Mælkevejsskivens masse som funktion af radius

TL;DR

Mælkevejens synlige masse kan modelleres som summen af flere komponenter: den tynde stjerneskive, den tykke stjerneskive, den atomare brintgas HI og den molekylære brintgas H₂.

Den mest nyttige ligning er:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

hvor r er afstanden fra det galaktiske center i kiloparsec eller kpc.

For den stellare del af skiven er massen inden for radius r ved hjælp af almindeligt anvendte Mælkevejsparametre fra McMillans galaktiske mass emodel:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

med r i kpc og masse i solmasser, M⊙.

Denne ligning beskriver den synlige stjernemasse i Mælkevejens skive som en funktion af afstanden fra det galaktiske centrum.

Endelig ligning for den synlige skives masse

Mælkevejens synlige skive kan skrives som:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Stjernedelen er den reneste:

\(M_{\mathrm{disk,stjerner}}(<r)=M_{\mathrm{tynd}}(<r)+M_{\mathrm{tyk}}(<r)\)

Brug af numeriske parametre:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

hvor:

r = afstand fra det galaktiske centrum i kpc
Mdisk_,stars =_{stjerneskivens} masse inden for radius r
M⊙ = en solmasse

De parametre, der bruges her, kommer fra McMillans 2017-mælkevejsmodel, som giver en solradius R₀ = 8,20 ± 0,09 kpc, cirkulær hastighed v₀ = 232,8 ± 3,0 km/s og total stjernemasse (54,3 ± 5,7) × 10⁹ M⊙.

Mælkevejens skive er bygget af ringe

En enkel måde at forstå masseligningen på er at forestille sig, at man skærer den galaktiske skive op i mange tynde, cirkulære ringe.

Hver ring har:

\(\mathrm{omkreds}=2\pi r\) \(\mathrm{bredde}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)

Hvis skivens overflademassetæthed er Σ(r), så er massen af en tynd ring:

\(dM=2\pi r\,\Sigma(r)\,dr\)

Massen inden for radius r fås ved at lægge alle ringe fra centrum til r sammen:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)

Dette er den grundlæggende matematiske idé bag diskmasseligningen.

Den eksponentielle disk-ligning

Mælkevejens stjerneskive er normalt tilnærmet med en eksponentiel overfladetæthed:

\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)

hvor:

Σ₀ = massetæthed på den centrale overflade
_Rd = diskens skalalængde
r = afstand fra det galaktiske centrum

Skalalængden_Rd fortæller os, hvor hurtigt disken bliver mindre tæt, når vi bevæger os udad.

Ved at indsætte denne tæthed i ringligningen får man:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)

Løsning af integralet giver:

\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)

Dette er den vigtigste ligning, der bruges til stjerneskiven.

Komponent 1 – Den tynde stjerneskive

Den tynde skive er den lyse, flade, stjernedannende del af Mælkevejen. Den indeholder unge stjerner, mange sollignende stjerner, gas, støv og spiralarmene.

For den tynde stjerneskive:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)

Siden da:

\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)

skriver vi:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Massen inden for radius r er:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)

Derfor:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)

Den samlede tynde skivemasse fås ved at tage r → ∞:

\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)

Komponent 2 – Den tykke stjerneskive

Den tykke skive er ældre, mere vertikalt udstrakt og mere diffus end den tynde skive. Dens stjerner bevæger sig længere over og under det galaktiske plan.

For den tykke stjerneskive:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)

Så..:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Massen inden for radius r er:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Derfor:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)

Den samlede masse af den tykke skive er:

\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)

Stjerneskivens masse: Tynd skive + tyk skive

Hvis man lægger begge stjernekomponenter sammen, får man

\(M_{\mathrm{disk,stjerner}}(<r)=M_{\mathrm{tynd}}(<r)+M_{\mathrm{tyk}}(<r)\)

eller:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Ved meget stor radius:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)

Så i denne model indeholder Mælkevejens synlige stjerneskive ca:

45,7 milliarder solmasser

Komponent 3 – Atomar brintgas, HI

Mælkevejens skive indeholder også synlig gas. Den første store gaskomponent er atomar brint, skrevet HI.

I modsætning til stjerneskiven er gassen ikke godt beskrevet af en simpel eksponentiel skive. Den har en central fordybning eller et “hul”, så en bedre form er:

\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)

Til HI:

\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)

Massen inden for radius r er:

\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)

Denne ligning siger: Tag den samlede HI-masse og gang den med den del af HI-disken, der befinder sig inden for radius r.

Komponent 4 – Molekylær brintgas, H₂

Den anden store gaskomponent er molekylær brint, skrevet H₂. Denne gas er tættere forbundet med kolde skyer og stjernedannelse.

For H₂:

\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)

Massen inden for radius r er:

\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)

Ligning for fuld synlig diskmasse

Kombination af stjerner og gas:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Fuldt ud skrevet:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)

hvor:

r og R er i kpc
M er i M⊙

Denne ligning giver Mælkevejens synlige diskmasse inden for en radius r, målt fra det galaktiske centrum.

Et eksempel: Masse inde i solens bane

Solen befinder sig på ca:

\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)

Ved kun at bruge stjerneskivens ligning:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)

Numerisk giver dette cirka:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)

Så inde i solens bane indeholder stjerneskiven allerede det meste af dens samlede masse.

Hvorfor bruge ringe?

Ringmetoden er nyttig, fordi en galakseskive ikke er en kugle.

For et sfærisk objekt har masseskallen ved radius r et areal:

\(4\pi r^2\)

Men for en tynd skive er massen spredt over cirkulære ringe:

\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)

Det er derfor, at ligninger for diskmasse ser anderledes ud end ligninger for sfærisk masse.

I en disk:

Masse kommer fra ringe

I en kugle:

Masse kommer fra skaller

Mælkevejen indeholder både skiveformede og kugleformede komponenter, men denne side fokuserer på skiven.

Hvad denne ligning indeholder

Ligningen omfatter:

Komponent	Betydning	Inkluderet?
Tynd stjerneskive	Unge og mellemaldrende stjerner nær det galaktiske plan	Ja
Tyk stjerneskive	Ældre stjerner længere væk fra planet	Ja
HI-gas	Atomar brint	Ja
H₂-gas	Molekylær brint	Ja
Udbuling/bjælke	Central stjernestruktur	Nej
Halo af mørkt stof	Usynlig tyngdekraftskomponent	Nej
Stjernens halo	Meget diffuse gamle stjerner	Nej

Det er derfor, vi kalder det den synlige diskmasse og ikke Mælkevejens fulde masse.

Hvordan dette hænger sammen med den manglende masse

Når den synlige diskmasse er kendt, sammenligner astronomerne den med den masse, der kræves af galaksens observerede rotation.

Den dynamiske masse, der udledes af cirkelbevægelsen, er:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)

I praktiske enheder:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)

Den manglende masse er så:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

For denne side er diskbidraget:

\(M_{\mathrm{visible}}(<r)\approx M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)

En fuld Mælkevejsmodel ville også tilføje den centrale bule/bjælke og andre mindre baryoniske komponenter.

Vigtige begrænsninger

Denne model er nyttig, men den er ikke perfekt.

For det første er Mælkevejen ikke en perfekt glat aksesymmetrisk skive. Den har spiralarme, en central bjælke, stjernedannende regioner og lokale strukturer.

For det andet er gas vanskelig at modellere, fordi vi observerer den inde fra galaksen. Dens afstand og rotation skal rekonstrueres ud fra hastighedsdata.

For det tredje har skiven en lodret tykkelse. Ovenstående ligninger er for det meste overfladetæthedsligninger, som er fremragende til radiale masseprofiler, men som ikke beskriver alle vertikale detaljer.

For det fjerde afhænger parametrene af den valgte galaktiske model. McMillans model er et stærkt referencepunkt, men forskellige studier kan give lidt forskellige diskmasser, skalalængder og gasprofiler. McMillan rapporterer eksplicit statistiske usikkerheder for globale nøgleparametre som R₀, v₀, stjernemasse, virialmasse og lokal tæthed af mørkt stof.

Ordliste

Det galaktiske centrum
Mælkevejens centrale region omkring det supermassive sorte hul Sagittarius A*.

Kiloparsec, kpc
En afstandsenhed, der bruges i galaktisk astronomi. En kiloparsec er ca. 3.260 lysår.

Solens masse, M⊙
Solens masse. Den bruges som standardmasseenhed inden for astronomi.

Overfladetæthed, Σ(r)
Masse pr. arealenhed af den galaktiske skive ved radius r.

Skalalængde,_Rd
Den afstand, over hvilken diskens tæthed falder med en faktor e.

Tynd skive
Den flade, tætte, stjernedannende skive i Mælkevejen.

Tyk skive
En ældre, mere vertikalt udstrakt stjerneskive, der omgiver den tynde skive.

HI
Atomar brintgas.

H₂
Molekylær brintgas.

Dynamisk masse
Den masse, der kræves for at forklare den observerede banehastighed for stjerner og gas.

Manglende masse
Forskellen mellem den dynamiske masse og den synlige masse.

Noter om tilgængelighed

Foreslået alt-tekst til billedet:

Alternativ tekst til diagram 1: “Face-on view of the Milky Way disk divided into circular rings around the Galactic Center.”
Alternativ tekst til diagram 2: “Sidebillede af Mælkevejen, der viser en tynd stjerneskive indlejret i en tykkere, ældre stjerneskive.”
Alternativ tekst til grafen: “Grafen viser den kumulative synlige diskmasse, der stiger med radius fra det galaktiske centrum.”

Brug letlæselige etiketter som f.eks:

“Radius fra det galaktiske center, kpc”
“Masse inden for radius, solmasser”
“Tynd disk”
“Tyk disk”
“Gasdisk”
“Total synlig disk”

Foreslåede interne links

Mælkevejens rotationskurve
Mørkt stof og manglende masse
Hvad er en kiloparsec?
Det galaktiske center forklaret
Tynd disk vs. tyk disk

Foreslåede eksterne referencer

Yderligere læsning:

McMillan, P. J. “Mælkevejens massefordeling og gravitationelle potentiale.” Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2017.
McMillan, P. J. “Mass models of the Milky Way.” arXiv, 2011.
Cautun et al. “Mælkevejens samlede masseprofil som udledt af Gaia DR2.” Artiklen modellerer Mælkevejen med en bule, en tynd skive, en tyk skive, en HI-skive, en molekylær gasskive, cirkumgalaktisk gas og en mørk halo.
Marasco et al. “Distribution and kinematics of atomic and molecular gas inside the Solar circle.” Denne undersøgelse modellerer galaktisk gas ved hjælp af ringe og passer til HI- og CO-data.

Synlig masse

For at estimere Mælkevejens synlige masse ved en hvilken som helst radius skal du vælge en værdi af r i kpc og indsætte den i:

Til en første beregning skal du bruge den enklere stjerneskive-ligning. Tilføj derefter HI- og H₂-gas for at få en mere komplet model for den synlige skive.