Η μάζα του δίσκου του Γαλαξία μας ως συνάρτηση της ακτίνας

TL;DR

Η ορατή μάζα του δίσκου του Γαλαξία μας μπορεί να μοντελοποιηθεί ως το άθροισμα διαφόρων συνιστωσών: ο λεπτός αστρικός δίσκος, ο παχύς αστρικός δίσκος, το ατομικό αέριο υδρογόνο HI και το μοριακό αέριο υδρογόνο H₂.

Η πιο χρήσιμη εξίσωση είναι:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

όπου r είναι η απόσταση από το Γαλαξιακό Κέντρο σε kiloparsecs ή kpc.

Για το αστρικό τμήμα του δίσκου, χρησιμοποιώντας τις κοινά αποδεκτές παραμέτρους του Γαλαξία μας από το μοντέλο γαλαξιακής μάζας του McMillan, η μάζα εντός της ακτίνας r είναι:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

με r σε kpc και μάζα σε ηλιακές μάζες, M⊙.

Αυτή η εξίσωση περιγράφει την ορατή αστρική μάζα του δίσκου του Γαλαξία μας ως συνάρτηση της απόστασης από το Γαλαξιακό Κέντρο.

Τελική εξίσωση για τη μάζα του ορατού δίσκου

Ο ορατός δίσκος του Γαλαξία μας μπορεί να γραφεί ως εξής:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Το αστρικό μέρος είναι το πιο καθαρό:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)

Χρήση αριθμητικών παραμέτρων:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

όπου:

r = απόσταση από το γαλαξιακό κέντρο σε kpc
Mdisk_,stars = μάζα αστρικού δίσκου εντός ακτίνας r
M⊙ = μία ηλιακή μάζα

Οι παράμετροι που χρησιμοποιούνται εδώ προέρχονται από το μοντέλο μάζας του Γαλαξία μας του 2017 του McMillan, το οποίο δίνει ηλιακή ακτίνα R₀ = 8,20 ± 0,09 kpc, κυκλική ταχύτητα v₀ = 232,8 ± 3,0 km/s και συνολική αστρική μάζα (54,3 ± 5,7) × 10⁹ M⊙.

Ο δίσκος του Γαλαξία μας είναι χτισμένος από δακτυλίους

Ένας απλός τρόπος για να κατανοήσουμε την εξίσωση της μάζας είναι να φανταστούμε ότι κόβουμε τον γαλαξιακό δίσκο σε πολλούς λεπτούς κυκλικούς δακτυλίους.

Κάθε δαχτυλίδι έχει:

\(\mathrm{περιφέρεια}=2\pi r\) \(\mathrm{πλάτος}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)

Αν η επιφανειακή πυκνότητα μάζας του δίσκου είναι Σ(r), τότε η μάζα ενός λεπτού δακτυλίου είναι:

\(dM=2\pi r\,\Sigma(r)\,dr\)

Η μάζα εντός της ακτίνας r προκύπτει από την πρόσθεση όλων των δακτυλίων από το κέντρο έως το r:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)

Αυτή είναι η βασική μαθηματική ιδέα πίσω από την εξίσωση της μάζας του δίσκου.

Η εξίσωση του εκθετικού δίσκου

Ο αστρικός δίσκος του Γαλαξία μας προσεγγίζεται συνήθως με μια εκθετική επιφανειακή πυκνότητα:

\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)

όπου:

Σ₀ = πυκνότητα μάζας κεντρικής επιφάνειας
_Rd = μήκος κλίμακας δίσκου
r = απόσταση από το γαλαξιακό κέντρο

Το μήκος κλίμακας_Rd μας λέει πόσο γρήγορα ο δίσκος γίνεται λιγότερο πυκνός καθώς κινούμαστε προς τα έξω.

Αντικαθιστώντας αυτή την πυκνότητα στην εξίσωση του δακτυλίου προκύπτει:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)

Η επίλυση του ολοκληρώματος δίνει:

\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)

Αυτή είναι η κύρια εξίσωση που χρησιμοποιείται για τον αστρικό δίσκο.

Στοιχείο 1 – Ο λεπτός αστρικός δίσκος

Ο λεπτός δίσκος είναι το φωτεινό, επίπεδο, αστροπαραγωγικό τμήμα του Γαλαξία μας. Περιέχει νεαρά αστέρια, πολλά αστέρια σαν τον Ήλιο, αέριο, σκόνη και τους σπειροειδείς βραχίονες.

Για τον λεπτό αστρικό δίσκο:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)

Από τότε:

\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)

γράφουμε:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Η μάζα εντός της ακτίνας r είναι:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)

Επομένως:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)

Η συνολική μάζα του λεπτού δίσκου προκύπτει λαμβάνοντας r → ∞:

\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)

Στοιχείο 2 – Ο παχύς αστρικός δίσκος

Ο παχύς δίσκος είναι παλαιότερος, πιο κατακόρυφα εκτεταμένος και πιο διάχυτος από τον λεπτό δίσκο. Τα αστέρια του κινούνται πιο μακριά πάνω και κάτω από το γαλαξιακό επίπεδο.

Για τον παχύ αστρικό δίσκο:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)

Λοιπόν:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Η μάζα εντός της ακτίνας r είναι:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Επομένως:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)

Η συνολική μάζα του πυκνού δίσκου είναι:

\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)

Μάζα αστρικού δίσκου: Δίσκος: Λεπτός δίσκος + Πυκνός δίσκος

Η πρόσθεση και των δύο αστρικών συνιστωσών δίνει:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)

ή:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Σε πολύ μεγάλη ακτίνα:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)

Έτσι, σε αυτό το μοντέλο, ο ορατός αστρικός δίσκος του Γαλαξία μας περιέχει περίπου:

45,7 δισεκατομμύρια ηλιακές μάζες

Συστατικό 3 – Ατομικό αέριο υδρογόνο, HI

Ο δίσκος του Γαλαξία μας περιέχει επίσης ορατό αέριο. Το πρώτο σημαντικό συστατικό αέριο είναι το ατομικό υδρογόνο, γραμμένο ως HI.

Σε αντίθεση με τον αστρικό δίσκο, το αέριο δεν περιγράφεται καλά από έναν απλό εκθετικό δίσκο. Έχει μια κεντρική κοιλότητα ή “τρύπα”, οπότε μια καλύτερη μορφή είναι:

\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)

Για το HI:

\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)

Η μάζα εντός της ακτίνας r είναι:

\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)

Αυτή η εξίσωση λέει: πάρτε τη συνολική μάζα του HI και πολλαπλασιάστε την με το κλάσμα του δίσκου του HI που περιέχεται εντός της ακτίνας r.

Συστατικό 4 – Μοριακό αέριο υδρογόνο, H₂

Το δεύτερο σημαντικότερο συστατικό του αερίου είναι το μοριακό υδρογόνο, που γράφεται H₂. Αυτό το αέριο συνδέεται στενότερα με τα ψυχρά νέφη και τον σχηματισμό αστέρων.

Για το H₂:

\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)

Η μάζα εντός της ακτίνας r είναι:

\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)

Εξίσωση μάζας πλήρους ορατού δίσκου

Συνδυάζοντας αστέρια και αέρια:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Πλήρως γραμμένο:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)

όπου:

r και R είναι σε kpc
Το Μ είναι στο Μ⊙

Αυτή η εξίσωση δίνει τη μάζα του ορατού δίσκου του Γαλαξία μας μέσα σε μια ακτίνα r, μετρημένη από το Γαλαξιακό Κέντρο.

Παράδειγμα: Μάζα μέσα στην τροχιά του Ήλιου

Ο Ήλιος βρίσκεται σε περίπου:

\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)

Χρησιμοποιώντας μόνο την εξίσωση του αστρικού δίσκου:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)

Αριθμητικά, αυτό δίνει περίπου:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)

Έτσι, μέσα στην τροχιά του Ήλιου, ο αστρικός δίσκος περιέχει ήδη το μεγαλύτερο μέρος της συνολικής μάζας του.

Γιατί να χρησιμοποιήσετε δαχτυλίδια;

Η μέθοδος των δακτυλίων είναι χρήσιμη επειδή ένας γαλαξιακός δίσκος δεν είναι σφαίρα.

Για ένα σφαιρικό αντικείμενο, το κέλυφος μάζας στην ακτίνα r έχει εμβαδόν:

\(4\pi r^2\)

Αλλά για έναν λεπτό δίσκο, η μάζα κατανέμεται σε κυκλικούς δακτυλίους:

\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)

Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι εξισώσεις μάζας δίσκου μοιάζουν διαφορετικές από τις εξισώσεις μάζας σφαιρικής μορφής.

Σε ένα δίσκο:

η μάζα προέρχεται από δακτυλίους

Σε μια σφαίρα:

η μάζα προέρχεται από τα κελύφη

Ο Γαλαξίας μας περιέχει τόσο δισκοειδή όσο και σφαιρικά στοιχεία, αλλά αυτή η σελίδα επικεντρώνεται στο δίσκο.

Τι περιλαμβάνει αυτή η εξίσωση

Η εξίσωση περιλαμβάνει:

Στοιχείο	Σημασία	Συμπεριλαμβάνεται;
Λεπτός αστρικός δίσκος	Αστέρια νεαρής και ενδιάμεσης ηλικίας κοντά στο γαλαξιακό επίπεδο	Ναι
Παχύς αστρικός δίσκος	Παλαιότερα αστέρια πιο μακριά από το αεροπλάνο	Ναι
Αέριο HI	Ατομικό υδρογόνο	Ναι
H₂ αέριο	Μοριακό υδρογόνο	Ναι
Εξόγκωμα/μπαρ	Κεντρική αστρική δομή	Όχι
Φωτοστέφανο σκοτεινής ύλης	Αόρατη βαρυτική συνιστώσα	Όχι
Αστρικό φωτοστέφανο	Πολύ διάχυτοι παλιοί αστέρες	Όχι

Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο την αποκαλούμε μάζα του ορατού δίσκου και όχι πλήρη μάζα του Γαλαξία μας.

Πώς αυτό συνδέεται με την ελλείπουσα μάζα

Μόλις γίνει γνωστή η μάζα του ορατού δίσκου, οι αστρονόμοι τη συγκρίνουν με τη μάζα που απαιτείται για την παρατηρούμενη περιστροφή του Γαλαξία.

Η δυναμική μάζα που προκύπτει από την κυκλική κίνηση είναι:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)

Σε πρακτικές μονάδες:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)

Η μάζα που λείπει είναι τότε:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

Για αυτή τη σελίδα, η συνεισφορά του δίσκου είναι:

\(M_{\mathrm{visible}}(<r)\approx M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)

Ένα πλήρες μοντέλο του Γαλαξία μας θα πρόσθετε επίσης το κεντρικό εξόγκωμα/μπαρ και άλλα δευτερεύοντα βαρυονικά στοιχεία.

Σημαντικοί περιορισμοί

Αυτό το μοντέλο είναι χρήσιμο, αλλά δεν είναι τέλειο.

Πρώτον, ο Γαλαξίας μας δεν είναι ένας απόλυτα ομαλός αξονοσυμμετρικός δίσκος. Έχει σπειροειδείς βραχίονες, μια κεντρική ράβδο, περιοχές σχηματισμού άστρων και τοπικές δομές.

Δεύτερον, το αέριο είναι δύσκολο να μοντελοποιηθεί επειδή το παρατηρούμε από το εσωτερικό του Γαλαξία. Η απόσταση και η περιστροφή του πρέπει να ανακατασκευαστούν από τα δεδομένα της ταχύτητας.

Τρίτον, ο δίσκος έχει κάθετο πάχος. Οι παραπάνω εξισώσεις είναι ως επί το πλείστον εξισώσεις επιφανειακής πυκνότητας, οι οποίες είναι εξαιρετικές για τα ακτινικά προφίλ μάζας, αλλά δεν περιγράφουν κάθε κατακόρυφη λεπτομέρεια.

Τέταρτον, οι παράμετροι εξαρτώνται από το υιοθετημένο γαλαξιακό μοντέλο. Το μοντέλο του McMillan είναι ένα ισχυρό σημείο αναφοράς, αλλά διαφορετικές μελέτες μπορεί να δίνουν ελαφρώς διαφορετικές μάζες δίσκων, μήκη κλίμακας και προφίλ αερίων. Ο McMillan αναφέρει ρητά τις στατιστικές αβεβαιότητες για βασικές παγκόσμιες παραμέτρους, όπως το R₀, το v₀, η αστρική μάζα, η παρθενική μάζα και η τοπική πυκνότητα σκοτεινής ύλης.

Γλωσσάριο

Γαλαξιακό Κέντρο
Η κεντρική περιοχή του Γαλαξία μας, γύρω από την υπερμεγέθη μαύρη τρύπα Sagittarius A*.

Kiloparsec, kpc
Μονάδα απόστασης που χρησιμοποιείται στη γαλαξιακή αστρονομία. Ένα kiloparsec είναι περίπου 3.260 έτη φωτός.

Ηλιακή μάζα, M⊙
Η μάζα του Ήλιου. Χρησιμοποιείται ως η τυπική μονάδα μάζας στην αστρονομία.

Επιφανειακή πυκνότητα, Σ(r)
Μάζα ανά μονάδα επιφάνειας του γαλαξιακού δίσκου στην ακτίνα r.

Μήκος κλίμακας,_Rd
Η απόσταση κατά την οποία η πυκνότητα του δίσκου μειώνεται κατά ένα συντελεστή e.

Λεπτός δίσκος
Ο επίπεδος, πυκνός, αστροπαραγωγικός δίσκος του Γαλαξία μας.

Παχύς δίσκος
Ένας παλαιότερος, πιο κατακόρυφα εκτεταμένος αστρικός δίσκος που περιβάλλει τον λεπτό δίσκο.

HI
Ατομικό αέριο υδρογόνο.

H₂
Μοριακό αέριο υδρογόνο.

Δυναμική μάζα
Η μάζα που απαιτείται για να εξηγηθεί η παρατηρούμενη τροχιακή ταχύτητα των αστέρων και των αερίων.

Λείπει μάζα
Η διαφορά μεταξύ της δυναμικής μάζας και της ορατής μάζας.

Σημειώσεις προσβασιμότητας

Προτεινόμενο κείμενο alt εικόνας:

Εναλλακτικό κείμενο για το διάγραμμα 1: “Όψη του δίσκου του Γαλαξία μας χωρισμένου σε κυκλικούς δακτυλίους γύρω από το Γαλαξιακό Κέντρο”.
Εναλλακτικό κείμενο για το διάγραμμα 2: “Πλευρική όψη του Γαλαξία μας που δείχνει έναν λεπτό αστρικό δίσκο ενσωματωμένο μέσα σε έναν παχύτερο, παλαιότερο αστρικό δίσκο.”
Alt κείμενο για το γράφημα: “Γράφημα που δείχνει τη σωρευτική μάζα του ορατού δίσκου που αυξάνεται με την ακτίνα από το Γαλαξιακό Κέντρο”.

Χρησιμοποιήστε ευανάγνωστες ετικέτες όπως:

“Ακτίνα από το Γαλαξιακό Κέντρο, kpc”
“Μάζα εντός ακτίνας, ηλιακές μάζες”
“Λεπτός δίσκος”
“Χοντρός δίσκος”
“Δίσκος αερίου”
“Συνολικός ορατός δίσκος”

Προτεινόμενοι εσωτερικοί σύνδεσμοι

Καμπύλη περιστροφής του Γαλαξία μας
Σκοτεινή ύλη και ελλείπουσα μάζα
Τι είναι ένα kiloparsec;
Το Γαλαξιακό Κέντρο εξηγείται
Λεπτός δίσκος vs παχύς δίσκος

Προτεινόμενες εξωτερικές αναφορές

Περαιτέρω ανάγνωση:

McMillan, P. J. “Η κατανομή της μάζας και το βαρυτικό δυναμικό του Γαλαξία μας”. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2017.
McMillan, P. J. “Mass models of the Milky Way.” arXiv, 2011.
Cautun et al. “Το προφίλ της συνολικής μάζας του Γαλαξία μας όπως προκύπτει από το Gaia DR2”. Η δημοσίευση μοντελοποιεί τον Γαλαξία μας με μια διόγκωση, έναν λεπτό δίσκο, έναν παχύ δίσκο, έναν δίσκο HI, έναν δίσκο μοριακού αερίου, ένα περιγαλαξιακό αέριο και μια σκοτεινή άλω.
Marasco et al. “Κατανομή και κινηματική του ατομικού και μοριακού αερίου μέσα στον ηλιακό κύκλο”. Αυτή η μελέτη μοντελοποιεί το γαλαξιακό αέριο χρησιμοποιώντας δακτυλίους και προσαρμόζει δεδομένα HI και CO.

Ορατή μάζα

Για να εκτιμήσετε την ορατή μάζα του Γαλαξία μας σε οποιαδήποτε ακτίνα, επιλέξτε μια τιμή του r σε kpc και εισαγάγετε την στο:

Για έναν πρώτο υπολογισμό, χρησιμοποιήστε την απλούστερη εξίσωση αστρικού δίσκου. Στη συνέχεια, προσθέστε HI και H₂ αέρια για ένα πιο πλήρες μοντέλο ορατού δίσκου.