La massa della Via Lattea in funzione della distanza dal suo centro
Massa visibile del disco – Massa mancante – Equazioni basate sugli anelli – Raggio galattico
La massa visibile del disco della Via Lattea può essere modellata sommando la massa dei suoi componenti principali: il disco stellare sottile, il disco stellare spesso, il gas idrogeno atomico HI e il gas idrogeno molecolare H₂.
La massa del disco visibile si scrive come:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)La parte più semplice e utile è la massa del disco stellare:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)- r è la distanza dal Centro Galattico in kiloparsec, o kpc.
- M è la massa in masse solari, M⊙.
Questa equazione fornisce la massa stellare visibile del disco della Via Lattea all’interno del raggio r.
La massa mancante si ottiene poi confrontando la massa visibile con la massa dinamica:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)In unità astronomiche pratiche:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5\,v_c^2(r)\,r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)con vc(r) in km/s, r in kpc e massa in M⊙.
L’equazione finale della massa del disco visibile
Il disco visibile della Via Lattea è composto da stelle e gas. Scriviamo:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)I due componenti stellari principali sono il disco stellare sottile e il disco stellare spesso.
I due componenti del gas sono l’idrogeno atomico, HI, e l’idrogeno molecolare, H₂.
L’equazione più pulita è quella del disco stellare:
\(M_{{mathrm{disco,stelle}}(<r)=M_{mathrm{sottile}}(<r)+M_{mathrm{spesso}}(<r)\)Completamente scritto:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Questa è l’equazione principale per la massa del disco stellare visibile della Via Lattea.
Perché il disco della Via Lattea è modellato con gli anelli
Il disco della Via Lattea non è una sfera solida. È più vicino a un grande disco appiattito.
Per calcolare la sua massa, la dividiamo in tanti anelli circolari sottili.
Un anello di raggio r ha una circonferenza:
\(2\pi r\)Se l’anello ha una larghezza ridotta dr, allora la sua area è:
\(dA=2\pi r\,dr\)Se la densità di massa superficiale è Σ(r), allora la massa dell’anello è:
\(dM=\Sigma(r)\,2\pi r\,dr\)Questa è l’idea chiave.
La massa totale all’interno del raggio r si ottiene aggiungendo tutti gli anelli dal Centro Galattico a r:
\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma(R)\,R\,dR\)Quindi la massa del disco non è costruita da gusci sferici. È costruita da anelli circolari.
Il disco esponenziale
La densità superficiale delle stelle in un disco galattico è spesso modellata come una funzione esponenziale:
\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)- Σ0 è la densità di massa della superficie centrale.
- Rd è la lunghezza di scala del disco.
- r è la distanza dal Centro Galattico.
Ciò significa che il disco è più denso vicino al centro e diventa meno denso all’aumentare di r.
Sostituendo la densità superficiale esponenziale nell’equazione dell’anello, si ottiene:
\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)Risolvendo l’integrale si ottiene:
\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)Questa è la formula fondamentale del disco-massa.
Componente 1 – Il disco stellare sottile
Il disco sottile è la parte luminosa, piatta e in formazione stellare della Via Lattea. Contiene stelle giovani, molte stelle simili al Sole, bracci a spirale, gas, polvere e regioni attive di formazione stellare.
Per il disco sottile, usiamo:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)Da allora:
\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)convertiamo:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)La massa del disco sottile all’interno del raggio r è:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)Pertanto:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)A raggio molto grande:
\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)Componente 2 – Il disco stellare spesso
Il disco spesso è più vecchio e più esteso verticalmente. Contiene stelle più vecchie che si muovono più in alto e in basso rispetto al piano galattico.
Per il disco spesso, usiamo:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)Conversione della densità di superficie:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)La massa del disco spesso all’interno del raggio r è:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Pertanto:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)A raggio molto grande:
\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)Massa totale del disco stellare
Aggiungere i dischi sottili e spessi:
\(M_{{mathrm{disco,stelle}}(<r)=M_{mathrm{sottile}}(<r)+M_{mathrm{spesso}}(<r)\)Quindi:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)La massa totale del disco stellare è:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)Quindi, il disco stellare visibile della Via Lattea contiene circa 45,7 miliardi di masse solari.
Aggiunta del disco del gas
Il disco della Via Lattea contiene anche gas visibile. I due componenti principali del gas sono l’idrogeno atomico, HI, e l’idrogeno molecolare, H₂.
Il gas non viene modellato come un semplice disco esponenziale, perché presenta una depressione centrale. Una forma utile è:
\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)- Rm è la scala del foro centrale.
- Rd è la lunghezza radiale della scala.
La massa all’interno del raggio r è:
\(M_{\mathrm{gas}}(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{R}-\frac{R}{R_d}\right)R\,dR\)Idrogeno atomico gassoso: HI
Per l’idrogeno atomico:
\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)Un’equazione normalizzata è:
\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}M_\odot\)Questo dà la frazione della massa totale del gas HI contenuta all’interno del raggio r.
Idrogeno molecolare: H₂
Per l’idrogeno molecolare:
\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)L’equazione di massa normalizzata è:
\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}M_\odot\)Equazione completa del disco visibile
L’equazione completa del disco visibile è:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Scritto completamente:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}+1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\)- r e R sono in kpc.
- M è in M⊙.
Questa equazione fornisce la massa del disco visibile della Via Lattea all’interno di un raggio r.
Massa dinamica dalla rotazione
La velocità di rotazione osservata della Via Lattea ci dice quanta massa è necessaria a livello gravitazionale.
Per il movimento circolare:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)- vc(r) è la velocità circolare al raggio r.
- G è la costante gravitazionale.
Nelle unità pratiche:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)Se la velocità di rotazione è approssimativamente piatta:
\(v_c(r)\approx233\,\mathrm{km/s}\)allora:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq2.325\times10^5(233)^2r\,M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq1.26\times10^{10}r\,M_\odot\)con r in kpc.
Ciò significa che se la curva di rotazione rimane quasi piatta, la massa dinamica cresce quasi linearmente con il raggio.
L’equazione della massa mancante
La massa mancante è la differenza tra la massa dinamica e la massa visibile:
\(M_{{mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Utilizzando l’equazione di rotazione:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Nelle unità pratiche:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)- vc(r) è in km/s.
- r è in kpc.
- M è in M⊙.
Se ci concentriamo solo sul disco visibile:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)\simeq2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)Questa è l’equazione centrale che collega la rotazione osservata della Via Lattea alla massa visibile del suo disco.
Un’estensione basata sulle onde della massa mancante
Un modello a disco spiega la massa visibile. La massa mancante è quella che rimane dopo aver confrontato la massa visibile con la massa dinamica.
Un modello basato sulle onde può descrivere la massa mancante come una densità effettiva generata dal disco visibile.
L’idea guida è che ogni elemento di massa visibile genera un campo efficace che diminuisce con la distanza.
Sia la distanza tra un punto sorgente r′ e un punto di osservazione r:
\(D=|r-r’|\)Quindi un contributo elementare può essere scritto come:
\(d\rho_{\mathrm{wave}}(r)=\rho_{\mathrm{visible}}(r’)\,\lambda e^{-D/\ell}\,dV\)- λ è un fattore di accoppiamento senza dimensione.
- ℓ è una lunghezza di coerenza.
- D è la distanza tra la sorgente e il punto di osservazione.
Questa forma significa che il contributo effettivo diminuisce esponenzialmente con la distanza:
\(e^{-D/\ell}\)Il parametro ℓ controlla l’estensione dell’effetto.
Densità effettiva dall’intero disco
Per un disco, la densità effettiva totale in un punto (R,z) può essere scritta come una convoluzione del disco visibile con un kernel esponenziale.
Il disco sorgente ha una densità superficiale:
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)Un punto nella sorgente del disco si trova al raggio R′ e all’angolo φ.
La distanza da quel punto sorgente a un punto di osservazione (R,z) è:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)La densità effettiva è quindi:
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)con:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Questa equazione dice che ogni anello di massa visibile contribuisce alla densità effettiva in (R,z), con una forza che decade come e-D/ℓ.
Interpretazione anello per anello
Il disco può essere nuovamente compreso attraverso gli anelli.
Un anello visibile di raggio R′ ha una massa:
\(dM_{{mathrm{visible}}=2\pi R’\Sigma(R’)\,dR’\)Nell’estensione basata sulle onde, quell’anello contribuisce alla densità effettiva intorno ad esso.
Il contributo è più forte vicino all’anello e diminuisce con la distanza:
\(e^{-D/\ell}\)Quindi la densità effettiva non viene inserita a mano come un alone sferico. Viene generata dalla geometria del disco stesso.
A brevi distanze, segue la geometria del disco. A distanze maggiori, dopo l’integrazione su molti anelli, la distribuzione effettiva può diventare più liscia e più estesa.
Formula compatta per la densità efficace basata sulle onde
Utilizzando il disco esponenziale:
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)si può scrivere la densità effettiva in modo schematico come:
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda\Sigma_0}{\ell}\int_0^\infty R’e^{-R’/R_d}\left[\int_0^{2\pi}e^{-\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}/\ell}\,d\phi\right]dR’\)Questa è la forma generale più pulita. Mantiene la geometria reale del disco:
- R′ è il raggio dell’anello sorgente.
- R è il raggio di osservazione nel piano galattico.
- z è l’altezza sopra o sotto il piano galattico.
- φ è l’angolo intorno all’anello sorgente.
Dalla densità effettiva alla massa effettiva
Una volta conosciuta la densità effettiva, la massa effettiva corrispondente all’interno del raggio r può essere scritta come:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_{V(r)}\rho_{\mathrm{wave}}(\mathbf{x})\,d^3x\)In coordinate sferiche:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_0^r\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\rho_{\mathrm{wave}}(s,\theta,\phi)s^2\sin\theta\,d\phi\,d\theta\,ds\)Questa massa effettiva può poi essere confrontata con la massa mancante osservata:
\(M_{{mathrm{wave}}(<r)\approx M_{mathrm{missing}}(<r)\)Questo dà una condizione testabile.
Il vincolo fisico chiave
Le curve di rotazione galattica piatte richiedono circa:
\(v_c(r)\approx\mathrm{costante}\)Se vc(r) è approssimativamente costante, allora:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2}{G}\)quindi:
\(M_{mathrm{dyn}(<r)\propto r\)Questo è il motivo essenziale per cui appare la massa mancante.
La massa del disco visibile non cresce linearmente per sempre. Si avvicina a una massa totale finita:
\(M_{mathrm{disco,visibile}}(<r)\rightarrow M_{mathrm{disco,visibile}}(\infty)\)Ma la massa dinamica desunta da una curva di rotazione piatta continua a crescere:
\(M_{mathrm{dyn}(<r)\propto r\)Pertanto:
\(M_{{mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)cresce anche con il raggio.
Un semplice esempio numerico al raggio del Sole
Il Sole si trova a circa:
\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)Utilizzando l’equazione del disco stellare:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)Questo dà approssimativamente:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\approx3.7\times10^{10}M_\odot\)Se la velocità circolare è:
\(v_c\simeq233\,\mathrm{km/s}\)allora la massa dinamica all’interno di 8,2 kpc è:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)=2.325\times10^5(233)^2(8.2)M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)\approx1.03\times10^{11}M_\odot\)La differenza mostra perché la massa visibile da sola non può spiegare la rotazione osservata.
Cosa include e cosa non include questo modello
| Componente | Incluso nell’equazione del disco? |
|---|---|
| Sottile disco stellare | Sì |
| Disco stellare spesso | Sì |
| Idrogeno atomico gassoso, HI | Sì |
| Idrogeno molecolare, H₂ | Sì |
| Rigonfiamento centrale/barra | No |
| L’alone stellare | No |
| L’alone di materia oscura | No |
| Massa efficace basata sulle onde | Estensione opzionale |
Le equazioni precedenti si concentrano sul disco.
Un modello di massa completo della Via Lattea comprenderebbe anche:
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{disk}}+M_{\mathrm{bulge}}+M_{\mathrm{stellar\,halo}}+M_{\mathrm{missing}}\)oppure, in una formulazione basata sulle onde:
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{visible}}+M_{\mathrm{wave}}\)Riepilogo finale delle equazioni principali
Disco stellare visibile
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Disco visibile completo
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}+M_{\mathrm{thick}}+M_{\mathrm{HI}}+M_{\mathrm{H_2}}\)Massa dinamica
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)Massa mancante
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Massa anulare
\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)Disco esponenziale
\(\Sigma(r)=\Sigma_0e^{-r/R_d}\)Densità effettiva basata sulle onde
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)con:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Glossario
Centro galattico
La regione centrale della Via Lattea.
Raggio r
Distanza dal centro galattico, solitamente misurata in kiloparsec.
Kiloparsec, kpc
Un’unità di distanza galattica. Un kpc corrisponde a circa 3.260 anni luce.
Massa solare, M⊙
La massa del Sole.
Densità di superficie, Σ(r)
Massa per unità di superficie del disco galattico.
Disco sottile
La parte piatta, luminosa e formata da stelle della Via Lattea.
Disco spesso
Una componente stellare più vecchia e più estesa verticalmente.
HI
Idrogeno atomico gassoso.
H₂
Idrogeno molecolare gassoso.
Massa dinamica
La massa necessaria per spiegare la velocità di rotazione osservata.
Massa mancante
La differenza tra la massa dinamica e la massa visibile.
Lunghezza di coerenza, ℓ
Nell’estensione basata sulle onde, la scala di distanza su cui il contributo effettivo diminuisce.
Fattore di accoppiamento, λ
Un parametro adimensionale che controlla la forza del contributo dell’onda efficace.
Domande frequenti
Qual è l’equazione più importante?
L’equazione più importante del disco visibile è Mdisk,visibile(<r)=Mthin+Mthick+MHI+MH₂. L’equazione più importante sulla massa mancante è Mmissing(<r)=rvc²(r)/G-Mvisible(<r).
Perché usiamo gli anelli?
Perché il disco della Via Lattea è piatto. Un disco è naturalmente costruito da anelli circolari, quindi la massa degli anelli è dM=2πrΣ(r)dr.
Perché la massa visibile smette di crescere rapidamente?
Perché la densità del disco diminuisce in modo esponenziale. A grandi raggi, c’è sempre meno materia visibile.
Perché appare la massa mancante?
Perché la curva di rotazione osservata rimane quasi piatta su grandi distanze. Una curva di rotazione piatta implica che la massa dinamica cresce in modo approssimativamente lineare con il raggio, mentre la massa visibile del disco non cresce.
Questa pagina dimostra un modello specifico di materia oscura?
No. Le equazioni del disco descrivono la materia visibile. L’equazione della massa mancante mostra il divario tra la massa visibile e la massa dinamica. La parte basata sulle onde è un modello aggiuntivo che può essere testato rispetto alla curva di rotazione osservata.
Note sull’accessibilità
Testo alt dell’immagine suggerito:
- Immagine 1: “Diagramma dall’alto del disco della Via Lattea diviso in anelli circolari intorno al Centro Galattico”.
- Immagine 2: “Vista laterale della Via Lattea che mostra un disco sottile circondato da un disco stellare più spesso”.
- Immagine 3: “Grafico della massa del disco visibile e della massa dinamica che aumenta con la distanza dal Centro Galattico”.
- Immagine 4: “Illustrazione di un campo esponenziale che diminuisce con la distanza da un elemento di massa visibile”.