Mælkevejens masse som funktion af afstanden fra dens centrum
Synlig diskmasse – Manglende masse – Ringbaserede ligninger – Galaktisk radius
Mælkevejens synlige masse kan modelleres ved at addere massen af dens hovedkomponenter: den tynde stjerneskive, den tykke stjerneskive, den atomare brintgas HI og den molekylære brintgas H₂.
Den synlige diskmasse skrives som:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Den enkleste og mest nyttige del er stjerneskivens masse:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)- r er afstanden fra det galaktiske center i kiloparsec eller kpc.
- M er massen i solmasser, M⊙.
Denne ligning giver den synlige stjernemasse i Mælkevejens skive inden for radius r.
Den manglende masse findes derefter ved at sammenligne den synlige masse med den dynamiske masse:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)I praktiske astronomiske enheder:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5\,v_c^2(r)\,r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)med vc(r) i km/s, r i kpc og masse i M⊙.
Den endelige ligning for den synlige skives masse
Mælkevejens synlige skive består af stjerner og gas. Det skriver vi:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)De to vigtigste stjernekomponenter er den tynde stjerneskive og den tykke stjerneskive.
De to gaskomponenter er atomar brint, HI, og molekylær brint, H₂.
Den reneste ligning er stjerneskivens ligning:
\(M_{\mathrm{disk,stjerner}}(<r)=M_{\mathrm{tynd}}(<r)+M_{\mathrm{tyk}}(<r)\)Fuldt ud skrevet:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Dette er hovedligningen for den synlige stjerneskivemasse i Mælkevejen.
Hvorfor Mælkevejens skive er modelleret med ringe
Mælkevejens skive er ikke en solid kugle. Den er nærmere en stor, fladtrykt skive.
For at beregne dens masse deler vi den op i mange tynde, cirkulære ringe.
En ring med radius r har en omkreds:
\(2\pi r\)Hvis ringen har en lille bredde dr, så er dens areal:
\(dA=2\pi r\,dr\)Hvis overfladens massetæthed er Σ(r), så er ringens masse:
\(dM=\Sigma(r)\,2\pi r\,dr\)Dette er den vigtigste idé.
Den samlede masse inden for radius r fås ved at lægge alle ringe fra det galaktiske centrum til r:
\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma(R)\,R\,dR\).Så diskens masse er ikke opbygget af kugleformede skaller. Den er opbygget af cirkulære ringe.
Den eksponentielle disk
Overfladetætheden af stjerner i en galaktisk skive modelleres ofte som en eksponentiel funktion:
\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)- Σ0 er den centrale overflademassetæthed.
- Rd er diskens skalalængde.
- r er afstanden fra det galaktiske center.
Det betyder, at skiven er tættest nær centrum og bliver mindre tæt, når r stiger.
Ved at indsætte den eksponentielle overfladetæthed i ringligningen får man:
\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)Løsning af integralet giver:
\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)Dette er den grundlæggende formel for diskmasse.
Komponent 1 – Den tynde stjerneskive
Den tynde skive er den lyse, flade, stjernedannende del af Mælkevejen. Den indeholder unge stjerner, mange sollignende stjerner, spiralarm, gas, støv og aktive stjernedannende regioner.
Til den tynde disk bruger vi:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)Siden da:
\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)Vi konverterer:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)Den tynde skives masse inden for radius r er:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)Derfor:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)Ved meget stor radius:
\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)Komponent 2 – Den tykke stjerneskive
Den tykke skive er ældre og mere vertikalt udstrakt. Den indeholder ældre stjerner, som bevæger sig længere over og under det galaktiske plan.
Til den tykke disk bruger vi:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)Omregning af overfladetæthed:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)Den tykke skives masse inden for radius r er:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Derfor:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)Ved meget stor radius:
\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)Stjerneskivens samlede masse
Tilføjelse af de tynde og tykke skiver:
\(M_{\mathrm{disk,stjerner}}(<r)=M_{\mathrm{tynd}}(<r)+M_{\mathrm{tyk}}(<r)\)Så..:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Den samlede masse af stjerneskiven er:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)Mælkevejens synlige stjerneskive indeholder altså omkring 45,7 milliarder solmasser.
Tilføjelse af gasskiven
Mælkevejens skive indeholder også synlig gas. De to vigtigste gaskomponenter er atomar brint, HI, og molekylær brint, H₂.
Gas er ikke modelleret som en simpel eksponentiel skive, fordi den har en central depression. En nyttig form er:
\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)- Rm er den centrale hulskala.
- Rd er den radiale skalalængde.
Massen inden for radius r er:
\(M_{\mathrm{gas}}(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{R}-\frac{R}{R_d}\right)R\,dR\)Atomar brintgas: HI
For atomar brint:
\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)En normaliseret ligning er:
\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}M_\odot\)Det giver den del af den samlede HI-gasmasse, der befinder sig inden for radius r.
Molekylær brintgas: H₂
Til molekylær brint:
\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)Den normaliserede masseligning er:
\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}M_\odot\)Komplet ligning for synlig disk
Den komplette ligning for den synlige disk er:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Skrevet fuldt ud:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}+1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\)- r og R er i kpc.
- M er i M⊙.
Denne ligning giver Mælkevejens synlige diskmasse inden for en radius r.
Dynamisk masse fra rotation
Mælkevejens observerede rotationshastighed fortæller os, hvor meget masse der kræves af tyngdekraften.
Til cirkulære bevægelser:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)- vc(r) er den cirkulære hastighed ved radius r.
- G er tyngdekraftskonstanten.
I praktiske enheder:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)Hvis rotationshastigheden er nogenlunde flad:
\(v_c(r)\approx233\,\mathrm{km/s}\).Og så..:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq2.325\times10^5(233)^2r\,M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq1.26\times10^{10}r\,M_\odot\)med r i kpc.
Det betyder, at hvis rotationskurven forbliver næsten flad, vokser den dynamiske masse næsten lineært med radius.
Den manglende masse-ligning
Den manglende masse er forskellen mellem den dynamiske masse og den synlige masse:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Ved hjælp af rotationsligningen:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)I praktiske enheder:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)- vc(r) er i km/s.
- r er i kpc.
- M er i M⊙.
Hvis vi kun fokuserer på den synlige disk:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)\simeq2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)Det er den centrale ligning, der forbinder Mælkevejens observerede rotation med den synlige masse af dens skive.
En bølgebaseret udvidelse af den manglende masse
En diskmodel forklarer den synlige masse. Den manglende masse er det, der er tilbage, når man sammenligner den synlige masse med den dynamiske masse.
En bølgebaseret model kan beskrive den manglende masse som en effektiv tæthed, der genereres af den synlige skive.
Den ledende idé er, at hvert synligt masseelement genererer et effektivt felt, der aftager med afstanden.
Lad afstanden mellem et kildepunkt r′ og et observationspunkt r være:
\(D=|r-r’|\)Så kan et elementært bidrag skrives som:
\(d\rho_{\mathrm{wave}}(r)=\rho_{\mathrm{visible}}(r’)\,\lambda e^{-D/\ell}\,dV\)- λ er en dimensionsløs koblingsfaktor.
- ℓ er en kohærenslængde.
- D er afstanden mellem kilden og observationspunktet.
Denne form betyder, at det effektive bidrag falder eksponentielt med afstanden:
\(e^{-D/\ell}\)Parameteren ℓ styrer, hvor langt effekten strækker sig.
Effektiv tæthed fra hele disken
For en skive kan den samlede effektive tæthed i et punkt (R,z) skrives som en foldning af den synlige skive med en eksponentiel kerne.
Kildeskiven har en overfladetæthed:
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)Et punkt i skivekilden er placeret ved radius R′ og vinkel φ.
Afstanden fra dette kildepunkt til et observationspunkt (R,z) er:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Den effektive tæthed er så:
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)med:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Denne ligning siger, at hver ring med synlig masse bidrager til den effektive tæthed ved (R,z) med en styrke, der aftager som e-D/ℓ.
Ring-for-ring-fortolkning
Disken kan igen forstås gennem ringe.
En synlig ring med radius R′ har masse:
\(dM_{\mathrm{visible}}=2\pi R’\Sigma(R’)\,dR’\)I den bølgebaserede udvidelse bidrager denne ring til den effektive tæthed omkring den.
Bidraget er stærkest nær ringen og aftager med afstanden:
\(e^{-D/\ell}\)Så den effektive tæthed er ikke indsat manuelt som en sfærisk halo. Den genereres ud fra selve diskens geometri.
På korte afstande følger den skivegeometrien. På større afstande kan den effektive fordeling blive glattere og mere udstrakt, når den er integreret over mange ringe.
Kompakt formel for den bølgebaserede effektive tæthed
Ved hjælp af den eksponentielle disk:
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)kan man skematisk skrive den effektive tæthed som:
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda\Sigma_0}{\ell}\int_0^\infty R’e^{-R’/R_d}\left[\int_0^{2\pi}e^{-\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}/\ell}\,d\phi\right]dR’\)Dette er den reneste generelle form. Den bevarer den rigtige diskgeometri:
- R′ er kilde-ringens radius.
- R er observationsradius i det galaktiske plan.
- z er højden over eller under det galaktiske plan.
- φ er vinklen omkring kilderingen.
Fra effektiv massefylde til effektiv masse
Når den effektive massefylde er kendt, kan den tilsvarende effektive masse inden for radius r skrives som:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_{V(r)}\rho_{\mathrm{wave}}(\mathbf{x})\,d^3x\)I sfæriske koordinater:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_0^r\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\rho_{\mathrm{wave}}(s,\theta,\phi)s^2\sin\theta\,d\phi\,d\theta\,ds\)Denne effektive masse kan derefter sammenlignes med den observerede manglende masse:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)\approx M_{\mathrm{missing}}(<r)\)Det giver en testbar betingelse.
Den vigtigste fysiske begrænsning
Flade galaktiske rotationskurver kræver ca:
\(v_c(r)\approx\mathrm{konstant}\)Hvis vc(r) er tilnærmelsesvis konstant, så:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2}{G}\)Så..:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\propto r\)Dette er den væsentligste årsag til, at der opstår manglende masse.
Den synlige skives masse vokser ikke lineært for evigt. Den nærmer sig en endelig samlet masse:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\rightarrow M_{\mathrm{disk,visible}}(\infty)\)Men den dynamiske masse, der udledes af en flad rotationskurve, fortsætter med at vokse:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\propto r\)Derfor:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)vokser også med radius.
Simpelt numerisk eksempel ved solens radius
Solen befinder sig på ca:
\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)Ved hjælp af stjerneskivens ligning:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)Dette giver cirka:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\approx3.7\times10^{10}M_\odot\)Hvis den cirkulære hastighed er:
\(v_c\simeq233\,\mathrm{km/s}\)så er den dynamiske masse inden for 8,2 kpc:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)=2.325\times10^5(233)^2(8.2)M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)\approx1.03\times10^{11}M_\odot\)Forskellen viser, hvorfor synlig masse alene ikke kan forklare den observerede rotation.
Hvad denne model indeholder og ikke indeholder
| Komponent | Inkluderet i disk-ligningen? |
|---|---|
| Tynd stjerneskive | Ja |
| Tyk stjerneskive | Ja |
| Atomar brintgas, HI | Ja |
| Molekylær brintgas, H₂ | Ja |
| Central bule/bjælke | Nej |
| Stjernens halo | Nej |
| Halo af mørkt stof | Nej |
| Bølgebaseret effektiv masse | Valgfri udvidelse |
Ovenstående ligninger fokuserer på disken.
En komplet massemodel for Mælkevejen ville også omfatte:
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{disk}}+M_{\mathrm{bulge}}+M_{\mathrm{stellar\,halo}}+M_{\mathrm{missing}}\)eller i en bølgebaseret formulering:
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{visible}}+M_{\mathrm{wave}}\)Endelig opsummering af hovedligningerne
Synlig stjerneskive
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Fuld synlig disk
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}+M_{\mathrm{thick}}+M_{\mathrm{HI}}+M_{\mathrm{H_2}}\)Dynamisk masse
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)Manglende masse
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Ringmasse
\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)Eksponentiel disk
\(\Sigma(r)=\Sigma_0e^{-r/R_d}\)Bølgebaseret effektiv tæthed
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)med:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Ordliste
Det galaktiske centrum
Det centrale område af Mælkevejen.
Radius r
Afstand fra det galaktiske centrum, normalt målt i kiloparsec.
Kiloparsec, kpc
En galaktisk afstandsenhed. En kpc er ca. 3.260 lysår.
Solens masse, M⊙
Solens masse.
Overfladetæthed, Σ(r)
Masse pr. arealenhed af den galaktiske skive.
Tynd skive
Den flade, lyse, stjernedannende del af Mælkevejen.
Tyk skive
En ældre, mere vertikalt udstrakt stjernekomponent.
HI
Atomar brintgas.
H₂
Molekylær brintgas.
Dynamisk masse
Den masse, der kræves for at forklare den observerede rotationshastighed.
Manglende masse
Forskellen mellem dynamisk masse og synlig masse.
Kohærenslængde, ℓ
I den bølgebaserede udvidelse er det den afstandsskala, hvor det effektive bidrag falder.
Koblingsfaktor, λ
En dimensionsløs parameter, der styrer styrken af det effektive bølgebidrag.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er den vigtigste ligning?
Den vigtigste ligning for synlige skiver er Mdisk,visible(<r)=Mthin+Mthick+MHI+MH₂. Den vigtigste ligning for manglende masse er Mmissing(<r)=rvc²(r)/G-Mvisible(<r).
Hvorfor bruger vi ringe?
Fordi Mælkevejens skive er flad. En skive er naturligvis opbygget af cirkulære ringe, så ringmassen er dM=2πrΣ(r)dr.
Hvorfor holder den synlige masse op med at vokse hurtigt?
Fordi diskens tæthed falder eksponentielt. Ved stor radius er der mindre og mindre synligt stof.
Hvorfor opstår der manglende masse?
Fordi den observerede rotationskurve forbliver næsten flad over store afstande. En flad rotationskurve betyder, at den dynamiske masse vokser omtrent lineært med radius, mens den synlige diskmasse ikke gør det.
Beviser denne side en bestemt model for mørkt stof?
Nej. Skiveligningerne beskriver synligt stof. Ligningen for den manglende masse viser forskellen mellem den synlige masse og den dynamiske masse. Den bølgebaserede del er en ekstra model, som kan testes mod den observerede rotationskurve.
Noter om tilgængelighed
Foreslået alt-tekst til billedet:
- Billede 1: “Top-down diagram af Mælkevejens skive opdelt i cirkulære ringe omkring det galaktiske center.”
- Billede 2: “Sidebillede af Mælkevejen, der viser en tynd skive omgivet af en tykkere stjerneskive.”
- Billede 3: “Graf over synlig diskmasse og dynamisk masse, der stiger med afstanden fra det galaktiske center.”
- Billede 4: “Illustration af et eksponentielt felt, der aftager med afstanden fra et synligt masseelement.”