toinen merkittävä kaasukomponentti on molekyylivety, joka kirjoitetaan H₂:ksi. Tämä kaasu liittyy läheisemmin kylmiin pilviin ja tähtien muodostumiseen.

H₂:

\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)

Säteen r sisällä oleva massa on:

\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)

Näkyvän levyn massan yhtälö

Tähtien ja kaasun yhdistäminen:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Täysin kirjoitettu:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)

missä:

  • r ja R ovat kpc:nä
  • M on M⊙

Tämä yhtälö antaa Linnunradan näkyvän kiekon massan galaktisen keskuksen säteellä r mitattuna.

Esimerkki: Auringon radan sisällä oleva massa

Aurinko sijaitsee noin:

\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)

Käyttämällä vain tähtikiekon yhtälöä:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)

Numeerisesti tämä antaa noin:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)

Auringon radan sisällä tähtikiekko sisältää siis jo suurimman osan sen kokonaismassasta.

Miksi käyttää renkaita?

Rengasmenetelmä on käyttökelpoinen, koska galaksikiekko ei ole pallo.

Pallonmuotoisen kappaleen massakuoren säteen r kohdalla on pinta-ala:

[lateksi]4\pi r^2[/lateksi]

Ohuessa kiekossa massa kuitenkin jakautuu ympyränmuotoisiin renkaisiin:

\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)

Siksi kiekon massayhtälöt näyttävät erilaisilta kuin pallomassayhtälöt.

Levykkeellä:

massa tulee renkaista

Pallossa:

massa tulee kuorista

Linnunrata sisältää sekä kiekkomaisia että pallomaisia osia, mutta tällä sivulla keskitytään kiekkoon.

Mitä tämä yhtälö sisältää

Yhtälö sisältää:

KomponenttiMerkitysMukana?
Ohut tähtikiekkoNuoret ja keski-ikäiset tähdet lähellä galaktista tasoaKyllä
Paksu tähtikiekkoVanhemmat tähdet kauempana tasostaKyllä
HI-kaasuAtomivetyKyllä
H₂-kaasuMolekulaarinen vetyKyllä
Pullistuma/palkkiKeskeinen tähtirakenneEi
Pimeän aineen haloNäkymätön gravitaatiokomponenttiEi
Tähtien haloErittäin hajanaiset vanhat tähdetEi

Siksi kutsumme sitä näkyvän kiekon massaksi, emme Linnunradan koko massaksi.

Miten tämä liittyy puuttuvaan massaan

Kun näkyvän kiekon massa on tiedossa, tähtitieteilijät vertaavat sitä galaksin havaitun pyörimisen edellyttämään massaan.

Ympyräliikkeestä johdettu dynaaminen massa on:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)

Käytännön yksiköissä:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)

Puuttuva massa on siis:

\(M_{\mathrm{puuttuva}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{näkyvä}}(<r)\)

Tämän sivun osalta levyn osuus on:

\(M_{\mathrm{näkyvä}}(<r)\approx M_{\mathrm{levy,näkyvä}}(<r)\)

Täydellinen Linnunradan malli lisäisi siihen myös keskushärmän/-palkin ja muut pienet baryoniset komponentit.

Tärkeitä rajoituksia

Tämä malli on hyödyllinen, mutta se ei ole täydellinen.

Ensinnäkin Linnunrata ei ole täysin sileä akselisymmetrinen kiekko. Siinä on spiraalihaaroja, keskuspalkki, tähtien muodostumisalueita ja paikallisia rakenteita.

Toiseksi kaasua on vaikea mallintaa, koska havaitsemme sen galaksin sisältä. Sen etäisyys ja pyöriminen on rekonstruoitava nopeustiedoista.

Kolmanneksi levyn paksuus on pystysuora. Edellä esitetyt yhtälöt ovat enimmäkseen pintatiheysyhtälöitä, jotka soveltuvat erinomaisesti säteittäisten massaprofiilien kuvaamiseen, mutta eivät kuvaa kaikkia pystysuuntaisia yksityiskohtia.

Neljänneksi parametrit riippuvat hyväksytystä galaktisesta mallista. McMillanin malli on vahva vertailukohta, mutta eri tutkimukset voivat antaa hieman erilaisia kiekon massoja, mittakaavan pituuksia ja kaasuprofiileja. McMillan ilmoittaa nimenomaisesti tilastolliset epävarmuudet keskeisille globaaleille parametreille, kuten R₀, v₀, tähtimassa, viriaalimassa ja paikallinen pimeän aineen tiheys.

Sanasto

Galaktinen keskus
Linnunradan keskusalue, joka sijaitsee supermassiivisen mustan aukon Sagittarius A* ympärillä.

Kiloparsec, kpc
Galaktisessa tähtitieteessä käytetty etäisyysyksikkö. Yksi kiloparsek on noin 3 260 valovuotta.

Auringon massa, M⊙
Auringon massa. Sitä käytetään tähtitieteessä massan standardiyksikkönä.

Pintatiheys, Σ(r)
Galaktisen kiekon massa pinta-alayksikköä kohti säteellä r.

Mittakaavan pituus,Rd
Etäisyys, jolla levyn tiheys pienenee kertoimella e.

Ohut levy
Linnunradan litteä, tiheä, tähtiä muodostava kiekko.

Paksu levy
Vanhempi, pystysuoraan ulottuva tähtikiekko, joka ympäröi ohutta kiekkoa.

HI
Atomivetykaasu.

H₂
Molekyylinen vetykaasu.

Dynaaminen massa
Massa, joka tarvitaan selittämään tähtien ja kaasun havaittu kiertonopeus.

Puuttuva massa
Dynaamisen massan ja näkyvän massan erotus.

Esteettömyyttä koskevat huomautukset

Ehdotettu kuvan alt-teksti:

  • Alt-teksti kuviolle 1: ”Näkymä Linnunradan kiekosta, joka on jaettu ympyränmuotoisiin renkaisiin Galaktisen keskuksen ympärillä.”
  • Alt text for diagram 2: ”Sivukuva Linnunradasta, jossa näkyy ohut tähtikiekko paksumman, vanhemman tähtikiekon sisällä.”.
  • Kaavion Alt-teksti: ”Kaavio, jossa näkyy kumulatiivisen näkyvän kiekon massan kasvu säteen kasvaessa galaktisesta keskuksesta.”

Käytä luettavia merkintöjä, kuten:

  • ”Säde galaktisesta keskuksesta, kpc”
  • ”Massa säteen sisällä, auringon massat”
  • ”Ohut levy”
  • ”Paksu levy”
  • ”Kaasukiekko”
  • ”Näkyvä levy yhteensä”

Ehdotetut sisäiset linkit

Ehdotetut ulkoiset viitteet

Lisätietoa:

  • McMillan, P. J. ”Linnunradan massajakauma ja gravitaatiopotentiaali”. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2017.
  • McMillan, P. J. ”Mass models of the Milky Way.” arXiv, 2011.
  • Cautun et al. ”The Milky Way total mass profile as inferred from Gaia DR2.” (Linnunradan kokonaismassaprofiili Gaia DR2:n perusteella). Artikkelissa mallinnetaan Linnunrataa, jossa on pullistuma, ohut levy, paksu levy, HI-levy, molekyylikaasukiekko, circumgalaktinen kaasu ja pimeä halo.
  • Marasco et al. ”Distribution and kinematics of atomic and molecular gas inside the Solar circle” (Atomi- ja molekyylikaasun jakautuminen ja kinematiikka Auringon kehän sisällä). Tässä tutkimuksessa mallinnetaan galaktista kaasua renkaiden avulla ja sovitetaan HI- ja CO-tietoja.

Näkyvä massa

Jos haluat arvioida Linnunradan näkyvän massan millä tahansa säteellä, valitse r:n arvo kpc:nä ja aseta se arvoon:

Käytä ensimmäistä laskelmaa varten yksinkertaisempaa tähtilevy-yhtälöä. Lisää sitten HI- ja H₂-kaasu, niin saat täydellisemmän näkyvän kiekon mallin.