반경의 함수로서의 은하수 원반의 질량

TL;DR

은하수 원반의 가시 질량은 얇은 항성 원반, 두꺼운 항성 원반, 원자 수소 가스 HI, 분자 수소 가스 H₂ 등 여러 구성 요소의 합으로 모델링할 수 있습니다.

가장 유용한 방정식은 다음과 같습니다:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

여기서 r은 은하 중심과의 거리(킬로파섹), 즉 kpc입니다.

원반의 항성 부분의 경우, 맥밀란의 은하 질량 모델에서 일반적으로 채택된 은하수 매개 변수를 사용하여 반경 r 내부의 질량은 다음과 같습니다:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

여기서 r은 kpc, 질량은 태양 질량인 M⊙입니다.

이 방정식은 은하수 원반의 가시적 항성 질량을 은하 중심과의 거리에 따른 함수로 설명합니다.

가시 디스크 질량에 대한 최종 방정식

은하수의 가시 원반은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

가장 눈에 띄는 부분은 가장 깨끗합니다:

[라텍스]M_{\mathrm{디스크,별}}(<r)=M_{\mathrm{얇음}}(<r)+M_{\mathrm{두께}}(<r)[/라텍스][/라텍스]M_{\mathrm{얇음}}(<r)[/라텍스]

숫자 매개변수 사용:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

어디에:

R = 은하 중심으로부터의 거리(kpc)
Mdisk_,별 = 반경 r 내부의 항성 원반 질량
M⊙ = 1 태양 질량

여기에 사용된 매개변수는 McMillan의 2017년 은하수 질량 모델에서 가져온 것으로, 태양 반지름 R₀ = 8.20 ± 0.09 kpc, 원주 속도 v₀ = 232.8 ± 3.0 km/s, 항성 총 질량 (54.3 ± 5.7) × 10⁹ M⊙을 제공합니다.

은하수 디스크는 고리로 만들어졌습니다.

질량 방정식을 이해하는 간단한 방법은 은하 원반을 여러 개의 얇은 원형 고리로 자른다고 상상하는 것입니다.

각 링에는

[라텍스]\mathrm{둘레}=2\pi r[/라텍스] [라텍스]\mathrm{폭}=dr[/라텍스] \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)

디스크의 표면 질량 밀도가 Σ(r)이면 얇은 고리 하나의 질량은 다음과 같습니다:

[라텍스]dM=2\pi r\,\시그마(r)\,dr[/라텍스]

반지름 r 내부의 질량은 중앙에서 r까지 모든 고리를 더하면 구할 수 있습니다:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)

이것이 디스크 질량 방정식의 기본 수학적 아이디어입니다.

지수 디스크 방정식

은하수의 항성 원반은 일반적으로 지수 표면 밀도로 근사화됩니다:

\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)

어디에:

Σ₀ = 중심 표면 질량 밀도
_Rd = 디스크 스케일 길이
r = 은하 중심으로부터의 거리

눈금 길이_Rd는 디스크가 바깥쪽으로 이동함에 따라 얼마나 빨리 밀도가 낮아지는지 알려줍니다.

이 밀도를 링 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과가 나옵니다:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)

적분을 풀면 다음과 같은 결과가 나옵니다:

\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)

이것이 항성 원반에 사용되는 주요 방정식입니다.

구성 요소 1 – 얇은 스텔라 디스크

얇은 원반은 은하수의 밝고 평평한 별을 형성하는 부분입니다. 여기에는 젊은 별, 많은 태양과 같은 별, 가스, 먼지, 나선형 팔이 포함되어 있습니다.

얇은 성상 디스크의 경우:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)

이후:

\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)

우리는 글을 씁니다:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

반경 r 내부의 질량은 다음과 같습니다:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)

따라서

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)

총 씬 디스크 질량은 r → ∞를 취하면 구할 수 있습니다:

\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)

구성 요소 2 – 두꺼운 스텔라 디스크

두꺼운 원반은 얇은 원반보다 더 오래되고, 수직으로 더 확장되어 있으며, 더 확산되어 있습니다. 이 원반의 별들은 은하계 위와 아래에서 더 멀리 움직입니다.

두꺼운 성상 디스크의 경우:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)

그래서:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

반경 r 내부의 질량은 다음과 같습니다:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

따라서

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)

총 두꺼운 디스크 질량입니다:

\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)

스텔라 디스크 질량: 씬 디스크 + 씩 디스크

두 가지 뛰어난 구성 요소를 추가하면 다음과 같은 이점이 있습니다:

[라텍스]M_{\mathrm{디스크,별}}(<r)=M_{\mathrm{얇음}}(<r)+M_{\mathrm{두께}}(<r)[/라텍스][/라텍스]M_{\mathrm{얇음}}(<r)[/라텍스]

또는:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

매우 넓은 반경에서:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)

따라서 이 모델에서 눈에 보이는 은하수의 항성 원반에는 약..:

457억 개의 태양 질량

구성 요소 3 – 원자 수소 가스, HI

은하수 원반에는 눈에 보이는 기체도 포함되어 있습니다. 첫 번째 주요 가스 성분은 HI로 표기되는 원자 수소입니다.

항성 원반과 달리 이 가스는 단순한 지수 원반으로는 잘 설명되지 않습니다. 중앙에 움푹 들어간 곳, 즉 ‘구멍’이 있기 때문에 더 나은 형태입니다:

\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)

HI:

\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)

반경 r 내부의 질량은 다음과 같습니다:

\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)

이 공식은 총 HI 질량에 반경 r 안에 포함된 HI 디스크의 비율을 곱하는 것입니다.

구성 요소 4 – 분자 수소 가스, H₂

두 번째 주요 기체 성분은 H₂로 표기되는 분자 수소입니다. 이 기체는 차가운 구름과 별 형성과 더 밀접한 관련이 있습니다.

H₂의 경우:

\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)

반경 r 내부의 질량은 다음과 같습니다:

\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)

전체 가시 디스크 질량 방정식

별과 가스를 결합합니다:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

완전히 작성되었습니다:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)

어디에:

r과 R은 kpc
M은 M⊙입니다.

이 방정식은 은하 중심에서 측정한 반경 r 내부의 은하수 가시 원반 질량을 제공합니다.

예시: 태양 궤도 내부의 질량

태양의 위치는 대략 다음과 같습니다:

\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)

항성 원반 방정식만 사용합니다:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)

수치상으로는 대략 다음과 같습니다:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)

따라서 태양 궤도 안쪽의 항성 원반은 이미 전체 질량의 대부분을 포함하고 있습니다.

왜 링을 사용하나요?

링 방식은 은하 디스크가 구가 아니기 때문에 유용합니다.

구형 물체의 경우 반경 r의 질량 쉘은 면적을 갖습니다:

[라텍스]4\pi r^2[/라텍스]

그러나 얇은 디스크의 경우 질량이 원형 고리 위에 퍼져 있습니다:

[라텍스]dM=2\pi r\시그마(r)\,dr[/라텍스]

이것이 디스크 질량 방정식이 구형 질량 방정식과 다르게 보이는 이유입니다.

디스크에서:

질량은 고리에서 비롯됩니다.

구체에서:

질량은 껍질에서 나옵니다.

은하수에는 원반 모양과 구형 구성 요소가 모두 포함되어 있지만 이 페이지에서는 원반에 초점을 맞춥니다.

이 방정식에 포함된 내용

이 방정식에는 다음이 포함됩니다:

구성 요소	의미	포함되어 있나요?
얇은 스텔라 디스크	은하계 근처의 젊은 별과 중간 나이의 별들	예
두꺼운 성상 디스크	비행기에서 멀리 떨어진 오래된 별	예
HI 가스	원자 수소	예
H₂ 가스	분자 수소	예
벌지/바	중앙 별 구조	아니요
암흑 물질 후광	보이지 않는 중력 성분	아니요
별의 후광	매우 희미한 오래된 별	아니요

이것이 우리가 이를 은하수의 전체 질량이 아닌 가시 원반 질량이라고 부르는 이유입니다.

이것이 누락된 미사와 연결되는 방법

가시 원반 질량이 알려지면 천문학자들은 이를 관측된 은하 자전에 필요한 질량과 비교합니다.

원 운동에서 추론된 동적 질량은 다음과 같습니다:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)

실제 단위로:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)

그러면 누락된 질량이 있습니다:

[라텍스]M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)[/라텍스][/라텍스]

이 페이지의 경우 디스크 기여도는 다음과 같습니다:

[라텍스]M_{\mathrm{보이는}}(<r)\약 M_{\mathrm{디스크,보이는}}(<r)[/라텍스][/라텍스]

전체 은하수 모델에는 중앙 벌지/바 및 기타 작은 바이리오닉 구성 요소도 추가됩니다.

중요한 제한 사항

이 모델은 유용하지만 완벽하지는 않습니다.

첫째, 은하수는 완벽하게 매끄러운 축대칭 원반이 아닙니다. 나선형 팔, 중앙 막대, 별을 형성하는 영역, 국부적인 구조가 있습니다.

둘째, 가스는 은하 내부에서 관측하기 때문에 모델링하기가 어렵습니다. 가스의 거리와 회전은 속도 데이터로부터 재구성해야 합니다.

셋째, 디스크의 수직 두께가 있습니다. 위의 방정식은 대부분 표면 밀도 방정식으로, 방사형 질량 프로파일에 적합하지만 모든 수직 세부 사항을 설명하지는 못합니다.

넷째, 매개변수는 채택된 은하 모델에 따라 달라집니다. 맥밀란의 모델은 강력한 기준점이지만, 연구마다 원반 질량, 규모 길이, 가스 프로필이 약간씩 다를 수 있습니다. 맥밀란은 R₀, v₀, 항성 질량, 비리알 질량, 국부 암흑 물질 밀도와 같은 주요 글로벌 파라미터에 대한 통계적 불확실성을 명시적으로 보고합니다.

용어집

은하 중심
초질량 블랙홀 궁수자리 A* 주변의 은하수 중앙 지역입니다.

킬로파섹, kpc
은하 천문학에서 사용되는 거리 단위. 1킬로파섹은 약 3,260광년입니다.

태양 질량, M⊙
태양의 질량. 천문학에서 표준 질량 단위로 사용됩니다.

표면 밀도, Σ(r)
반지름 r에서 은하 원반의 단위 면적당 질량입니다.

스케일 길이,_Rd
디스크 밀도가 e 계수만큼 감소하는 거리입니다.

얇은 디스크
은하수의 평평하고 밀도가 높은 별을 형성하는 원반입니다.

두꺼운 디스크
얇은 원반을 둘러싸고 있는 더 오래되고 수직으로 더 확장된 항성 원반입니다.

HI
원자 수소 가스.

H₂
분자 수소 가스.

동적 질량
관측된 별과 가스의 궤도 속도를 설명하는 데 필요한 질량입니다.

누락된 질량
동적 질량과 가시 질량 간의 차이입니다.

접근성 참고 사항

가시적 질량

임의의 반경에서 은하수의 가시 질량을 추정하려면 kpc 단위의 r 값을 선택하고 여기에 입력합니다:

첫 번째 계산을 위해 더 간단한 항성-원반 방정식을 사용합니다. 그런 다음 HI와 H₂ 가스를 추가하여 보다 완벽한 가시 원반 모델을 만듭니다.

반경의 함수로서의 은하수 원반의 질량

가시 디스크 질량에 대한 최종 방정식

은하수 디스크는 고리로 만들어졌습니다.

지수 디스크 방정식

구성 요소 1 – 얇은 스텔라 디스크

구성 요소 2 – 두꺼운 스텔라 디스크

스텔라 디스크 질량: 씬 디스크 + 씩 디스크

구성 요소 3 – 원자 수소 가스, HI

구성 요소 4 – 분자 수소 가스, H₂

전체 가시 디스크 질량 방정식

예시: 태양 궤도 내부의 질량

왜 링을 사용하나요?

이 방정식에 포함된 내용

이것이 누락된 미사와 연결되는 방법

중요한 제한 사항

용어집

접근성 참고 사항

추천 내부 링크

추천 외부 참조 자료

가시적 질량