天の川円盤の質量と半径の関係
TL;DR
天の川銀河円盤の可視質量は、薄い恒星円盤、厚い恒星円盤、原子状水素ガスHI、分子状水素ガスH₂の合計としてモデル化できます。
最も有用な方程式は
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)ここで、rは銀河中心からの距離をキロパーセク（kpc）で表したものです。
円盤の恒星部分について、McMillanの銀河質量モデルから一般的に採用されている天の川パラメータを使うと、半径rの内側の質量は次のようになります：
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)rはkpc、質量は太陽質量M⊙です。
可視円盤質量の最終式
天の川の可視円盤は次のように書けます：
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)ステラの部分が一番きれい：
\(M_{mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{mathrm{thin}}(<r)+M_{mathrm{thick}}(<r)\)。数値パラメータの使用
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)どこに
- r= 銀河中心からの距離（kpc
- Mdisk,stars＝半径r内の恒星円盤質量
- M⊙= 1太陽質量
ここで使われているパラメータは、McMillanの2017年天の川質量モデルによるもので、太陽半径R₀=8.20±0.09kpc、円速v₀=232.8±3.0km/s、全恒星質量(54.3±5.7)×10⁹M⊙を与えています。
天の川の円盤はリングでできている？
質量方程式を理解する簡単な方法は、銀河の円盤をたくさんの薄い円環に切り分けることを想像することです。
それぞれのリングには
[円周}=2pi r[/latex]。 [ラテックス] \mathrm{width}=dr[/latex]. \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)円盤の表面質量密度をΣ(r)とすると、1つの薄いリングの質量は
\(dM=2pi r, ˶Sigma(r)˶Sigma(r)dr\).半径rの内側の質量は、中心からrまでのすべてのリングを足すことで得られます：
\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)これが円盤の質量方程式の基本的な数学的考え方です。
指数ディスク方程式
天の川の恒星円盤は通常、指数関数的な表面密度で近似されます：
\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)どこに
- Σ₀= 中心表面の質量密度
- Rd= ディスクのスケール長
- r= 銀河中心からの距離
スケールレングスRdは、円盤が外側に向かうにつれてどれだけ早く密度が低くなるかを示しています。
この密度をリングの方程式に代入すると、こうなります：
\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)積分を解くと
\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)これは恒星円盤に使われる主な方程式です。
コンポーネント1 – 薄い恒星円盤
薄い円盤は、天の川の明るく平らな星形成部分です。若い星、多くの太陽のような星、ガス、塵、渦状腕を含んでいます。
薄い恒星円盤の場合：
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)それ以来です：
\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)と書いています：
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)半径r内の質量は
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)ですから
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)薄い円盤の全質量は、r → ∞で求められます：
\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)コンポーネント2 – 厚い恒星円盤
厚い円盤は薄い円盤よりも古く、垂直に伸びており、拡散しています。その星は、銀河平面の上方や下方でより遠くに移動しています。
厚い恒星円盤の場合：
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)だから
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)半径r内の質量は
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)ですから
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)厚い円盤の総質量は
\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)恒星円盤の質量薄い円盤＋厚い円盤
両方の恒星成分を足すとこうなります：
\(M_{mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{mathrm{thin}}(<r)+M_{mathrm{thick}}(<r)\)。それとも
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)非常に大きな半径で：
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)つまり、このモデルでは、天の川銀河の可視恒星円盤には約
457億太陽質量
コンポーネント3 – 原子状水素ガス、HI
天の川銀河の円盤には、目に見えるガスも含まれています。最初の主なガスは原子状水素で、HIと呼ばれます。
恒星の円盤とは異なり、ガスは単純な指数関数的な円盤ではうまく表現できません。ガスには中心にくぼみ（ホール）があります：
\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)HI用：
\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)半径r内の質量は
\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)この方程式は、HIの総質量をとり、半径rの中に含まれるHI円盤の割合をかけます。
成分4 – 分子状水素ガス H₂
2つ目の主なガス成分は水素分子で、H₂と書きます。このガスは、冷たい雲や星形成により密接に関係しています。
H₂の場合：
\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)半径r内の質量は
\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)全可視円盤質量方程式
星とガスの組み合わせ：
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)完全に書かれています：
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)どこに
- rとRの単位はkpc
- MはM⊙にあります。
この式は、銀河系中心から半径rの範囲にある天の川の、目に見える円盤の質量を示しています。
例太陽軌道内部の質量
太陽の位置はおよそ
\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)恒星円盤の方程式だけを使って：
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)数値的には、これはおよそ
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)つまり、太陽の軌道の内側では、恒星円盤はすでにその総質量のほとんどを含んでいるのです。
リングを使う理由
銀河の円盤は球体ではないので、リング法が有効です。
球体の場合、半径rの質量殻は面積を持ちます：
[4pi r^2[/latex]しかし、薄い円盤の場合、質量は円環上に広がります：
\(dM=2pi r Σ(r)⊖ dr[/latex］これが、円盤の質量方程式が球体の質量方程式と異なる理由です。
ディスクの中で：
質量はリングから
球体で：
質量は貝殻から
天の川には円盤状のものと球状のものがありますが、このページでは円盤に焦点を当てます。
この方程式に含まれるもの
方程式には
| コンポーネント | 意味 | 含まれますか？ |
|---|---|---|
| 薄い恒星円盤 | 銀河面近傍の若い星と中年星 | はい |
| 厚い恒星円盤 | 飛行機から遠い古い星 | はい |
| HIガス | 原子状水素 | はい |
| H₂ガス | 水素分子 | はい |
| バルジ/バー | 中心恒星構造 | いいえ |
| ダークマター・ハロー | 目に見えない重力成分 | いいえ |
| 恒星ハロー | 非常に拡散した古い星 | いいえ |
これが、天の川の全質量ではなく、目に見える円盤の質量と呼ばれる理由です。
ミッシング・マスとの関係
目に見える円盤の質量がわかったら、天文学者はそれを、観測された銀河の自転に必要な質量と比較します。
円運動から推測される力学的質量は
[latex]M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)実践的な単位で：
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)では、足りない質量は？
\(M_{mathrm{missing}}(<r)=M_{mathrm{dyn}}(<r)-M_{mathrm{visible}}(<r)\)。このページの場合、ディスクの貢献度は
\(M_{mathrm{visible}}(<r)㎤ M_{mathrm{disk,visible}}(<r)\)。完全な天の川モデルでは、中心バルジ/バーやその他のマイナーなバリオン成分も追加されます。
重要な制限
このモデルは便利ですが、完璧ではありません。
まず、天の川は完全に滑らかな軸対称の円盤ではありません。渦巻き腕、中心棒、星形成領域、そして局所的な構造があります。
第二に、ガスは銀河系内部から観測されるため、モデル化が困難です。ガスの距離と回転は、速度データから再構成する必要があります。
第三に、円盤には垂直方向の厚みがあります。上の式はほとんど表面密度の式で、半径方向の質量分布には適していますが、鉛直方向の詳細までは記述できません。
第四に、パラメータは採用する銀河モデルに依存します。McMillanのモデルは強力な参照点ですが、異なる研究では、円盤の質量、スケール長、ガスプロファイルがわずかに異なる場合があります。McMillanは、R₀、v₀、恒星質量、ビリアル質量、局所ダークマター密度などの主要なグローバルパラメータの統計的不確実性を明確に報告しています。
アクセシビリティ
推奨される画像のaltテキスト
- 図1のオルトテキスト：”銀河中心を中心に円環状に分割された天の川の円盤を正面から見た図”
- 図2のオルトテキスト：「天の川の側面図。
- グラフのオルトテキスト：”銀河中心からの半径とともに増加する可視円盤の累積質量を示すグラフ”
次のような読みやすいラベルを使用してください：
- “銀河中心からの半径、kpc”
- “半径内の質量、太陽質量”
- 「薄いディスク
- 「分厚いディスク
- 「ガスディスク
- “可視ディスク合計”
推奨内部リンク
- 天の川回転曲線
- 暗黒物質と消えた質量
- キロパーセクとは何ですか？
- 銀河センターの説明
- 薄いディスクと厚いディスク
推奨される外部参考文献
さらに読む
- McMillan, P. J. “天の川の質量分布と重力ポテンシャル”.王立天文学会月報、2017年。
- McMillan, P. J. “Mass models of Milky Way.” arXiv, 2011.
- Cautun et al. “The Milky Way total mass profile as inferred from Gaia DR2”.この論文では、天の川をバルジ、薄い円盤、厚い円盤、HI円盤、分子ガス円盤、銀河系ガス、ダークハローでモデル化しています。
- Marasco et al. “Distribution and kinematics of atomic and molecular gas inside Solar circle.”.この研究では、銀河系ガスをリングを使ってモデル化し、HIとCOのデータをフィッティングしています。
可視質量
任意の半径における天の川の可視質量を見積もるには、kpc単位でrの値を選び、その値を挿入します：
最初の計算には、より単純な恒星円盤方程式を使います。その後、HIとH₂ガスを追加して、より完全な可視円盤モデルに。